关于齿轮齿根过渡曲线与齿根应力的关联分析

谭英林 张浩

摘要：本文在介绍渐开线齿轮齿根过渡曲线的类型的基础上，分析了齿根过渡曲线与齿根应力的关联及解析计算方法，对于今后的齿轮设计具有一定帮助。

关键词：齿根分析;齿根过渡曲线;齿根应力

0  引言

当齿轮的转速升高以后，轮街以及机械的变形也会随之增大，另外由于在安装和制造的过程中也会产生一定的误差，所以从理论上来讲，等同于两个节圆作纯滚动的渐开线齿轮传动，所以应力集中现象容易发生在齿根过渡曲线处，则齿根过渡曲线处会产生渐开线齿轮的最大弯曲应力，而过渡曲线的形状会直接决定弯曲应力的大小。因此合理选择齿根过渡曲线，以提高弯曲强度具有重要意义[1，2]。

1  齿根过渡曲线的类型

齿根过渡曲线是由齿轮刀具的刀顶部分加工出来的，所以齿根过渡曲线的形状是根据刀顶曲线形状所得出的。在加工齿轮时，用齿条型的刀具，等同于齿条齿轮的啮合。在加工齿轮的过程中，齿轮的齿廓渐开线和齿根过渡曲线两部分，分别是由齿条型刀具的直线部分和圆角部分进行切出。与此同时，在进行齿轮加工时，齿轮的节圆和刀具的加工节线作纯滚动，所以可以得出齿轮过渡线是刀具圆角圆心所描出的延伸渐开线的等距曲线。

现阶段，在采用齿条型刀具对齿轮进行加工时，在一般情况下，齿根过渡曲线有两种表现形式（如图1和图2所示），图1的过渡曲线表现形式为：当齿条型刀具顶部和齿廓顶部有两个圆角的情况下，则表现为图1（注：在图1中，Ⅱ两段为延伸渐开线的等距曲线，Ⅲ段为齿轮的根园圆弧）;图2的过渡曲线表现形式为：当齿条型刀具顶部和齿廓顶部有一个圆角的情况下，则表现为图2（注：在图2中，1段为一整段延伸渐开线的等距曲线）;另外在图2的齿根过渡曲线中，过渡曲线表现为一整段圆弧（即为国标推荐使用的齿轮齿根过渡曲线形式）。

2  齿根弯曲应力的解析计算方法

图3表示为一个轮齿，其齿宽为单位长度。A，B两点对称于坐标轴弘，AD和BD分别表示过渡曲线上的A点和占点的法线的方向。

在局部应力最大点，容易发生齿根弯曲疲劳裂纹，裂纹的方向指向曲线法线方向，所以对ADB截面上的应力规律进行重点分析，可以找到齿根局部的最大应力。

局部应力的计算公式为：

3  齿根过渡曲线方程

当采用齿条型刀具加工齿轮时，虽然第一种和第二种曲线都为延伸渐开线的等距曲线，但是刀具齿廓参数有一定的差别，以下分别计算得出刀具齿廓参数间的关系：

对于第一种过渡曲线，刀具齿廓参数间具有如下关系：

对于第二种过渡曲线，刀具轮廓中参数间具有如下的关系：

其中，ha-刀具齿顶高;a-刀具圆角圆心Cp距离中線的距离;b-刀具圆角圆心Cp距离刀具齿槽中心线的距离;rp-刀顶圆角半径;c-径向间隙系数。

对于齿轮的加工用齿轮型的刀具。其中，？琢′为变参数，？琢′在？琢和90°之间范围内变化。

所以延伸渐开线等距曲线上任意一点的曲率半径为：

当采用齿条型刀具加工齿轮时，虽然第三种和第四种曲线都为延伸外摆线的等距曲线，但是刀具齿廓参数有一定的差别，以下分别计算得出刀具齿廓参数间的关系：

对于第三种过渡曲线，刀具齿廓其参数关系如下：

对于第四种过渡曲线，刀具齿廓其参数具有如下关系：

联立上述两式可以求得？琢t和？籽。

4  计算结果分析

以下的计算，应用的是上文中所提到的公式，按照相关对应的公式，计算某种减速器第一级转动的齿轮（齿轮的基本参数如表1所示），研究不同齿根过渡曲线处的齿根应力的大小。齿轮上作用切向力Ft=6800N，径向力Fr=2500N。

在计算的过程中，为了计算方便以及更好的进行比较，将载荷作用于齿顶进行了假设，通过上文的公式，利用MATLAB软件编程，得出图4所示二维关系图（其中横坐标为？酌角的值，纵堆标为齿根应力？滓值）。

5  结论

从图4中得出，不同的曲线都有不同的值，也就是过渡曲线的局部最大应力的点。而齿根局部应力最大点，从过渡曲线中可以得知，由于曲线的不同，最大应力点也会各不相同。如表2所示，列出了齿根过渡曲线处的最大应力和出现最大应力的截面的位置角。

从结果数据可以看出，采用第五种过渡曲线的齿轮齿根弯曲强度最低，而其它四种过渡曲线的齿轮齿根弯曲强度都比第五种有所提高，提高的百分比（按照顺序1-4）分别为：7.42%、8.57%、12%、13.71%。

参考文献：

[1]袁哲，孙志礼，郭瑜.直齿圆柱齿轮齿廓修行曲线优化设计[J].机械传动，2010（5）.

[2]任刚，杨秀丽，袁文武，等.误差直线逼近齿轮过渡曲线的计算方法[J].机械，2010（5）.

[3]张玲玲.变位系数在齿轮设计中的应用[J].内燃机与配件，2019（16）：143-144.