小题何须大做,填空要抓本质

◇ 甘肃 柴永春

填空题是数学各类考试中的基本题型,它具有题小、量大、灵活多样、结构简单、知识覆盖面广、概念性强、运算量不大、不需要解题过程等特点.填空题在取材上侧重于考查基本概念、基本运算、基本方法、综合判断等能力,有利于对学生直觉思维、空间想象能力和逻辑推理能力进行考查.在解答填空题的过程中,要充分抓住填空题的本质和特点,从“准”“巧”“快”上下功夫,千万不要出现小题大做的情况,浪费考试时间.

1 抓住本质，方法引领

美国著名数学教育家、数学方法理论的倡导者G.波利亚说过,掌握数学知识就意味着要善于解题.而当我们遇到一个新问题时,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来.只有对数学思想、数学方法透彻理解及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.在解答填空题时,要充分理解题意,抓住本质,结合填空题常用的方法加以快捷求解.

分析本题直接求解方程的根的个数情况比较难下手,因此,可以通过函数的性质作出相应的函数图象,利用直线的性质与数形结合的方法来处理.

解先作出x∈[0,1]时,f(x)＝x 的函数图象,根据f(x)是以2为周期的偶函数,作出在区间[－1,3]内的函数图象.由于直线y＝kx＋k＋1是过点(－1,1)的一簇直线,故结合y＝f(x)的图象(如图1所示)进行求解.

图1

易知相应的方程的根的个数最少有1个,即图中l1与函数图象的交点情况；最多有4个,即图中l2与函数图象的交点情况,故答案为1,4.

2 合理猜想，巧中取胜

G.波利亚曾说过,在数学领域中,猜想是合理的、值得尊重的,是负责任的态度.在解答填空题时,根据给出的问题的知识与形式,可联想到与之相关的知识,从而找到快捷的解题方法,巧中取胜,达到解决新问题的目的.

分析通过观察不难发现在条件中x,y,z 出现的机会均等,即是轮换对称出现的.而对于括号的形式可以联想到基本不等式的最值条件,猜想当x＝y＝z 时取得最小值,再利用基本不等式求解即可.

解令x＝y＝z,可得

3 思维创新，能力提升

数学思维的创新与拓展是思维品质的最高层次,每年的高考,都会出现一些考查创新能力的问题,而填空题正是创新的主阵地.这类问题大都是按照一定的数学规则和要求,结合相关知识加以创新,进行逻辑推理和计算,从而达到解决问题的目的.

分析结合题目所给的新定义信息,通过思维创新,类比平面向量基本定理的应用,构建方程组探索待定系数.

解由于a1＝(1,0,－1),a2＝(1,－1,3),a3＝(0,2,1),a4＝(0,1,－1),由题意,可得

即

解得

故实数k1,k2,k3,k4可取的一组数据为：c,－c,c,－3c(c≠0,c∈R)(答案不唯一,只要写出满足条件的一组具体的数据即可).

综上,解答填空题时,要有合理的分析和判断,推理、运算的每一步骤都必须正确无误,而且要将答案表达得准确、完整,但同时也要注意节约时间,提高效率,不能小题大做.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.