一类弹性碰撞问题的简单解法

摘 要：本文在课本中一类弹性碰撞问题两种解法的基础上，利用对称思想，深入探讨了一种简单的求解过程，激发对复杂问题的思考，培养分析解决问题的能力。

关键词：弹性碰撞;对称;动量定理

在人教版高中物理选修3-5中，有一节专门讨论碰撞问题的内容。课本以“思考与讨论”的形式，让学生通过建模和计算，探究碰撞后两物体的速度。

如图，光滑水平面上的两个刚性小球，质量为m1的小球1以速度v1和质量为m2的静止小球2发生弹性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

课本通过提示，建立动量守恒定律和能量守恒定律，列出两个方程，

对于上述的二元二次方程组，教师有必要在课堂上给学生演示或讲解求解过程。现成的解法无非是将①式中的v1’用v2’表达出来，代入②式，再解一元二次方程。但其中一组答案是v1'=v1，v2'=0，可以舍掉。

再联立①④，很容易就可以得到答案。

尽管如此，以上两种方法，无论是求解过程，还是最终答案的识记，对高中生来说都有一定的难度。但对于碰撞后两球速度的讨论，以及遇到的更复杂的弹性碰撞问题（如两球都有初速度），这个过程又是必不可少的。怎样才能让学生更容易求解及识记这个碰撞后的结果呢？

在多次繁琐的求解中，我意识到，两小球的这种弹性碰撞，是经历了从开始形变，到形变量最大，再到完全恢复形变的过程，好像有对称的思想，那么如果能根据以形变量最大的时刻为对称点，找到碰撞前后速度关于形变量最大时刻的共同速度的对称关系，是否就能化简求解过程呢？

带着这样的疑问，我把求解两小球系统动量守恒的四个动量定理的方程写出来进行比较。设从开始形变到形变量最大的时间为t1，这段时间内两球间的平均作用力大小为F1;从形变量最大到完全恢复形变的时间為t2，这段时间内两球间的平均作用力大小为F2;在形变量最大时，两球的共同速度为v共。考虑矢量性，则

思考F、t的含义，我们能够想到，对于接触的两个弹性形变的物体，它们的形变是对方引起的。当考虑小球1时，它关于形变最大时刻对称的两个时刻，形变应该是相同的，不过一个是向最大形变发生的状态，一个是由最大形变恢复的状态。这样，在碰撞过程中，每时每刻都有关于形变最大时刻对称的两个状态，所以每一组弹力F大小应该也是相同的。虽然每时每刻的弹力不同，但画出的F-t图像一定是轴对称的，对称轴就是形变最大的时刻。因此，F关于t的图像相对于对称轴两边所围成的面积也是相等的，即F1t1=F2t2。

对称的思考，让我们找到了比前面两种更为简洁的解法：根据动量的矢量性，先求解两弹性碰撞小球能达到的共同速度v共，再乘以2后，减去各自的初始速度，即可得到每个小球碰撞后的末速度。这样的求解和结果的识记，都非常简便。

以更复杂的情况作为检验，如图，光滑水平面上的两个刚性小球，当质量为m1的小球1以速度v1去和质量为m2、速度为v2的小球2发生弹性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

用我们探索出来的方法计算，和常规方法得到的结果是一致的：

参考文献

[1]人民教育出版社，课程教材研究所等.普通高中课程标准实验教科书物理（选修3-5）[M].人民教育出版社，2010：17-19.

[2]王平水.一类常见弹性碰撞的求解及规律探讨[J].中学生数理化（高二版），2010，04：24-25.

作者简介：陈博（1983.6），男，汉族，河南郑州人，本科，中级教师