一道利润问题的变式思考

于宗英 刘江艳

利用一元二次方程或二次函数来解决生活中的利润问题是中考极为常见的题型. 下面以一道中考题为例，对其进行变式思考，向同学们介绍此类问题的常见解题思路.

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（2019·贵州·安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0 < x < 20）之间满足一次函数关系，其图象如图1所示：

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

分析：（1）设一次函数解析式为y = kx + b，由图象得出：当x = 2时，y = 120;当x = 4时，y = 140. 解方程组解可. （2）由题意得出方程（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，解方程即可.

解：（1）设一次函数解析式为y = kx + b，

由图象得：当x = 2时，y = 120;当x = 4时，y = 140.

∴2k + b = 120，

4k + b = 140， 解得k = 10，

b = 100，

∴y与x之间的函数关系式为y = 10x + 100.

（2）由题意得（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9，

∵让顾客得到更大的实惠，

∴x = 9.

答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.

点评：本题中销售量y（千克）与每千克降价x（元）成一次函数关系，在这种情况下，只要把每千克的利润用含x的代数式表示，销售量也用含x的代数式表示，根据它们与总利润的关系即可完成解答. 这样的设计分散了题目的难度，可以使更多的同学解答出来. 本题常见的变式如下.

  变式一：改变已知条件

例1 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，每天可以销售100千克. 现决定降价销售，已知这种干果每千克降价1元则多销售10千克. 商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

解析：解决本题的关键是利用公式：总利润 = 每千克的利润×销售量，

设每千克降价x元，可获利2090元，

則每千克的利润为（60 - 40 - x）元，销售量为（100 + 10x）千克.

列方程得（60 - 40 - x）（100 + 10x） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9.

答：这种干果每千克应降价1元或9元.

  变式二：改变所求结论

例2 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售. 现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0 < x < 20）之间满足一次函数关系，其图象如图2所示：

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）这种干果每千克降价多少元时，商贸公司所获利润最大？

解析：（1）同上面例题解法;

（2）设每千克降价x元时，所获利润最大，

可设最大利润为W，则有W = （60 - 40 - x）（10x + 100），

整理得W = -10x2 + 100x + 2000，

∵-10 < 0，∴当x = 5时，W有最大值.

答：这种干果每千克降价5元时，商贸公司所获利润最大.

总结：此类问题的变式还有很多，在此不再一一列举，但不管问题怎样变化，只要抓住利润中的关系式，便可以使问题得到解决.