帮你闯关“辅助线”（十三）

张鑫

轴对称型辅助线是依据轴对称的定义作一个图形与原图形对称，进而应用轴对称的性质解题. 轴对称型辅助线也常含有补形的成分，常与延长型和连接型等辅助线配合使用.

例1 如图1是台球桌面两个球，参赛选手要通过用球杆击打A球，使A球撞击B球，B球经桌边CD反弹后向上方中袋的中心M滚动，从而进入袋中. 请判断，在击球力量足够大的情况下，A球经球杆击打后与B球发生“正碰”（碰撞后，B球沿碰撞瞬間两球球心所在直线行进，且满足入射路线与桌边的夹角等于反弹后行进路线与桌边的夹角）后能否进入上方的中袋，并说明理由.

分析：根据题意，球反弹的行进路线遵循物理的镜面反射规律，因此，需要作出球关于桌边的对称点.

解：不能. 如图1，作B关于CD的对称点B′，作射线MB交CD于点P，作射线B′P，则∠B′PD = ∠BPD = ∠APC，符合台球反弹时的角度规则. 由图1可知，A不在射线B′P上，∴A球经球杆击打与B球发生“正碰”后不能进入中袋M.

点评：作对称实现角的等量转移是解决本题的关键.

例2 如图2，已知∠AOB = 45°，点M，N分别是∠AOB的两条边上的任意一点（不与点O重合），点C在∠AOB的内部，且OC = 2. 试确定点M，N的特定位置，使△CMN的周长最小，说明理由并求出最小值.

分析：题给已知条件“∠AOB = 45°”容易让人联想到等腰直角三角形，结合题目所求“周长最小”，进而联想到需要借助轴对称实现等量转移.

解：如图2，分别作点C关于OA和OB的对称点C′，C″，连接C′C″，分别交OA，OB于点M，N，连接CM，CN，此时点M，N的位置能使△CMN的周长最小.

点评：对称能够实现几何元素的等量转移，是解决直线外一点与直线上一点之间最短距离的一种有效方法. 能否借助轴对称将题给45°转化为直角是解决本题的关键.

点评：利用轴对称型辅助线实现等量转移是解决本题的关键. 另外，由于AE⊥BD，“作A点关于BD的对称点A′”也可以由“延长AE到A′，使A′E = AE”得到.