用函数思维发现正切概念 让自主研究提升核心素养

许穆

摘 要：通过对苏科版“正切”教学的思考，研究如何用函数思维帮助发现正切概念，如何在自主研究过程中提升学生的核心素养。

关键词：正切函数;自主研究;核心素养

1 教学分析

1.1 教材分析

本节课是苏科版《数学》九年级下册第七章第一节内容，是初中数学重要内容之一，是学生学习了直角三角形、相似三角形等知识的延续，又是后面学习解直角三角形等内容的基础。

1.2 教学目标

（1）参与研究直角三角形中边与角之间关系的过程，参与定义“正切”的过程，能结合图形陈述“正切”的概念。

（2）会用符号表示“正切”，能知道在直角三角形中，“正切”与直角边之比的关系。

（3）能感悟“正切”概念形成过程中蕴含的归纳思想、运动变化观点、符号表示思想、类比思想等。

（4）通过主动研究，合作交流，感受研究的乐趣与成功的体验，同时培养学生的团队合作精神。

2 教学反思

2.1在正切概念生成过程中培养学生的研究能力

涂荣豹先生在《谈提高对数学教学的认识》一文中指出，数学教学的主要目的是教学生研究数学问题的一般方法，即建构数学概念或数学关系的一般方法，主要包括三个核心过程：形成研究对象、寻找研究方法、表征研究结果。因此把这三个核心过程分解到正切的教学过程中去就很必要了。

2.1.1 形成研究对象

研究对象的形成主要从知识基础或问题情境中产生，因此本节课可以向学生提出如下问题“在直角三角形中，我们已经学过边与边的关系，角与角的关系，接下来我们还可以研究什么问题？”聪明的学生可以回答出“可以研究边与角的关系”，当然考虑到学生的基础不同与学习的趣味性，实例中是给出问题情境，而后再引导学生发现需要研究边与角的关系的。

2.1.2 寻找研究方法

当确定研究对象是直角三角形中边与角的关系后，还需要进行具体化，如本节主要研究直角边与锐角的关系，又可以进一步细分为锐角的对边与锐角的关系、锐角的邻边与锐角的关系、锐角的对边和邻边与锐角的关系等。教师要引导学生初步判断哪些目前可以研究，哪些目前不可以研究，哪些先研究，哪些后研究等，在这个过程中也可以培养学生的发散思维和集中思维能力。

教师要启发学生自主寻找研究方法，如本节寻找直角三角形中直角边与锐角之间的关系时，可以这样启发学生：研究规律是数学学科的重要研究对象，如变中的不变，本节中启发学生研究当∠A确定某一种度数时，无论Rt△ABC中直角边a、b长度变长变短，a、b长度的什么代数式都有不变的规律。

用正确的研究方法研究之后，一般可以先提出猜想，而后再验证猜想，过程不再赘述。

2.1.3 表征研究结果

验证猜想后得出研究结果，就要用数学语言对其进行表征，如下定义。这个过程要引导学生用自己的语言进行定义，从而很好地培养学生的数学语言转换能力和数学思维能力。

2.2 在正切概念生成过程中训练学生的函数思维

函数是描述实际生活中变化规律的重要的数学模型，是中学数学从常量到变量的一个飞跃，学习函数可以渗透模型思想、特殊与一般思想、数形结合思想等。

2.2.1 引导学生用函数思维自主发现正切概念

在发现正切概念之前，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数，这就为下面学习正切函数提供了一般思路和方法。苏科版教材对函数是这样定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。本节关键是用函数思想中的任意性、唯一性的要求来验证，Rt△ABC中，边a或b的长度或a、b长度的比值是否是关于锐角∠A的函数，验证之后，正切的概念也就水到渠成了。

2.2.2 在正切概念生成过程中强化学生的函数思维

在正切概念教学过程中要体现正切概念的生成过程，让学生经历从具体情境到正切概念形成的抽象过程、概括过程，渗透模型思想，强化函数思想，尤其是函数思想中的任意性、唯一性，即对一个变量（自变量）的“任意一个”取值，另一个变量（函数）都有“唯一的”取值与之对应。

2.3 在正切概念生成過程中提升学生的核心素养

2016年9月，《中国学生发展核心素养》正式发布，其中数学学科提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。章建跃博士在《树立课程意识，落实核心素养》一文中则认为，课堂教学应该为发展学生的核心素养提供个性、全面、可持续的助力。

2.3.1 在发现研究对象过程中提升数学抽象的核心素养

本节引导学生由竹竿问题抽象出数学问题，进而得出研究对象是直角三角形中直角边与锐角之间的关系，从而提升学生数学抽象的核心素养。

2.3.2 在研究过程中提升数学运算、数据分析的核心素养

本节引导学生分析Rt△ABC中，∠C=90o，∠A的对边记为a，∠B的对边记为b，当∠A=30o时，不同Rt△ABC中直角边a、b长度可以有哪些情况？改为∠A= 45o或∠A=40o时，直角边a、b长度有无类似规律呢？在对直角边a、b长度数据的分析过程中提升学生的数学运算、数据分析的核心素养。

2.3.3 在研究过程中提升逻辑推理与数学建模的核心素养

本节在引导学生猜想出结论，即“∠A确定某一种度数时，无论Rt△ABC中直角边a、b长度变长变短，都是确定的常数”后，引导学生用相似三角形的知识验证猜想的成立，达到提升学生逻辑推理核心素养的目的。

在引导学生得出结论，即“∠A确定某一种度数时，无论Rt△ABC中直角边a、b长度变长变短，都是确定的常数”后，用函数思维引导学生建模，进而得到正切这一新的函数模型，又提升了学生数学建模的核心素养。