谈“运算对象”理解性障碍对运算的影响——以数列问题的求解为例

◇ 安徽 石 敏

1 问题提出

“数学运算”是数学学科核心素养之一,是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括理解数学运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数学运算是一种思维过程,是学生通过数学学习逐步形成的关键能力和必备品格,能从侧面反映学生的思维品质.这种品质体现在数学学习的过程中,培养学生用数学的眼光发现和提出问题、用数学的方法分析和解决问题.注意到,运算对象是体现数学运算素养的载体,其来自于具体问题的抽象,对它进行深入理解可以拓宽其应用领域,体现出数学广泛的应用性.运算对象背景、概念形成过程、应用形式的正确理解,是提升运算能力、发展数学运算素养的基础.

错误地理解运算对象或不明确运算方法,都会对数学运算有影响.表现为运算法则的偏离、运算思路的卡顿、运算方法的覆是为非、运算程序的杂乱无章、运算结果的谬误百出等.本文以数列问题求解中的运算对象的理解性障碍为例,谈其对数学运算的影响.旨在强化数学运算过程中,对运算对象理解的意识,绳愆纠违.

2 数列问题中，运算对象理解性障碍举隅

1)忽视数列中变量n 的适用范围,盲目使用运算法则

数学运算是一种逻辑推理,应在严密的运算法则下进行.每种运算的运算法则都有其适用范围,有其实际的意义和作用,蕴含着问题解决的基本思想.运算对象应在其适用的法则下进行运算才能获得正确的结果,对运算对象适用范围理解的障碍,会导致在法则的选择上张冠李戴.

A.(－∞,3) B.(－∞,3]

C.(－∞,2) D.(－∞,2]

错解注意到二次函数f(x)＝x2－λx,开口向上,对称轴为x＝,而n∈N*,所以{an}为递增数列等价于函数f(x)在[1,＋∞)单调递增,即≤1,所以λ≤2,故选D.

分析数列是特殊的函数,它与一般函数又不同,它是定义在正整数集(或其子集)上的函数,如果用函数的方法运算数列问题,需对这一特殊运算对象重新定位.没有理解清楚运算对象需在正整数集的范畴下进行,把实数集上的运算法则直接移植过来,是导致上述求解错误的原因.

正解1对错解的修订.

错解中λ≤2是{an}为递增数列的充分非必要条件, 除 此 之 外, 注 意 到, 当即得2＜λ＜3 也符合条件,综上,λ∈(－∞,3).故选A.

正解2正确理解运算对象,选择恰当的运算法则.

注意到,an＋1－an＝(n＋1)2－λ(n＋1)－n2＋λn＝2n＋1－λ.因为{an}为递增数列,所以an＋1－an＞0,即2n＋1－λ＞0恒成立,所以λ＜2n＋1,只需λ＜(2n＋1)min,即λ＜2×1＋1＝3,所以λ＜3.故选A.

数列作为运算对象,其单调性的判断若采用函数的方法处理,需兼顾运算对象的特殊性,即自变量是正整数这一特点.数列的特殊性也决定了其单调性的判断有数列自身的方法,数列{an}为递增数列等价于an＋1－an＞0,数列{an}为递减数列等价于an＋1－an＜0.

例2已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1＝1,Sn＋1＝2Sn(n∈N*),则a10＝____.

错解由Sn＋1＝2Sn,得Sn＝2Sn－1,两式相减得an＋1＝2an,所以数列{an}是以2为公比的等比数列,所以a10＝a1×210－1＝512.

分析运算的对象是数列的前n 项和Sn、数列的递推公式以及它们之间的关系,Sn和an的关系满足(n∈N*),an＝Sn－Sn－1在n≥2的条件下才适用,得到的结论an＋1＝2an只能说明该数列从第2 项开始成等比数列.没有注意an＝Sn－Sn－1的适用范围,是导致上述求解错误的原因.

2)不理解数列中的相关符号,导致运算程序混乱

具体问题中,为了达到概括性、准确性、一般性的要求,描述运算对象的语言必然是抽象的、难以理解的.读懂抽象的数学语言,揭示运算对象的内涵,数学运算才能有序展开.反之,则会在运算程序上出现缺失、颠倒、重复、混乱等不同现象.

(1)判断数列{a2n}是否为等比数列,并说明理由,若是,写出其通项公式；

以第(1)问为例,说明问题.

错解1数列{a2n}不是等比数列.由an＋2＝(1＋,得a3＝7,可见,所以数列{a2n}不是等比数列.

分析没有理解{a2n}的内涵,导致运算程序错误.

错解2数列{a2n}成等比数列.由条件知3,所以{a2n}为等比数列,且其通项公式为

分析错在用特殊代替一般.运算程序的构建从特殊开始,运算方法的探寻从直觉开始,这都是对的,但在此基础上构建理性的运算程序才是最终的目标,用特殊和直觉代替逻辑推理,是解法致误的根本原因.

错解3数列{a2n}是等比数列.由

分析数列{a2n}是等比数列的证明完全正确.问题在通项公式的求解中,a2n是数列{a2n}的第n 项而非2n 项,所以其通项公式为a2n＝a2×3n－1＝3n.

把数学运算抽象为符号运算,是数学表达最具创新性、最具革命性的一步,是近代数学得以发展的基础.数学表达中用字母符号代替数字符号,才能得到更加一般、具有普适性的结论.作为学习者而言,只有完全理解用字母所描述的运算对象的内涵,才能使数学运算的程序符合逻辑地有序展开.理解并应用好抽象的符号所描述的运算对象,问题才能正确求解.鉴于此,具体问题中,正确理解符号所描述运算对象的内涵,才能设计并执行恰当的运算程序,合理地解决问题.

3)实际问题中抽象不出具体数列,致使思维卡顿

在很多情况下,数学运算是在一定的情境中进行的,结合具体情境,抽象出运算对象是解决问题的首要任务.明确运算对象,用字母符号代替运算对象,才能得到更一般的结论.在此基础之上,才能谈及运算方法的选择、运算程序的设计、运算结果的检验.否则数学运算就会成为无本之木,问题的解决亦会无的放矢.抽象不出运算对象的直接结果就是问题解决中思维的卡顿,甚至束手无策.

A.440 B.330 C.220 D.110

“算得对、算得准”并不是数学运算素养的全部,尤其是在计算机和信息技术高度发展的时代.发展学生的运算素养是一个系统的过程,至少应从以下几个方面展开：理解运算对象,掌握运算法则,学会运算的应用,概括通性通法,感悟运算的思想方法.其中,正确理解运算对象是前提和基础,是发展数学运算素养的载体.