模糊需求下基于CVaR的供应链定价与协调

许民利，王竟竟，2+

(1.中南大学 商学院,湖南 长沙 410083；2.湖南人文科技学院 数学与金融学院，湖南 娄底 417000)

0 引言

近年来，供应链中产品的最优定价决策和协调机制成为研究热点。最优定价决策是提高供应链收益的重要手段，协调机制是使制造商和零售商在分散供应链中协调运作的有效工具。通过设计协调契约可以消除供应链系统中出现的双重边缘化问题，从而最大化供应链系统的总利润。在获取供应链最优定价决策和设计协调机制过程中，决策者面临的困难之一是产品市场需求的不确定性，例如2015年的宏观经济萎缩使中国的重型卡车销量大幅减少了26%[1]。传统的供应链建模侧重于采用随机不确定性来描述市场需求[2-4]。随机不确定的市场需求假定中隐含的假设有足够的数据可以对需求分布进行合理地近似，然而由于市场动荡或技术创新，过去的数据并不总是可用或可靠的，例如新研发的产品在进行需求预测时没有历史数据，很难获得市场需求的随机分布。另外，在当今竞争激烈的市场中，较短的产品生命周期和不断增长的创新率使需求变化极大，但有用的统计数据较少，在这些情况下采用概率论方法建模可能不是最佳选择[5-7]。事实上，此时决策者对需求的决策依赖于自身判断、以往经验、主观意愿和专家知识等人为因素。对于需求的不确定性和非精确性，通常用“某某产品的需求大概为不少于b，不超过c”的模糊术语来描述，Zadeh提出的模糊集理论能够很好地将决策者的主观意愿、专家的知识等人为因素和现有的市场数据整合起来[8]，因此采用模糊不确定理论来刻画市场需求的变动。

已有较多学者对模糊需求下的供应链定价和协调进行了研究[9-20]。Yang等[9]、Sang[10]研究了模糊决策环境下绿色供应链的最优定价、最优绿色度决策模型和分销渠道决策问题；Soleimani[11]研究了模糊环境下双渠道供应链的最优定价决策；Zhao等[12]、Wang[13]、Wei等[14]、Zhao等[15]针对模型环境下的可替代性产品供应链在零售商竞争、横向和纵向竞争、共同零售商等情形下的最优定价决策问题进行了研究；Zhao等[16]进一步对对称和非对称信息条件下模糊闭环供应链的协调机制进行了研究；王宁宁等[17]、Sang[18]、汤春华等[19]研究了模糊环境和对称信息下的供应链决策模型及协调机制；刘云志等[20]构建了模糊需求下具有公平偏好供应商的供应商管理库存(Vendor Managed Inventory, VMI)供应链决策模型，并探讨用批发价契约协调供应链。然而，以上研究都假设参与者是风险中性的，没有将参与者的风险态度整合到闭环供应链优化问题中，实际上由于全球化和纵向一体化的加剧，供应链变得非常复杂并且可能具有潜在的脆弱性。商业实践活动和理论研究文献中都报告了供应链风险的例子，例如，Ericsson在2000年位于墨西哥的半导体供应商遭遇起火后，损失了4亿欧元[21]；台湾地震导致苹果公司在1999年失去了许多客户订单。高度波动的市场需求导致决策者通常厌恶风险，已有研究表明，决策者在进行最优决策时往往不是完全理性的[22]，而是具有风险规避特性[23]，已有文献尚未找到模糊需求下具有风险规避成员的供应链定价及协调的研究成果。

为弥补以上理论空白，本文研究模糊需求下具有风险规避成员的供应链定价及协调问题。风险规避的决策者面临的一个关键因素是如何度量决策者的风险规避程度，在随机需求供应链中，学者们大多选用风险价值(VaR)和条件风险价值(CVaR)来度量风险规避程度。风险价值存在没有对尾部风险进行度量，不能满足一致性公理的缺陷，而条件风险价值在理论上更为完善，因此大多学者选取条件风险价值作为风险分析工具[24-26]。例如简惠云等[24]将条件风险价值作为风险度量准则，对风险规避型供应链决策模型进行了实证研究；陈宇科等[25]、代建生[26]基于随机需求，将均值—条件风险价值作为风险度量准则，研究供应链协调机制。因此，本文考虑风险规避的制造商和零售商，选择条件风险价值作为风险度量准则。另外，为使制造商和再制造商能够基于自己的贡献来获得更加公平的收益，Jena等[27]设计了权重Shapley值的契约机制来协调闭环供应链中两个制造商之间的渠道合作。不同于传统的平均分配，Shapley值是根据盟员的贡献对利益进行分配，比任何一种仅按资源投入价值、资源配置效率及将二者相结合的分配方式都更具合理性和公平性，本文在制造商和零售商之间设计了一个基于Shapley值的收益共享契约来协调供应链。

综上所述，在已有文献中尚未找到在模糊需求下具有风险规避成员的供应链定价及协调的研究成果。本文利用模糊变量来刻画产品需求的不确定性，以条件风险价值为风险测量工具，分别建立了分散决策和集中决策下具有风险规避成员供应链的最优价格决策模型，分析了风险规避系数和模糊市场参数对最优决策和期望收益的影响，并设计了基于Shapley值的收益共享契约下的供应链协调机制。

1 问题描述与符号定义

(1)考虑由制造商和零售商构成的供应链，制造商生产产品的单位成本为cs，批发产品的批发价格为w。零售商销售产品的零售价格为p，零售商扣除批发价格后的边际单位产品成本(包括运输费、库存费等)为cr。

(2)假设产品的市场需求是模糊不确定的，D=A-Bp，其中A,B为梯形模糊数，A=(a1,b1,α1,β1)，B=(a2,b2,α2,β2)，由模糊数的运算法则有D=(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)。若模糊数A的隶属函数为

(1)

则称A为梯形模糊数，此处梯形模糊数的左宽度用α1表示，右宽度用β1表示，梯形模糊数的容许区间用[a1,b1]表示，并用A=(a1,b1,α1,β1)表示梯形模糊数。

(3)假设采取订单生产制，零售商按照需求确定订单，且在期末无存货；制造商按照订单进行生产，且其生产能力没有限制。

(4)由梯形模糊数的运算法则，下标s,r,sc分别表示制造商、零售商、供应链，则制造商、零售商及供应链收益函数分别为：

πs(D)=(w-cs)D=(w-cs)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)；

(2)

πr(D)=(p-w-cr)D=(p-w-cr)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)；

(3)

πsc(D)=(p-cs-cr)D=(p-cs-cr)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)。

(4)

(5)

(6)CVaR又称为条件风险价值，由Rockfellar等[30]提出，CVaR度量了低于η分位数的平均收益，能够克服VaR度量风险的一些缺陷。根据CVaR的一般化定义[30-31]，若决策者关于需求D的利润函数为π(D)，则决策者关于利润函数的风险度量值CVaR为

(6)

式中：η∈(0,1]是分位数，为决策者的风险规避系数，η越小，决策者的风险规避程度越大，特别地，η=1表示决策者是风险中性的；E为期望算子。

2 模糊需求下基于条件风险价值的供应链定价策略

2.1 分散决策模型

在分散决策时，制造商和零售商遵从Stackelberg博弈，主导者为制造商，跟随者为零售商，决策顺序为：①制造商确定产品的批发价格；②零售商根据制造商的批发价格确定产品的最优零售价格。

(1)为了得到Stackelberg均衡，求出零售商的反应函数，由条件风险价值的定义可得模糊需求下零售商的条件风险价值模型为

(7)

式中η1为供零售商的风险规避系数。

命题1在条件风险价值的度量准则下，制造商和零售商的二阶段Stackelberg博弈模型中，风险规避型零售商的最优零售价格决策为：

(8)

证明见附录。特别地，当η1=1时，为风险中性时零售商的最优零售价格决策。

(2)根据零售商的最优价格p*求解最优批发价格。在分散决策时，用η2表示制造商的风险规避系数，模糊需求下制造商的条件风险价值模型为

(9)

命题2在条件风险价值的度量准则下，分散决策下风险规避型制造商的最优批发价格决策为：

(10)

特别地，当η1=η2=1时，为风险中性时制造商的最优批发价格决策，将最优零售价格和批发价格代入后可得制造商的期望收益为

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)；

(11)

零售商的期望收益为

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)。

(12)

由命题2可知，风险规避制造商的最优批发价格除受模糊需求参数、制造商风险规避系数和成本参数的影响外，还与零售商的风险规避系数有关，当零售商和制造商的风险规避程度很强时，制造商进行决策极端保守，总是在最低可能需求基础上进行价格决策；只要制造商或者零售商的风险规避程度不是很强，制造商进行价格决策时会考虑最低可能需求和最高可能需求，即作为渠道的领导者，制造商进行价格决策会同时考虑自身和参与者的风险规避程度。另外，由于最优批发价格的表达式较复杂，本文将通过数值模拟来分析各参数对最优批发价格的影响。

推论1在条件风险价值度量准则下，分散决策时有以下结论成立：

2.2 集中决策模型

在集中决策时，零售商和制造商的风险规避程度会对整个供应链的风险规避系数产生影响，供应链风险规避系数的具体表达式在不同文献中有不同的表述，林强等[32]将供应链的风险规避系数表示为供应链系统中各成员风险规避系数的加权平均值，权重由各成员在供应链系统中的影响力决定，本文也采用该方法，并用η3表示供应链系统的风险规避系数，重点考虑供应链风险规避情形下的最优价格决策。模糊需求下供应链系统的条件风险价值为

(13)

命题3在条件风险价值度量准则下，集中决策下供应链系统的最优零售价格决策为：

(14)

特别地，当η3=1时，为集中决策下风险中性时的最优零售价格决策，供应链的风险规避程度满足η3=(1-λ)η1+λη2，其中λ由制造商和零售商在供应链中的影响力决定，λ∈[0,1]。供应链总的期望收益为

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)。

(15)

由命题3可知，集中决策下，最优零售价格受供应链的风险规避系数、模糊需求参数和成本参数的影响，命题1～命题3分别给出了分散决策和集中决策下最优价格的封闭形式解，决策者可以轻松地计算出最优价格决策，还可以分析模型参数对其最优价格和期望收益的影响，决策者可以更好地了解供应链中不同因素对决策的影响情况，且有以下结论成立：

推论2在条件风险价值度量准则下，集中决策下有如下结论成立：

推论2说明，η1,η2,η3越小，p*越小。即η1,η2,η3越小，供应链的风险规避程度越大，决策者的决策会更加保守，因此决策者会降低产品的零售价格，使得市场需求增加，最终增加收益。

表时最优零售价格决策与参数的关系

表2 ≤η3≤1时最优零售价格决策与参数的关系

3 模型拓展——模糊需求下基于条件风险价值的供应链协调

通过数值模拟可知，相比分散决策情形，集中决策下有更高的供应链期望收益，因此设计收益共享契约机制来协调供应链。在收益共享中，制造商将产品以价格w*批发产品，完成销售后，制造商和零售商共享收益，设共享系数为φ，表示制造商共享收益的比例，本文用Shapley值确定系数φ。Shapley值进行联盟成员利益分配是基于各盟员对联盟总目标的贡献程度，能够避免分配上的平均主义，比任何一种仅按资源投入价值、资源配置效率及将二者相结合的分配方式都更具合理性和公平性。由Shapley值的定义有

∀i∈N。

(16)

局中人集合为{制造商，零售商}，制造商的贡献值为E(πs(D))，零售商的贡献值为E(πr(D))，总的贡献值为E(πsc(D))，则由上述定义可得制造商分配利益的Shapley值为φ1[v]=0.5E(πs(D))+0.5(E(πsc(D))-E(πr(D)))，基于Shapley值确定的制造商收益共享系数为

(17)

命题4分散决策下，实行收益共享契约{φ,w*}的供应链系统要达到协调，其共享系数为

(18)

式中w*=φ(p*-cr)+(1-φ)cs。

证明求解E(πs(D))=φE(πsc(D))即可。

命题4表明，在收益共享契约{φ,w*}下，供应链能够协调，通过签订契约，制造商以较低的批发价将产品批发给零售商，零售商将产品销售给消费者后获得产品收益，制造商和零售商共享产品收益，使供应链总体收益达到集中决策时的期望收益，而且制造商和零售商都获得高于分散决策的期望收益，达到双赢。

4 数值算例

设a1=600,b1=605,a2=15,b2=16,cs=9,cr=2。

(1)产品模糊市场需求的模糊程度对最优决策和收益的影响

由D=(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)知，增加α1,β2使模糊需求的左宽度增加，而增加α2,β1使模糊需求的右宽度增加，因此对市场需求的模糊参数进行敏感性分析时，主要考虑α1,β2同时增加和α2,β1同时增加两种情形。

1)假设制造商和零售商对风险的规避程度均较大，即η1=0.25,η2=0.25,而η3=(1-λ)η1+λη2，λ由双方在整个供应链系统中的影响力决定，λ∈[0,1]，不失一般性，取λ=0.5，结果如表3所示。

表3 η1=η2=0.25时市场需求的模糊程度对最优决策和收益的影响

续表3

从表3可以看出，当制造商和零售商对风险的规避程度较大时：①随着α1,β2的增加，分散决策下，制造商会降低批发价格，零售商会降低零售价格，从而缓解双重边际效应，提高产品的市场需求，增加制造商和零售商的收益；集中决策下，产品的零售价格也会降低，但由于市场需求减少的可能性增加，使供应链整体收益减少，供应链协调下制造商和零售商的收益都会减少。②随着α2,β1的增加，由于风险规避的决策者在规避风险的同时也牺牲了可能获得的高收益，此时无论是分散决策还是集中决策，最优价格决策都不会发生变化，然而，此时高需求出现的可能性增加，因此供应链及其成员的收益都会增加。

2)假设制造商和零售商对风险的规避程度较小，即η1=0.75,η2=0.75,而η3=(1-λ)η1+λη2，λ由双方在整个供应链系统中的影响力决定，λ∈[0,1]，不失一般性，取λ=0.5。结果如表4所示。

表4 η1=η2=0.75时市场需求模糊程度参数对最优决策及收益的影响

从表4可以看出，当制造商和零售商对风险的规避程度较小时：①随着α1,β2的增加，模糊市场需求的左宽度增加时，无论是分散决策还是集中决策，产品的零售价格和批发价格都会降低，供应链整体收益和供应链成员的收益都会减少；②随着α2,β1的增加，模糊市场需求的右宽度增加时，无论是分散决策还是集中决策，产品的零售价格和批发价格，以及供应链整体收益和供应链成员的收益都会增加。此时，市场需求模糊程度对最优决策和期望收益的影响与文献[33]考虑风险中性的制造商和零售商的结论一致。

(2)η1对最优决策和期望收益的影响

取α1=2,β1=2,α2=0.2,β2=0.2,λ=0.5,η2=0.25,结果如图1和图2所示。

由图1可以看出，随着η1的减少，产品的最优零售价格减少，最优批发价格增加，与推论1结论一致。由图2可以看出，随着η1的减少，供应链和零售商的期望收益减少，制造商的期望收益增加；相比分散决策情形，收益共享契约下，制造商和零售商都会获得更高的期望收益而达到双赢，但η1对制造商和零售商期望收益的影响与分散决策情形时一致。

模糊需求下只考虑零售商的风险规避行为时，Ye等[34]指出，随着零售商对风险规避程度的增加，制造商的期望收益会减少;而本文研究表明，若制造商本身对风险的规避程度也比较高，则随着零售商对风险规避程度的增加，制造商会提高批发价格来规避风险，故其期望收益会增加。因此，对制造商来说，若其本身对风险的规避程度大，则应选择风险规避程度大的零售商进行交易。

(3)η2对最优决策和期望收益的影响

取α1=2,β1=2,α2=0.2,β2=0.2,λ=0.5,η1=0.25,结果如图3和图4所示。

由图3可以看出，随着η2的减小，最优批发价格和零售价格都减小，与推论1结论一致。由图4可以看出，随着η2的减少，供应链和制造商的期望收益减少，零售商的期望收益增加，因此对零售商来说，若其本身对风险的规避程度大，则应选择风险规避程度大的制造商进行交易；相比分散决策情形，收益共享契约下，制造商和零售商都会获得更高的期望收益而达到双赢，但η2对制造商和零售商期望收益的影响与分散决策情形时一致。

5 结束语

本文基于模糊需求，利用模糊条件风险价值风险度量准则，探讨了风险规避的制造商和零售商的最优价格决策及协调机制，得到以下研究结果：

(1)当市场需求的模糊程度发生变化时，不同于风险中性的制造商和零售商，若制造商和零售商对风险的规避程度较大，则随着低需求出现的可能性增加，最优价格决策会降低，随着高需求出现的可能性增加，最优价格决策会保持不变；风险规避程度较大的制造商和零售商规避风险的同时会丧失在市场需求可能增加情形下通过提高价格而获得高收益的机会。

(2)模糊需求下，最优价格受供应链成员风险规避程度的影响为：零售商的风险规避程度增加，最优零售价格减少，最优批发价格增加；制造商的风险规避程度增加，最优零售价格减少，最优批发价格减少。

(3)模糊需求下，不同于仅考虑风险规避零售商的情形，若制造商本身对风险的规避程度也较高，则零售商对风险的规避程度增加，制造商的收益会增加。对制造商来说，若其本身的风险规避程度大，则应选择风险规避程度大的零售商进行交易；同理，对零售商来说，若其本身的风险规避程度大，则应选择风险规避程度大的制造商进行交易。

(4)通过制造商和零售商之间签订基于Shapley值的收益共享契约，供应链能够达到协调，相比分散决策情形，此时制造商和零售商都会获得更高的期望收益而达到双赢。

本文研究能够让管理者从需求为模糊不确定的角度认识到风险规避和市场模糊程度对最优价格决策的影响。当然，未来还有很多问题有待进一步研究，例如模糊需求和模糊产量下的供应链问题，模糊需求和模糊质量下的供应链决策问题等。