嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略的数学建模

杨月娇

摘 要：本文具体介绍了嫦娥三号在月球软着陆轨道的设计与具体控制策略问题，在合理假设的基础上，建立了合适的数学模型，给出了嫦娥三号月球软着陆轨道的设计和控制策略，并对其误差和灵敏度进行了分析。根据开普勒第三定律，得到了嫦娥三号着陆准备轨道的近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小和方向。为了保证嫦娥三号能够顺利到达月球之后降落在月球表面，同时，对外太空环境下各种因素所造成的干扰能够有效对抗。本文建立对嫦娥三号软着陆全过程六阶段的轨道参数、速度增量需求、燃料消耗、着陆精确度进行了分阶段计算和分步优化，制定了嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制方式。在各阶段分别建立了模型（5.2.1.1.1），模型（5.2.1.2.1），模型（5.2.1.6.1），模型（5.2.2.1），模型（5.2.2.6），对所需参数进行求解，并进行优化设计。建立了基于BP神经网络的数学模型，对着陆轨道设计和具体控制策略方案实施了误差和灵敏度分析。最后，在充分考虑误差的情况下，用计算机对方案进行初步模拟仿真，仿真结果表明，本文提出的轨道设计与最优控制策略方案是可行的。

关键词：嫦娥三号;软着陆;轨道设计;最优控制策略;BP神经网络系统

1.建模背景

2013年12月2日1时30分，嫦娥三号，成功发射，并于12月6日到达月球轨道。长三号目标工程是实现月球的软轴路探测和月球的表面巡视。月球到软着陆，是指月球的着陆器，通过订阅转换在月球附近，着陆在刹车系统的制动作用下，以很小的速度在月球表面垂直降落，以确保嫦娥三号内部的实验设备的完好无损和航天员的安全。[1]嫦娥三号在没有大气环境下，不能依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机来完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。月球软着陆分为2种形式：一种是将地球轨道转移到月球上，直接实现软着陆;另一种是将月球停放轨道改为靠近月球的点，然后实现软着陆。自环月停泊轨道开始的软着陆可大致分为两个部分：一部分是轨道转移，另一部分是轨道下降。[1]如图1所示即为第二种软着陆形式。霍曼转移轨道即嫦娥三号的着陆准备轨道。在着陆准备轨道上，嫦娥三号的运行质量为2.4t，安装在嫦娥三号下部的主减速发动机可以产生1500N到7500N的可调节推力，比冲为2940m/s，基本满足调整速度的控制要求。

轨道下降部分共分为六个阶段：（1）着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM，着陆点的位置由近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定。（2）主减速段：主减速段区间是距离月面15km到3km，嫦娥三号要在这个阶段实现到距离月面3公里处速度降为57m/s。（3）快速调整阶段：通过调整探测器姿态，做到从距离月面3km到2.4km处将水平速度减为0m/s，使主减速发动机的推力竖直向下，进入下一阶段。（4）粗避障阶段：范围是距离月面2.4km到100m区间，在这个阶段要做到能够避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。（5）精细避障段：区间是距离月面100m到30m，要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像获取三维数字高程图。通过分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点：在着陆点上方30m处要实现水平方向速度为0m/s。（6）缓速下降阶段，区间是距离月面30m到4m，控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道;着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为上述6个阶段，要在尽量减少软着陆过程的燃料消耗的基础上，满足每个阶段在关键点所处的状态。

根据以上的基本要求，建立了相对应的数学模型，以便于更好的解决如下问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）制订嫦娥三号登月轨道和各阶段的最优控制策略。

（3）针对着陆軌道和自由控制策略进行一系列的误差和敏感性分析。

2.模型的假设

（1）不考虑太阳、地球对嫦娥三号卫星的N体引力摄动及月球的自转;

（2）将月球近似看做一个质量均匀的球体;

（3）不考虑嫦娥三号卫星姿态调整时所产生的燃料消耗;

（4）将嫦娥三号卫星近似看做一个质点。

3.符号说明

为了便于描述问题，我们用一些符号来代替文中涉及的一些变量和常量，如表1所示。其他的一些变量将在文中陆续说明。

4.问题的分析

嫦娥三号从距离月面的高度下降到月球表面，在这一过程中，不考虑月球表面太阳风的影响，并且忽略月球的自转角速度引起的科氏力的影响。由于下降时间较短，所以地球和太阳对嫦娥三号卫星的摄动影响可以排除。嫦娥三号从椭圆形轨道进入着陆准备轨道，要求速度很快下降，从而才不致飞出月球。准备着陆过程中，主减速阶段嫦娥三号的运动近似为平抛运动，建立了平抛运动的模型。在快速调整阶段，此阶段由于飞行竖直距离较短，因此不考虑嫦娥三号消耗的燃料质量的影响，可以认为其满足机械能守恒定理，故可根据机械能守恒定理建立相关模型。在粗避障阶段和粗避障段：建立了有关位移矢量和速度的模型。考虑到在处，嫦娥三号已经基本处于着陆点的上方，因此在此处所假设的速度只存在竖直向下，在水平方面没有分速度。因为降落减速时间比较短只有垂直于月面的方向运动才能实现，所以在确定着陆点位置和着陆点轨迹时应当考虑燃料最有情况下推力最大，方向自由的方法，即取建立主减速段动力学模型。

5.模型建立

5.1 问题（1）的模型

5.1.1 嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置

根据材料分析得，建立以月球赤道平面为xoy平面，月心为坐标原点o，ox为月心与零度经线和零度纬线的交点的连线，oz为月球的极轴。如图2所示：

5.1.2 嫦娥三号在近月点和远月点的速度大小和方向

由问题的分析可知，嫦娥三号远月点进入着陆准备轨道，到达近月点时开始轨道下降。将嫦娥三号在着陆准备轨道上的运动近似看做其在月心引力下围绕月亮进行的环月运动。因此，嫦娥三号在着陆准备轨道上的运动遵循万有引力定律，设嫦娥三号在远月点的速度为，在近月点的速度为，由万有引力公式

5.2 问题（2）的模型

5.2.1 嫦娥三号在六个阶段的最优控制策略模型

本节通过分析嫦娥三号在各阶段的参数及约束条件，对嫦娥三号在各阶段的发动机控制策略进行了分析，并在各阶段单独建立数学模型，求取最优解来获得最优控制策略。

5.2.1.1 第一阶段：着陆准备阶段

嫦娥三号从远月点到近月点过程中围绕月球做椭圆轨道运动，满足开普勒第三定律：

其中，表示椭圆轨道的长半轴长度，表示周期，为常量。在此过程中，嫦娥三号关闭发动机，因此不考虑燃料的消耗，但是对于速度的优化将会影响着陆点的位置。

5.2.1.2 第二阶段：主减速阶段

距离月面到是主减速阶段的区间，在该阶段需要实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。也可看做文献[2]中的动力下降段。可以达到制动发动机可以抵消近月点较大的初始速度的目的。因此，制动段应以燃料优化为首要目标。[2]

嫦娥三号软着陆轨迹近似为抛物线轨迹，根据横向飞行的水平距离小于月球半径，将整个主减速度分为水平方向和竖直方向运动的过程，所以我们建立模型（5.2.1.1.1）如下：

其中ax，ay分别表示发动机产生的推力的水平加速度和竖直加速度，Tx，Ty分别表示发动机产生的水平推力和竖直推力，s表示嫦娥三号卫星在主减速阶段的水平位移，t表示在此阶段飞行的时间。

然后我们在主减速段，以燃料优化为主要目标建立优化模型，设从t1到t2时刻，嫦娥三号发动机持续工作，那么嫦娥三号的燃料消耗通过齐奥尔科夫斯基公式[3]：

5.2.1.3 第三阶段：快速调整段

快速调整阶段，主要是将探测器的姿态进行适当调整，从距离月面3km—2.4km处水平速度将逐渐减至为0。主减速发动机的推力竖直向下之后便进入了粗避障阶段。此阶段由于飞行竖直距离较短，因此不考虑嫦娥三号消耗的燃料质量的影响，可以认为其满足机械能守恒定理，故可根据机械能守恒定理建立以下模型（5.2.1.2.1）：

5.2.1.4 第四阶段：粗避障段

粗避障段，嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300m×2300m的范围进行拍照，获得数字高程如图3所示，并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。

利用数学软件MATLAB7.8.0进行数据导出及等高线图绘制，是确定嫦娥三号着陆位置确定及轨道设计的基础。

5.2.1.5 第五阶段：精避障段

精细避障段的区间是距离月面100m到30m。要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。图4是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图。

当嫦娥三号到达距离月球表面时，经过数学软件matlab7.8.0的使用，得到的高程图对应转化为等高线图形，这样我们能更清晰的看到准备着陆区域的地形，更方便选择着陆区域，是找到最优控制策略的基础。

5.2.1.6 第六阶段：缓速下降阶段

第五阶段飞行结束后，进入第六阶段，区间是距离月面30m到4m。将着陆器控制在距离月面4m处的速度为0是该阶段的主要任务。其实就是实现距离月面4m处相对于月面为静止状态。之后将发动机关闭，使得嫦娥三号做自由落体运动精确地到达落月点。在刚做自由落体运动时，嫦娥三号的下降初始速度很小，并且下降速度的方向与当地的水平面接近于垂直。因此，嫦娥三号在第六阶段的的运动简化在平面月球直角坐标系中。[2]如图5所示：

图2中，点为近月点，沿当地水平面指向下降方向，沿径向指向嫦娥三号。下降轨迹位于所在的纵向平面内。如图，为下降速度与垂直方向的夹角，满足重力转弯的情况。

根据上图，以及这样的制动推力盐式讨论最优开关的控制。[4]在下降速度与垂直下降速度两个方向可建立如下动力学模型（5.2.1.6.1）：

5.2.2 嫦娥三号的轨道设计模型

当嫦娥三号远动到近月点时，月球对它的引力远大于地球以及其他星球摄动的影响，月球近似视为球形，这样嫦娥三号和月球就可以看作一个二体来研究。[5]根据万有引力定律可得模型（5.2.2.1）：

6.模型求解

6.1 问题（1）模型求解

6.1.1 嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置求解

经MATLAB7.8.0编程求解得：经度为21.9W，维度为30.4N，离月球表面的高度為13900m。

6.1.2 嫦娥在近月点和远月点的速度大小和方向求解

根据万有引力公式及嫦娥三号在远月点和近月点的万有引力恒等式（5.1.2.1）和（5.1.2.2），将已知数据及参数代入上式中，即可推导并求解得到：

由此求解得到嫦娥三号在近月点和远月点的速度大小，并且两速度的方向都沿切线方向。

6.2 问题（2）的模型求解

6.2.1 嫦娥三号在六个阶段的最优控制策略模型求解

本节的模型本文为分阶段建模，所以在求解时利用直接推导数学软件Mathematica及Matlab分步求解相应模型。由此得到相应参数及最优控制策略的方案。

6.2.1.1 模型（5.2.1.1.1）的求解

6.2.1.3 粗避障段模型求解

利用数学软件MATLAB7.8.0对图3进行编程计算得到图7，然后在文件菜单的import data，导出数据后，再选择所有数据，在菜单工具栏中，选择“plot selection”，画出等高线图8。

通过高程图，用MATLAB7.8.0可以画出如上的水平面上的等高线图像，可以知道等高线越密集处，地形越陡峭。相反，如果等高线越稀疏，则坡度越舒缓。图中由不同的颜色表示，颜色不同表示了不同的坡度情况，颜色稀疏的地方容易形成低洼，或盆地，不适合嫦娥三号的着陆，而颜色较密集的地方，说明坡度较陡，嫦娥三号着陆点应该避开这些区域，在颜色集中，分布均匀的地方，说明它们在同一个高度，为了着陆的安全考虑，这些位置更适合嫦娥三号的安全着陆。

6.2.1.4 精避障段模型求解

如6.2.1.3小节，利用数学软件MATLAB7.8.0对图4进行编程计算得到图9，然后在文件菜单的import data，导出数据后，再选择所有数据，在菜单工具栏中，选择“plot selection”，画出等高线图10。

当嫦娥三号到达距离月球表面时，经过MATLAB7.8.0的编程，得到的高程图对应转化为等高线图形，这样我们能看到更清晰的准备着陆区域的地形，同样地，应避免不同颜色交织的地方，因为这些地方地形较为陡峭，不适合着陆，颜色相同多的地方为较好的着陆点，可以看出图中的白色和浅绿为较好的着陆点。

7.模型的检验与结果分析

在研究软着陆点的动力下降全程，实现神经元制导控制，我们用一种改进的BP算法去训练神经网路，构成一个闭环的软着陆控制系统，使着陆器按照一条优化的轨迹实现软着陆。[7]通过仿真结构分析，和探测器软着陆的初始参数进行对比，来检验结果的正确性，对软着陆过程可能出现的某些干扰因素进行预防。因此，软着陆对实际安全着陆有很高的应用价值。

参考文献：

[1]王鹏基，张熇，曲广吉，月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真，中国科学E集：技术科学[J] 39（3 ）： 521-527，2009.

[2]王鹏基，张熇，曲广吉，月球软着陆下降轨迹与制导律优化设计研究，宇航学报28（5）：1175-1179，2007.

[3]J Y R Liew et al. Improved nonlinear plastic hingeanalysis of space frame structures[J]. EngineeringStructures， 22： 1324-1338，2000.

[4]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011.

[5]韩中庚，数学建模竞赛：获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，2007.

[6]李冬雪，月球探測器软着陆有限推力控制轨道优化设计，V448.233，2007.

[7]王大轶，马兴瑞，李铁寿，严辉，月球软着陆的神经元最有制导控制方法，系统工程与电子技术991211，121（12）：31-36，1999.