探求抛物线中的

周娟

利用二次函数求以动点为背景的最值问题，是中考数学的重要题型之一. 现以中考题为例探究此类问题的解题思路，剖析解决问题的关键.

一、探求线段和三角形面积最值

例1（2019·湖南·衡阳）如图1，二次函数y = x2 + bx + c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.

（1）求该抛物线的函数解析式.

（2）当点P在线段OB（点P不与O，B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？求出这个最大值.

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN，MB.

请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标;若不存在，请说明理由.

分析：（1）将点A，B的坐标代入二次函数解析式求解;（2）由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示出OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值;（3）如图2，过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△BMN = S△BMH + S△MNH即可求解.

解：（1）抛物线函数解析式为y = x2 - 2x - 3.

（2）根据条件可得△POE∽△CBP，∴ = ，设OP = x，则PB = 3 - x，

∴ = ，∴OE =  -x

- 2 + ，

∴当x = 时，OE有最大值.

（3）存在. 如图2，过点M作MH∥y轴，交BN于点H，

设M（m，m2 - 2m - 3），则H（m，m - 3），

∴MH = -m2 + 3m，S△BMN = S△BMH + S△MNH = xB·MH = -m

- 2 + ，

当m = 时，△MBN最大面积为.

点评：第（3）问的技巧在于将三角形一分为二，利用B点的横坐标作为总高，巧妙借助二次函数图象上M点的纵坐标，将三角形面积表示成关于m的一元二次函数.

二、探究四边形面积最值

例2（2019·四川·自贡）如图3，已知直线AB与抛物线C：y = ax2 + 2x + c相交于点A（-1，0）和点B（2，3）两点.

（1）求抛物线函数解析式.

（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA，MB为相邻的两边作平行四边形MADB，当平行四边形MADB的面积最大时，求此时平行四边形MADB的面积S.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在定点F，使抛物线上任意一点P到点F的距离等于到直线y = 的距离？若存在，求出定点F的坐标;若不存在，请说明理由.

分析：（1）將点A，B的坐标代入二次函数解析式求解;（2）将平行四边形的面积的最值转化为三角形的面积最值的2倍来解答;（3）设P到直线y = 的距离为PG，用PF2 = PG2建立方程求解.

解：（1）抛物线的函数解析式为y = -x2 + 2x + 3.

（2）直线AB的解析式为y = x + 1. 过M作MN∥y轴交AB于N，

设M（m，-m2 + 2m + 3）（-1 < m < 2），则N（m，m + 1），

∴MN = -m2 + m + 2，

∴S△ABM = S△AMN + S△BMN = （xB - xA）MN = -m

- 2 + ，

当m = 时，△ABM的面积有最大值，

平行四边形MADB最大面积为.

（3）存在，点F1

，.

理由：当P点和顶点（1，4）重合时，P点到直线y = 的距离为，此时可以确定F1

，.

当P不与顶点重合时，如图4，过点P作直线y = 的垂线段PG，连接PF，

设点P（x，-x2 + 2x + 3），∴PG =  - （-x2 + 2x + 3） = x2 - 2x + ，

而PF2 = （x - 1）2 + -x2 + 2x + 3

- 2 = （x - 1）2 + x2 - 2x

+ 2，

∴x2 - 2x

+ 2= （x - 1）2 + x2 - 2x

+ 2，用平方差公式化简得到0·x = 0，

∴当F1

，时，无论x取任何实数，均有PG = PF.