一元二次方程根与系数关系的巧用

马瑞

若[x1，x2]分别是一元二次方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）的两个根，则[x1+x2=-ba]，[x1x2=ca]，这个命题叫作一元二次方程的根与系数的关系，也叫韦达定理. 该定理的应用非常广泛，下面就其在代数式求值问题中的应用举例说明.

例1 若[a≠b]且[a2=3a-1]，[b2=3b-1]，求[a-3+b-3]的值[.]

解：由已知得，[a2-3a+1=0]，[b2-3b+1=0] 且 [a≠b]，

[∴][a]，[b]是方程[x2-3x+1=0]的两个根，

[∴][a+b=3]，[ab=1]，

[∴][a-3+b-3] [=1a3+1b3] [=a+b3-3aba+bab3][ =18].

点评：将已知条件作恒等变形，巧妙地应用[a，b]是方程的两个根，然后应用一元二次方程的根与系数的关系就快速求得代数式的值.

例2 已知[p2-2p-5=0]，[5q2+2q-1=0]，其中[p]，[q]为实数，求[p2+1q2]的值[.]

解：显然[q≠0]，由[5q2+2q-1=0]得 [1q2-2·1q-5=0]，

又∵[p2-2p-5=0]， [∴] [p]，[1q]可看成是[x2-2x-5=0]的两个根，

当[p≠1q]时，[p+1q=2]，[p·1q=-5]，

[∴p2+1q2=p+1q2-2p·1q][ =4+10=14]，

当[p=1q]时，[p]，[1q]是方程[x2-2x-5=0]的一个根，此时方程两根为[x1=1+6]，[x2=1-6]，

[∴p2+1q2=2p2=21±62][=14±46]，

[∴p2+1q2]的值为[14]或[14±46].

点评：解题关键是利用转化思想，巧妙地把所求代数式分解成与方程的两个根有关的形式.

例3 已知a，b，c为实数且[a+b=5]，[c2=ab+b-9]，求[a+b+c]的值.

解：[∵a+b=5]，[c2=ab+b-9]，

[∴b+a+1=6ba+1=c2+9]

则[b]，[a+1]为[t2-6t+c2+9=0]的两根，

[∵] a，b为实数，[∴] b，[a+1]为实数，

则[t2-6t+c2+9=0]有实根，

[∴][Δ=36-4c2+9=-4c2≥0]，

[∴][c=0]，

则[a+b+c=5+0=5].

点评：應用一元二次方程的根与系数的关系时，一定要注意将已知条件转化成两数之积和两数之和的形式，从而达到构造一元二次方程的目的.

综上所述，一元二次方程的根与系数的关系在代数式求值问题中应用比较广泛，其严密性、灵活性要求甚高，同学们在学习过程中应严格把握、灵活应用.

（作者单位：甘肃省定西市陇西县柯寨初级中学）