平衡观下问题导向的数学概念课

摘要： 学生在学习新概念时会产生认知冲突，通过同化和顺应可寻求冲突的解决，达到平衡状态.问题能提供引发认知冲突的环境，问题导向让学生在互动中寻求平衡，促进概念的学习、建构与掌握.

关键词： 平衡观;概念课;问题导向;反思

概念学习是知识学习的逻辑起点[1：227]，搞好概念教学是传授知识的首要条件，对于学生知识的掌握、认知结构的完善、思维能力的培养和认知发展都具有重要意义.现代数学教育理论围绕着数学概念教学的研究在心理发展规律、认知结构、能力培养、教学方法等方面已取得许多成果[2].在目前概念教学的同化模式基础上，本文试引入顺应，在问题导向下实现同化和顺应的融合、平衡，寻求数学概念教学的突破.

1 数学概念及其教学现状

数学概念是客观现实中的数量关系和空间结构形式的本质属性在人脑中的反映.它是数学基础知识的重要组成部分，是判断和推理的起点.数学概念课的基本要求是“理解、掌握、运用”.在对概念本质和概念获得的认识，以及实证研究的基础上，发展出了概念形成模式、概念同化模式、问题引申模式、坦尼森模式等概念教学模式[1：238-246].其中概念同化模式以其简洁、有效的优点成为学生概念教学的最基本模式[3，4].

概念教学的上述模式各有优点，但也都存在明显的缺点.仅以概念同化模式为例，其缺点归纳起来有如下几点：

首先，概念同化模式遵循“先行组织者→定义概念→强化概念→概念应用→形成概念域（系）”操作路线，建立在皮亚杰的认知发展理论和奥苏贝尔的认知同化学习理论之上.皮亚杰的认知发展理论总体上属于结构主义的，认为发展是以一种固定不变的模式进行的，对于行为的重视相对较少.而且，皮亚杰的认知发展理论强调学习者个人的作用而轻视环境的影响[5].而奥苏贝尔的认知同化学习理论的基础是图式理论和有意义接受学习，没有关注学生何时运用其知识，因而这种学习下的知识是静态的、孤立的.认知同化学习理论早已不被认为是前沿的[6：97-124].

其次，概念同化模式重概念的逻辑结构、轻概念的内涵挖掘.数学概念具有“对象”和“过程”的双重性，而在概念同化模式下，数学概念仅作为逻辑分析的对象存在，被剥去了其过程性存在，因而缺少了对数学概念的现实背景、数学抽象和形成过程、形式表述与符号化过程的关注，成为一个突兀的、干瘪的、规定式的、被动接受的存在.

再次，单一的同化方式，不足以构建动态的心理认知结构.皮亚杰认为，人的智力的本质是一种最高形式的适应.人们在通过图式对客体信息进行建构的过程中，需要利用同化、顺应及其相互渗透和作用来构建知识，达到平衡.

此外，概念同化模式匹配于采用概念、定义+定（公）理、法则的论述方式的公理化体系下的数学教材，虽然这种模式有教学效率高、课堂容量大的优点，但是也存在一些积弊，比如：学生对于概念的理解流于表面，忽视了对学生分析和解决问题的能力的培养，忽视了学生个体学习的主动性、创造性[3-4].

2 平衡观下问题导向的数学概念课

2.1 平衡观

皮亞杰认为，认知发展依赖于四个因素——生物性成熟、有关物理环境的经验、有关社会环境的经验、平衡.前三个因素的作用效果依赖于第四个因素：平衡.平衡是指在认知结构和环境之间生成一种最佳适应状态的生物驱力（Duncan，1995），它是认知发展中的核心因素和动机力量，它将另外三个因素的作用协调起来，使内部心理结构与外部环境现实相互一致.

平衡是一种内在的、器质性的属性.这样，只有存在不平衡或认知冲突时，才会出现认知发展.因此，发生一个在儿童的内在结构（图式）上产生干扰的事件，能使儿童的观念与他所观察到的事实无法匹配，平衡便通过同化和顺应来寻求这种冲突的解决.

同化是指对外部现实与已经存在的认知结构相适应的过程.当我们进行解释、分析、表达时，我们对现实的特征进行改变，使之适应我们的认知结构.顺应是指改变内部结构，使之与外部现实相一致的过程.当我们调整观念来理解现实的时候，我们就在进行着顺应.同化和顺应是相辅相成的过程：当现实被同化时，结构得以顺应.

皮亚杰认为，教师应该着力于组织环境引起认知冲突，当学生经历认知冲突时，它们采用同化和顺应的过程来建构或者改变其内部结构，学习便因此发生了，此时，信息被学生理解（同化），结构发生改变（顺应）.这样，平衡过程成功地解决了认知冲突[5：228-233].

皮亚杰主张认知发展是不能够被教的，但它可以被加速，因此，平衡观对教育的启示：

1.教师的教学应该适应于班级中不同认知水平的学生.

2.教师应该通过创设丰富的环境，调动和保持学生的主动性，使之主动探索，亲身经历实际活动，主动地建构知识.

3.教师应该制造认知矛盾.当输入的环境信息与学生的图式不相匹配时，才有可能出现发展;当学生在解决问题中得到错误答案时，也能产生认知矛盾;当教师对错误答案反馈时，能够促成失衡的状态.

4.教师应该提供社会互动的机会.社会环境是认知发展的关键资源，教师须设计一些能提供社会互动的互动，学生在互动中学习具有不同观点的他人能帮助他去自我中心化.

综上，如何提供一种引起认知冲突（不平衡）的环境，让学生在互动中寻求平衡、促进学习和发展，是促进学生主动建构的关键.

2.2 问题导向

马克思指出：“主要的困难不是答案，而是问题”.于教学而言，问题应该成为课堂的核心[7].问题教学能促进学生思考、培养学生探究和创新能力、提高学生数学素养.问题导向，就是以解决问题为方向.坚持问题导向是重要的方法论.

问题导向的教学，是指在教师的备、教、辅等诸教学环节和学生的学习诸环节中，以发现问题、剖析问题、解决问题作为出发点和落脚点，以问题发展、问题探究、问题验证（Edens，2000）为主要活动形式，所进行的基于问题的教与学.它建立在理性主义、认知心理学、建构主义、情境学习理论基础之上，目的指向于构建宽厚而灵活的基础知识体系、发展有效的问题解决技能、发展自主学习和终生学习的技能、成为有效的合作者、并培养学习的内部动机.其特点是认知技巧和知识并重、学习者中心、基于真实情景、以问题为核心.

问题导向教学的关键在于问题的确定.问题必须是结构不良的、能够自由探索的、有价值的、能测量学生进步的、符合教学法规律的.问题的设计须遵循四个原则：

1.问题能引出与所学领域相关的概念原理.

2.问题是结构不良的、开放的、真实的.

3.问题是能激发学生的动机.

4.好的问题能随问题的解决而自然地提供给学生反馈、评价、预测、判断[8].

2.3 平衡观下问题导向的数学概念课

平衡观下问题导向的数学概念课由四个部分构成：教师带着问题备课、学生带着问题学习、师生以问题为中心的互动、师生对照问题的评价与反思.教师备课围绕“哪些是需要同化的，哪些是需要顺应的，如何引起认知冲突，如何促进平衡产生”进行课堂教学预设;学生在课堂学习中围绕着教师提出的问题展开阅读、思考、交流与讨论，并在师生、生生互动中产生新的问题;师生在问题的解决过程中达成概念的学习、认知结构的重构以及情感、态度与价值认知的形成.

3 课例与评析

笔者所在学校正在進行“问题导向教学法”研究，专家指导组在平衡观的指导下以问题导向贯穿备课、上课、反思的全过程，推出了一节示范课，授课教材选自人教版高中必修4§2.4.1“平面向量的数量积”，这是一节概念课，授课时数为1课时，授课对象是高一学生.

备课环节围绕着问题“本节课哪些是需要同化或顺应的概念？如何组织平衡过程？”展开，最后确定采用同化策略处理的对象是向量的数量积、数量积的基本性质、数量积的几何意义、数量积的3条性质，采用顺应策略处理的对象是数量积运算不满足消去律.引发认知冲突的基本手段是提出问题，让学生带着问题去阅读课本、交流讨论，然后在师生的互动中寻求平衡，达成概念的精致过程，最后是正反例强化、概念应用、课堂总结深化，完成图式的形成.整节课的教学流程为“概念引入→概念获得→概念运用→算律探究→理解掌握→反思提高”.

3.1 功与向量的数量积的概念

“功”是向量的数量积的物理背景，因此从“功”这一学生熟悉的概念出发提炼和抽象出向量的数量积概念，有助于新概念的同化.为此，提出下面的问题：

问题1： 物理中经常需要计算力对物体所做的功.功的计算公式是怎样的？请用图表示出来.

问题2： 功的决定量有几个？有人讲是3个：;有人讲是2个：，你认为呢？

问题3： 你能比较一下向量的数量积运算和向量的线性运算的异同吗？

评析： “功”是力在空间上的积累.问题1引导学生考察“功”这个概念，顺此可以引出定义向量的数量积的需要.要求学生画出力对物体所做的功的示意图，可以为“向量”的出场作出自然的铺垫.对照着示意图，认为功的决定量是3个的同学，自然得到向量的数量积定义的右侧“”;注意到力与位移的夹角是由力与位移所决定的，所以从向量的角度出发，就会认为功的决定量是2个，这些同学会更容易理解和接受向量的数量积定义的左侧“”.问题2的两种观点会引发认知冲突.向量的数量积跟向量的线性运算都具有明显的物理意义和几何意义，不同之处在于它们的运算结果，一个是数量，一个是向量.问题3能强化对于向量的数量积概念的理解.在此基础上讲解例题1，完成概念的初步建立，并及时练习巩固.

3.2 数量积的基本性质

问题4： 如何证明“探究1”栏目的3个问题？并考察是否成立？

评析：对于问题4的回答，实质上是剖析概念的结构，揭示其内涵，辨析其外延，充分利用已有的观念同化新概念.在此基础上讲解例题4，应用数量积的性质.

3.3 数量积的运算律

问题5： 如何证明“探究2”栏目的3个问题？

问题6： 结合向量的数量积的性质和运算律，考察是否成立？这说明了什么？

评析：向量的数量积满足交换律、分配律、（实数）结合律，但是不满足消去律（问题6），这就要求学生调整观念来理解，这时顺应就产生了，学生的内部认知结构得以重构.在此基础上讲解例题2、3，应用数量积的运算律.

3.4 数量积的应用

关于数量积的应用主要是通过例题1～4来实现的，已调整和分散至以上3个环节中，目的是及时巩固和掌握相关知识.

3.5 反思与提高

问题7： 为什么学习向量的数量积概念？这一概念有什么用？研究过程是怎样的？对今后学习有何指导意义？

评析：课堂小结是课堂教学的重要组成部分，它不仅应该服务于课堂教学目标，简明地回顾整节课的内容，概括要点，理清思路，形成知识结构（网络）图，还应该服务于课堂教学整体，要升华知识与方法，发展智能[11].问题7具有启发性，有助于培养学生的元认知能力、批判性思维能力、培养学生的思维方式[12].

4 反思

平衡观下问题导向的数学概念课是一种为适应创新人才培养形势、提高学生数学素养而作出的一种概念教学尝试.实际实施过程中我们发现如下问题，需要进一步研究与思考：

1.问题导向的课堂需要教师有高超的课堂观察、驾驭和把控能力，需要教师注重交流、互动，在动辄四、五十人的班上如何落实好这些，对教师是一个不小的挑战. 此外，还需要深入的认知心理学知识和学科教学知识，以确定同化、顺应的对象及平衡策略.这些都需要教师积极转变观念、提升知识素养、提高MPCK（数学学科教学知识）的应用能力.

2. 学生在这种教学模式下面临着一连串需要他去解决的问题，这些问题常常是超出他个人能力范围的，或者至少是需要很大努力才能解决的，因此有可能引起他的畏难情绪.而且，学生的课堂学习效果，很大程度上取决于其当时的情绪和学习动机，以及课堂参与程度.如何在有限的时间内激发学生学习动机，引导学生有效参与，如何实现师生、生生的良性互动，对于教师和学生都是不小的挑战.

3. 教与学的方式转变后，教师必须及时更新课堂评价方式，以更好地反馈学生的学习成果;学校需要提供立体的、多元的、主体化学习资源，以满足学生自主学习和探索的需要.

[参考文献]

[1] 喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范出版社，2010.1：227，238-246.

[2] 尚洪宇.数学概念和数学概念教学[D].辽宁师范大学，2004：1.

[3] 严文军.学生学习数学概念的层次分析[J].数学学习与研究，2015（5）：21，23.

[4] 李莉.学生学习数学概念的层次分析[J].数学教育学报，2002（3）：12-15.

[5] （美）申克著;何一希，钱冬梅，古海波译.学习理论[M].南京：江苏教育出版社，2012.3：438-472，228-233.

[6] （美）M.P.德里斯科尔著;王小明等译.学习心理学——面向教学的取向[M].上海：华东师范大学出版社，2007.10：97-124.

[7] 曹广福，张蜀青.论数学课堂教学与评价的核心要素——以高中导数概念课为例[J].数学教育学报，2016（4）：17-20.

[8] Gallagher. S. A. （1997）. Problem-Based Learning： Ehere did it come from. What does it do. And where is it going？ Journal for Education of the Gifted. 20（4），332-362.

[9] 教育部.普通高中课程标准实验教科书（数学必修4 A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[10] 教育部.普通高中课程标准实验教科书教师教学用书（数学必修4 A版）[M].北京：人民教育出版社，2015.

[11] 贲友林. 浅谈课堂小结的设计[J]. 天津教育，1993（12）：29-30.

[12] 李善良. 高中数学课堂小结的现状分析[J]. 课程教材教法，2015（2）：63-68.

广东省深圳中学 广东 深圳 张红兵