帮你闯关“辅助线”（十二）

张鑫

旋转是指在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，其作用主要是转移等量. 平面几何辅助线中，旋转往往可以由“补形”的方法获得，因此旋转可以由作全等替代，但二者的不同之处在于旋转可以带来除图形内部角相等外的其他角的数量关系.

例1 如图1，小方格都是边长为1 的正方形. 求以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积.

分析：将不规则图形割补成规则图形，观察题给图形可以发现“互补”的部分. 整体上看，左右两部分“叶状”阴影图案是轴对称关系;局部看来，单独的“叶状”阴影图案具有部分中心对称的关系，由此奠定了割补的方向.

解：如图1，连接AB，则阴影①可以绕点C旋转180°到②的位置，从而在图中左侧形成一个半径是2的90°弓形，由此可得阴影面积 = 2（S扇形AOB - S△AOB） = 2

-

×2×2 = 2π - 4.

点评：通过旋转拼接出规则图形是解决本题的关键.

例2 如图2，△ABC中，AC = 4，BC = 6，求中线CD的取值范围.

分析：题目求线段长度的取值范围，容易联想到三角形三边关系定理，故可以考虑通过等量位移将分散的条件集中起来. 中点D将线段AB平分，提供了180°旋转的先决条件.

解：∵CD是中线，

∴如图2，将△CDB绕点C旋转180°后，点B与点A重合，DE = DC，∠CDE = 180°，

则△ADE≌△BDC，∴AE = BC = 6.

在△ACE中，AE - AC < CE < AE + AC，

即6 - 4 < 2CD < 6 + 4，∴1 < CD < 5.

点评：通过旋转将分散的条件等量位移后集中起来是解决本题的关键. 本题也可以通过延长CD至点E，使DE = DC来获解.

例3 如图3，在四边形ABCD中，AB = AD，BC = 2，CD = 5，∠BAD = 60°，∠ABC + ∠ADC = 180°. 求AC的长.

分析：题给条件“AB = AD，∠ABC + ∠ADC = 180°”奠定了將△ABC绕点A旋转后与△ACD“合璧”为一个规则图形的基础. 其中的“AB = AD”确保了拼接后两条边能重合，“∠ABC + ∠ADC = 180°”确保了拼接后C，D，E三点能共线.

解：如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得△ADE，

由旋转可知△ABC≌△ADE，∴∠B = ∠ADE.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∴∠ADE + ∠ADC = 180°，

∴C，D，E三点在同一直线上.

又∵∠CAE = ∠CAD + ∠DAE = ∠CAD + ∠BAC = 60°，且AC = AE，

∴△ACE是等边三角形，∴AC = CE = CD + DE = CD + BC = 5 + 2 = 7.

点评：通过旋转实现不规则图形向规则图形的等面积变换是解决本题的关键.

例4 如图4，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH，CH，当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，求DH的长.

分析：题目求长度，虽然只给了一个已知长度，但可以通过等边三角形的性质得到另外两边的长度. 题给的直角无法直接应用，故想到借助60°角进行旋转构造新的等边三角形，从而得到特殊的直角三角形.

解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC = 60°，AC = AB = .

如图4，将△ABH绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，连接EH，

则∠EBH = 60°，BE = BH，CE = AH，

∴△BEH是等边三角形，∴BE = EH，∠BHE = ∠BEH = 60° = ∠BHD，

∴点A，H，D，E在一条直线上，

∴∠BEC = ∠BHA = 180° - ∠BHE = 120°，则∠CEH = ∠BEC - ∠BEH = 60°.

∵∠AHC = 90°，∴∠EHC = 90°，∴∠HCE = 180° - ∠EHC - ∠HEC = 30°，

∴AH = CE = 2EH，CH = EH.

在Rt△AHC中，AH2 + CH2 = AC2，即（2EH）2 + （EH）2 = （）2，

∴EH = 1，CH = .

过点B作BF⊥DE于点F，则BF = BE =  = CH，HF = BH = .

∵∠BFD = 90° = ∠CHD，∠BDF = ∠CDH，∴△BDF∽△CDH，∴ =  = ，

∴DH = 2DF = HF =  ×  = .

点评：通过旋转将具有特定数量关系的边和角集中在特殊三角形中，从而为解直角三角形创造条件是解决本题的关键. 本题也可以通过延长AD至点E，使HE = HB来求解.