纸上得来终觉浅 绝知此事要躬行

曹洪章 郭怀玉

摘 要：通过对教材选修2-3章末一道习题的研究，领会教材的目的，尝试进行统计学中数据分析、数学建模的教学，开展研究性学习，把新课程理念运用到实际的教学中，培养学生的核心素养，进行创新性能力实践的研究，让学生和教师真正悟得“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的道理。

关键词：相关系数;核心素养;数据分析;数学建模

普通高中课程标准实验教科书高中数学选修2-3第三章统计案例第102页B组题第2题，“分别研究数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系，你能得到什么结论？”教师教参书上简单地进行了阐述：本题主要是考查学生们应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的数学模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容。这道开放性题目是符合现在新课程的标准，具有多样性和不唯一性，需要学生通过观察、联想、比较、分析、类比、概括、模拟等方法来探究结论或结论成立的条件，对学生思维的灵活性、发散性和创新性有较高要求，能够有利于学生主体的意识形成和主体能力的发展，有利于提高学生分析问题解决问题的能力，有利于培养学生的创新精神和提高学生的实践能力。进行这类题的练习和讲解，这既是新课程改革的需要又符合高考的新理念，能更有效地促進教学。

此项作业布置下去后，学生开始反应是无所适从，不知从何抓起，不知需要怎么做。为了完成任务，我降低了难度，多设置了些台阶。我先把班级九个的6人学习小组划分成A、B、C三个大组，A组包括1组、2组、3组，B组包括4组、5组、6组，C组包括7组、8组、9组，并且布置了新的任务，就是把任务具体化，再进行分工合作。1组、4组、7组负责收集数据、进行抽样选取，合作协商，最后得到一个包含十个人的数学、语文、物理的成绩样本数据，我们暂且把这个问题归结为问题①;2组、5组、8组负责选择合适的数学模型，并进行数据处理和分析，我们把这个问题归结为问题②;3组、6组、9组负责文字表达、抽象概括、整理汇总等，我们把这个问题归结为问题③。要求学生必须全员参与、分工合作，积极工作，并且要求ABC三组的获取样本数据的方法必须不同，最先以文本形式呈现给教师的小组具有选择最佳方法的优先权，可以调动学生积极性，后面选择的方法必须与前面的不同，但是需要教师帮助的可以咨询教师，言外之意别人用过的方法不得重复，避免抄袭的可能，既调动了学生的积极性又为一题多解创设了教学的情境氛围，培养了学生的创新性思维。

经过学生的合作探究，第二天，我把ABC三个组分别交上来的作业情况分析如下：首先交上来的是B组。问题①采用的方法是学生通过询问小组中学生上次月考成绩，进行简单汇总，得到一组十个学生的数学、语文、物理三科成绩表。我进行了追问：“你们组使用的抽样方法是什么？”学生想了想回答：“我们用的方法是简单随机抽样方法，就是从本班随机的抽取十个同学，用他们的成绩作为样本。”我又紧接着问道：“那这种方法的优缺点是什么？这种方法抽出的样本能不能较好地代表全班或全校的成绩？随机性能不能得到体现？简单随机抽样的基本步骤是什么？表达的步骤体现是否充分？”学生有点明白，“老师，我们是不是太随意了，不是随机的抽取，失去了科学性。”“你说的太好了，希望你们能进行适当的更改，让你们的样本更有说服力，更具有代表性！。”课后他们做了很好的更改，他们依据数学成绩由高到低做了排序，进行了编号，用随机数表法进行抽样，抽出全年级理科生十个随机号，并把他们的三科成绩摘录如下表。

C组同学向网络百度学习，借用Excel表格工具，整理、汇总了整个年级理科学生305人的数学、物理、语文的成绩，他们直接用年级的所有学生作为研究样本对象，对于C组同学没有按照教师给定的抽取十人样本数据，而是采用年级所有数据作为样本，教师及时肯定了C组同学大胆地创新之举，同时也进行了恰当地提醒审题的重要性，分析了两者的利弊，让学生有针对性地进行甄别自己行为的利害。

问题②的处理方法各组也积极思考，采用了不同的方法来进行数据处理。A组同学借助计算器很快计算出数学和物理成绩的相关系数r1=0.87046，数学和语文成绩的相关系数r2=0.449828，依据相关系数得出结论：数学与物理的相关系数大于0.75，而且数学与语文的相关系数不到0.5，故可以说明数学和物理的相关性更好些，要比数学和语文的相关性更好些。B组同学首先画出了数学和物理的散点图，并借助Excel表，得到了两者的线性回归方程和R2，数学和语文的数据也一样的得到散点图和回归方程与R2，如图1所示：

B组同学由散点图和R2的含义从而得出：数学和物理的线性相关性相比于数学与语文的线性相关性更好些，且用线性回归拟合的情况更贴切一些;由数学与物理的相关系数r1=R1=0.839047，数学与语文的相关系数为r2=R2= 0.626099，也可以得出相似的结论，数学和物理的相关性相比于数学与语文的相关性要更好些。C组同学首先也是借助Excel表得到数学和物理、数学和语文的散点图，并进行了线性回归和R2的计算，得到如下图所示：

C组同学通过散点图和回归直线R2的数值对比，发现尽管数学和物理的R2大于数学和语文的R2，但是数学和物理的相关系数r=R==0.502991，并不大于0.75，数学与语文的相关系数就更小，更不具有相关性了。

看到B组和C组研究的方法类似，我进行了提示，“鉴于你们两组所用方法有很大的相似点，我希望有个小组主动进行进一步的研究，如：独立性检验研究，谁能主动地承担呢？结果C组同学自告奋勇承担了做进一步的研究。经过C组同学们的努力和研究，得到数学与物理成绩及格的独立性相关分析表如下：

由此表求出K2=1.485>1.323，得出有75%的把握认为数学与语文成绩及格有相关性。比较两者的结论分析，可以得出在犯错误概率不超过0.001的前提下可认为数学成绩与物理成绩具有更强更好的相关性。结合三个小组的研究情况，从不同的抽样不同的研究方法不同的研究角度都得到了一个相同的结论：数学成绩与物理成绩相对于数学成绩与语文成绩具有更好更强的相关性。

通过这道题的作业布置和活动研究，既可以让学生复习到本章的重要的数学基础知识，在应用的情境中掌握必要的基本技能，运用统计学用样本估计总体的基本思想，丰富学生在合作学习中的基本活动经验，锻炼学生在应用统计学知识发现和提出问题的能力和分析问题解决问题的能力，提升学生“能够会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”的能力，这是新课程提倡的数学核心素养的集中体现，也是数学核心素养的外在表现。

本章统计的内容在《高中数学课程标准》中作了较大调整，学习层次性更加明确，也更加强调了培养学生数据分析、数学建模、数学创新性等核心素养培养的重要性。细细品味，该板块内容对学生数学能力的全面发展具有重要意义，它带给学生应对数据时的一种态度与策略，带给学生一种更加宽广的思考方式，而这一切都基于数据分析观念的养成。但是，在统计教学中又如何具体开展数学建模和数据分析的研究，对于绝大多数教师来说还是一片空白。广大的中学教师为了适应和应对高考，一味地追求高考升学率，片面地进行解题教学，忽视新课程新教材对统计学的要求，不自觉地降低了对统计学的要求，更不能体现数学建模和数据分析的应用技术要求，无法真正地开展基于核心素养的数学教学。

从学生的表现，感受到学生的变化，学生能使用Excel数据表进行统计计算、数据分析，让我深深地叹服学生在探究活动中表现出的能力，对学生表现出来的数学素养大加赞扬。通过章末一道实践应用题的小组合作探究活动，学生既复习运用了本章绝大多数的知识点，巩固了学生所学内容，更重要的是让学生体会到数学与我们的生活息息相关，就在我们的身边，增强了学生运用数学知识分析问

题解决问题的能力，对同一个问题让不同的小组使用不同的方法来进行一题多解思维训练，培养学生创新精神，是教育教学改革的一条创新之路。学而时习之不亦悦乎。习为实习、实践，学以致用。创新是引领发展的第一动力，实践则是人类社会发展的根本，培养学生的创新与实践能力是学校教育的终极目标，转变教学方式以培养学生的学习能力、实践能力和创新能力是教师教学改革的头等大事。《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：教科书编写“应把‘数学探究’等活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中”，让学生通过数学探究活动，“初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创造的激情，提高发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的数学能力，发挥自己的想象力和创新精神”。新课标在强化学生数学实践能力培养上有若干新要求和新变化：在高中课程性质和基本理念中体现了实践能力培养的价值导向，首次明确提出发展学生数学实践能力的目标;处理好数学学科核心素养与实践能力培养的关系，在核心素养中融入数学实践能力培养的要求;在课程内容设计、数学学习基础、问题解决过程、数学学习评价上加强数学实践要求，力求将数学实践能力培养更好地落实于数学学习的全过程。在人教版高中数学教科书正文、附录和习题中设计了众多的数学实践探究内容，为高中数学实践探究教学的开展提供了充足的课程资源。“实践是检验真理的唯一途径”，实践是认识的来源，是认识发展的动力，是检验认识正确与否的唯一标准，也是认识的最终目的。真正的学问不仅仅是从课本上学来的，更重要的是通过实践来检验、巩固和应用它，甚至通过实践让它产生经济价值等。从书本上得到的知识毕竟比较肤浅，要透彻地认识事物还必须亲自实践，正是“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。

参考文献：

[1]关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J]. 史宁中，林玉慈，陶剑，郭民. 课程.教材.教法. 2017（04）.

[2]讓学生学真正的数学[J]. 章建跃.  中小学数学（高中版）. 2012（09）.

[3]高中数学探究性学习的实践与思考[J]. 赵伟. 教育探索. 2007（02）.