综合与实践类问题例析

闵家军

综合与实践类问题是依据新课程标准以及中考改革方向进行命制的一类特殊试题，此类问题能够考查同学们对所学知识的应用意识和应用能力，越来越受中考命题人的青睐. 下面举例介绍其解题思路.

一、实际情境类

例1 【生活观察】  甲习惯于买一定质量的菜，乙习惯于买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：

第一次买菜                  第二次买菜

[ 菜价3元/千克 质量 金额 甲 1千克 3元 乙 1千克 3元 ] [ 菜价2元/千克 质量 金额 甲 1千克 元 乙 千克 3元 ]

（1）完成上表;

（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价. （均价 = 总金额 ÷ 总质量）

【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，请用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价[x甲]，[x乙]，比较[x甲]，[x乙]的大小，并说明理由.

【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1;当水流速度为p时（p < v），船顺水航行速度为（v + p），逆水航行速度为（v - p），所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.

解析：【生活观察】（1）第二次买菜甲填2，乙填1.5.

（2）[x甲] = [3+21+1] = 2.5（元/千克），[x乙] = [3+31+1.5] = 2.4（元/千克）.

答：两次买菜，甲的均价是2.5元/千克，乙的均价是2.4元/千克.

【数学思考】∵[x甲] = [ma+mbm+m] = [a+b2]，[x乙] = [n+nna+nb] = [2aba+b]，∴ [x甲] - [x乙] = [a+b2] - [2aba+b] = [（a-b）22（a+b）].

當a = 0且b = 0时，虽然算式无意义，但对应的是甲、乙二人均未买菜，故[x甲] = [x乙];当a > 0且b > 0时，①若a = b，则[x甲] - [x乙] = 0，即[x甲] = [x乙];②若a ≠ b，则∵（a - b）2 >; 0，2（a + b） > 0，∴[（a-b）22（a+b）] > 0，即[x甲] > [x乙].

【知识迁移】t1 = [s+sv] = [2sv]，t2 = [sv+p+sv-p] = [2vsv2-p2]，t1 - t2 = [2sv] - [2vsv2-p2] = 2vs[1v2-1v2-p2].

∵0

∵s > 0，∴2vs > 0，∴2vs[1v2-1v2-p2] < 0，即t1 < t2.

点评：此题取材于生活实际，问题情境十分容易理解，要注意提取其中的数学元素，准确选用相应公式进行计算. 作差法比较大小是本题的核心技巧，而比较分式的大小需要综合运用分式的基本性质和不等式的基本性质，尤其要注意分类讨论思想的运用.

二、数学问题情境类

例2 【探索发现】如图1，有一张直角三角形纸片. 小亮想从中剪出一个以直角∠B为内角，且另外三个顶点也在直角三角形边上的矩形（本题称其为内接矩形）. 经过多次操作发现，当沿着中位线DE和EF剪下时，所得的内接矩形面积最大. 随后，小亮通过证明验证了其正确性，并得出结论：以直角三角形直角为内角的内接矩形最大面积是原直角三角形面积的 .

【拓展迁移】如图2，在△ABC中，BC = a，BC边上的高AD = h，则内接矩形PQMN面积的最大值为 . （用含a，h的代数式表示）

【实际应用】如图3，有一块“缺角矩形”木板余料ABCDE，AB = 32 cm，BC = 40 cm，AE = 20 cm，CD = 16 cm. 小亮从中剪出了一个以∠B为内角的内接矩形面板，请尝试直接应用【探索发现】中的结论求该面板的最大面积.

解析：【探索发现】[12]（或一半）;【拓展迁移】[14ah];【实际应用】（篇幅所限，只简单介绍一下思路）如图4，令直线DE与直线AB和直线BC分别交于点F和G，取△FBG的中位线HI和IJ，易得点I在线段DE上，则四边形BHIJ就是Rt△FBG的最大内接矩形，其面积为[12]SRt△FBG = 720 cm2.

答：该面板的最大面积为720 cm2.

点评：此题取材于数学问题情境，其算理内核是借助三角形相似（含三角函数）运用二次函数解决矩形面积问题，采用了“直接应用本题结论”的方式考查了知识迁移能力——学以致用，而不是让同学们“从头来过”.

总结：中考试题的挑战性往往来自于两个方面，一方面是题目难度大，另一方面是题目比较陌生. 综合与实践类问题属于后者——陌生的情境带来了理解上的困难. 因此，要在中考备考阶段主动涉猎这类题目，模拟考场的状态计时认真作答，然后对照答案细心揣摩思路与方法，从而积累解题经验.