图形旋转与中心对称题型解析

汤文卿

一、旋转图形相关元素的确定

关于旋转我们知道：旋转前后的两个图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

例1（2019·山东·淄博）如图1，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转α（0<α<180°）得到格点三角形A1B1C1，点A与A1、点B与B1、点C与C1分别是对应点，则α= 度.

解析：因為旋转图形的对称中心到对应点的距离相等，所以分别作AA1，CC1的垂直平分线，两直线的交点D即为旋转中心（注意：这是在网格中作图，位置要准确），如图2，连接AD，A1D，而对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，所以α=∠ADA1=90°. 故应填90.

二、旋转与中心对称图形作图

例2 如图3，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.

（1）在图中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形;

（2）在图中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;

（3）在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.

解析：根据中心对称、轴对称、旋转的判定可作图4、图5、图6，△DCE、△ACF、△GCH依次为所求作的图形.

例3 图7是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.

（1）请用圆规画出点D →D1→D2→D经过的路径;

（2）所画图形是 对称图形;

（3）求所画图形的周长（结果保留π）.

解析：（1）点D →D1→D2→D经过的路径如图8所示.

（2）所画图形是轴对称图形. 故应填轴.

（3）所画图形的周长等于半径为4的圆的周长，该周长为8π.

三、旋转综合问题

例4 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<α<360°），得到矩形AEFG.

（1）如图9，当点E在BD上时. 求证：FD = CD;

（2）当α为何值时，GC = GB. 画出图形，并说明理由.

解析：（1）由旋转可知AE = AB，

∠AEF = ∠ABC = ∠DAB = 90°，EF = BC = AD，

∴∠AEB = ∠ABE，

∴180°-∠AEB - 90°= 180°- ∠ABE - 90°，

∴∠EDA = ∠DEF.

∵DE = ED，∴△AED ≌ △FDE（SAS），∴FD = AE，

又∵AE = AB = CD，∴FD = CD.

（2）当GB = GC时，G在BC的垂直平分线上，分两种情况：

①当点G在AD右侧时，如图10，

取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接GD，GC，GB.

∵GC = GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，

∴AM = BH = ■ BC = ■ AD，∴GM垂直平分AD，

∴GD = GA= DA，∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG = 60°，∴α = 60°;

②当点G在AD左侧时，如图11，

同理可得等边三角形ADG，∴∠DAG = 60°，

∴α = 360°- 60°= 300°.

综上可知，α 为 60°或300°时，GC = GB.

（作者单位：江苏省海门中学初中部）