儿童分数概念知识与运算知识对分数运算的影响

苏 伟 郝嘉佳，2，3 段 然

（1 天津师范大学心理学部，天津300387；2 教育部人文社会科学重点研究基地天津师范大学心理与行为研究院，天津300387；3 学生心理发展与学习天津市高校社会科学实验室，天津300387；4 天津市和平区南市大街万全小学，天津300021）

1 前言

分数（fraction）是我国儿童在小学阶段需掌握的知识之一。 《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对分数教学内容作出了清晰的界定。儿童的分数知识不仅影响儿童数概念的发展（倪玉菁， 1999），也会影响其在中学阶段数学知识的学习（Siegler et al.， 2012；Siegler ＆ Pyke， 2013； 刘丹丹， 2016）。 因此，促进儿童的分数概念理解和分数运算十分重要。

以往研究发现儿童在分数运算中存在较多错误， 例如分数除法错误率高于分数乘法错误率（严瑾， 2014）。 儿童的错误类型有基础知识错误、运算法则错误、 结果未化简错误、 不同类型分数转化错误、 非知识性错误等 （贺贵仙， 2019； 李仙苹，2012）。 国外研究表明，儿童常见的运算错误有独立整数错误、错误的运算操作错误、执行错误（Siegler＆ Pyke， 2013； Siegler ＆ Lortie-Forgues， 2015；Braithwaite， Pyke， ＆ Siegler， 2017）。 尽管各研究对错误的种类划分不同， 但错误产生的原因是相同的，如独立整数错误、错误的运算操作错误以及执行错误等。

独立整数错误指儿童将分子、 分母看做分别独立的整数（Siegler ＆ Pyke， 2013），如：计算时， 犯独立整数错误的运算过程为。 此错误产生的原因为儿童分数概念知识不足。分数概念知识是指“儿童对分数性质的理解，如理解分数数值的大小、 理解表达同一数值的分数有无数个等”（Bailey et al.， 2015）。Kieren（1980）提出分数概念具有五个含义。儿童学习整数先于分数。分数有许多性质与整数性质不同， 如果儿童不能良好区分两者性质的差别， 对分数概念知识理解不足便会产生“整数偏差”（Gabriel et al.， 2013； Ni ＆ Zhou，2005； Braithwaite， Pyke， ＆ Siegler， 2017）。 其将影响分数运算学习全程（Braithwaite， Leib， Siegler，＆ Mcmullen， 2019），导致儿童产生独立整数错误。分数概念的研究范式主要有大小比较任务和数字线估计任务（Bailey et al.， 2015）。 大小比较任务为给予被试两个分数，被试对其大小关系进行判断，指标为被试的得分或正确率， 得分越高或正确率越大代表被试分数概念水平越高。 数字线估计任务包括0—1、0—5 数字线估计任务， 任务为给予被试一个数轴，数轴左端为0，右端为1 或5，无其他标注。 给予被试数值范围在0—1 或0—5 之内的分数， 被试对其数值大小进行估计，并标在数字线上。指标为被试的绝对误差百分比 （简称PAE）， 计算方法为标注位置数值大小-分数实际数值大小／数 轴 范围×100%，PAE 值越小代表被试掌握的分数概念水平越高。

错误的运算操作错误是指将某一种运算类型的正确的程序性知识运用到另一种运算类型中（Siegler ＆ Pyke， 2013），例如，计算时使用加法程序性知识，计算过程为。 执行错误是指儿童提取正确的程序性知识后， 未能正确执行它（Siegler ＆ Pyke， 2013）， 其中包括整数计算错误，如计算的结果为。 错误的运算操作错误产生的原因为运算符号知识不足。 对运算符号的正确理解能够帮助儿童理解分数运算的含义。 以为例，理解“+”含义，便理解此式子表示某一个整体的二分之一与该整体的三分之一的和为该整体的六分之五。 儿童也需根据运算符号提取与运算操作相关的程序性知识。 执行错误中的整数运算错误产生的原因为整数运算程序性知识不足，整数运算是重要的， 整数运算内容在教材中占比较大，且儿童学习整数运算较早，其为分数运算的先备知识， 具有基础性作用（严虹， 曹一鸣， 2017； 张奇， 郑 伟， 万 莹， 2014； Sun， Xin， ＆ Huang，2019）。 因此，整数运算程序性知识不足将影响分数运算。

本研究将运算符号知识与整数运算程序性知识统称为“运算知识”，在小学阶段，儿童在五年级学习分数加法、 减法运算， 在六年级上学期学习分数乘法、除法运算。儿童需要解决的常规分数运算题目的操作数，分子、分母的数值大小皆小于81。 而且，低难度整数运算任务结果能够直接说明儿童是否理解运算符号代表的运算含义。因此，本研究操作数大小为10 以内的整数运算任务，考察运算知识。

现有研究表明， 分数运算错误的原因主要为分数概念不足与运算程序错误， 分数概念与分数运算显著相关（Siegler， Thompson， ＆ Schneider， 2011；王欢， 2013）。分数概念帮助儿童理解分数运算程序知识（Tian ＆ Siegler， 2016），帮助儿童对分数运算结果进行估算， 从而选择正确的运算程序（Siegler，Thompson， ＆ Schneider， 2011； Bailey et al.，2015）。程序性知识可以提高儿童分数运算的计算速度与准确度（孙玉， 2017）。 分数概念知识与程序性知识具有相互促进的作用（Bailey et al.， 2015）。

通过对运算错误产生原因的分析发现， 良好解决分数运算问题不仅需要分数概念知识与程序性知识， 还需要运算符号概念知识与整数运算程序性知识的共同作用。 因此，本研究通过比较大小任务、数字线估计任务、整数运算任务、分数运算任务，初步验证分数概念知识、 运算符号概念知识与整数运算程序性知识对分数运算的影响。

2 研究方法

2.1 被试

采用方便取样方法对天津市区某小学六年级学生进行施测， 共416 名被试， 有效被试330 名（男165 名，女165 名，平均年龄为11.32±0.47 岁）。

2.2 实验材料

2.2.1 分数概念知识

比较大小任务： 测查材料选自Bailey 等（2015）的比较大小任务，在原材料的基础上，增加分数、分别与的比较题目。本材料共20 道题目，其中包括分数位于比较符号左边的题目与其位于比较符号右边的题目各10 道。 采用两点计分法，比较正确计为1 分，比较错误计为0 分。 总分越高，分数概念水平越高。 正确率越高，分数概念水平越高。

数字线估计任务： 测查材料选自Bailey 等（2015） 的0—1 数字线估计任务， 在原材料的基础上，删去对分数的估计题目，增加对分数的估计题目。 本材料共10 道题目，指标为各题目的绝对误差百分比 （percent absolute error）， 计算方法为（ 答案-正确答案）／数轴范围×100%，PAE 越小，分数概念理解水平越高。

2.2.2 运算知识

自编测查材料， 材料中各题的操作数均为小于10 的整数，包括加、减、乘、除四种运算类型题目各6道，共24 道。 采用两点计分法，计算正确计为1 分，计算错误计为0 分，总分越高，运算知识（包括运算符号概念知识与整数运算程序性知识）水平越高。正确率越高，运算知识水平越高。

2.2.3 分数运算

自编分数运算评估材料。 材料包括两个操作数均为真分数的题目10 道，两个操作数均为假分数的题目6 道，一个操作数为真分数、另一个操作数为整数的题目5 道，一个操作数为带分数、另一个操作数为假分数的题目2 道，一个操作数为带分数、另一个操作数为真分数的题目3 道，共26 道题目（加、减、乘、 除四种运算类型题目分别为6 道、7 道、6 道、7道）。采用两点计分法，计算正确计为1 分，计算错误计为0 分，总分越高，分数运算水平越高。 正确率越高，分数运算水平越高。

2.3 实验程序

采用集体施测的方法， 将四个测评材料装订成册，发放给被试，作答时间为25 分钟，作答时禁止使用演算稿纸和直尺等测量工具（分数运算任务部分可以使用演算稿纸）。施测时间为六年级儿童在上学期完成分数乘法与除法知识模块学习之后。

3 研究结果

3.1 分数概念知识、运算知识、分数运算描述性统计

表1 为被试分数概念知识两个任务、 整数运算任务、分数运算任务结果的描述性统计。结果表明被试的分数概念知识 （M＝19.21，SD＝1.49；M＝5.05%，SD＝4.05%）、运算知识（M＝23.84，SD＝0.41）、分数运算水平（M＝22.13，SD＝2.80）整体较好。

3.2 分数概念知识、运算知识、分数运算水平结果相关分析

表2 为被试分数概念知识两个任务、 整数运算任务、分数运算任务结果的相关分析。结果为比较大小的正确率与分数运算的正确率呈显著正相关（p＜0.01），数字线估计偏差与分数运算正确率呈显著负相关（p＜0.05），整数运算正确率与分数运算正确率呈显著正相关（p＜0.05）。

表1 分数概念、运算知识、分数运算描述性统计

表2 分数概念知识、程序性知识、分数运算水平的相关分析

3.3 分数概念知识、运算知识、分数运算水平结果回归分析

对分数概念知识、运算知识、分数运算水平进行线性回归分析， 其中分数运算的正确率为因变量，分数概念知识、运算知识为自变量（比较大小的正确率为X1，数字线估计偏差为X2，整数运算的正 确 率 为 X3），VIF1＝1.038，VIF2＝1.026，VIF3＝1.014，均小于10，且自变量间的相关系数均小于0.15，所以自变量间无共线性，可进行回归分析。进行回归时自变量为逐步进入。结果为，R2＝0.066，调整后的R2为0.063， 排除变量为数字线估计偏差（X2）与整数运算的正确率（X3），自变量为比较大小的正确率 （X1）， 标准化系数为β1＝0.257，t＝4.860，p＜0.01， 由标准化回归系数得到的回归方程为Y＝0.257X1。 结果表明，与运算知识相比，分数概念知识更影响分数运算。

4 讨论

本研究表明儿童的分数概念知识水平较高。 该结果与以往研究相一致，与西方国家相比，我国儿童的分数数量表征的准确性更高 （Bailey et al.，2015； 刘春晖， 辛自强， 2010； 高瑞彦， 牛美心，杨涛， 周新林， 2018）。 儿童的运算知识水平较高，说明儿童的运算符号概念知识与整数运算程序性知识较好。

分数概念知识、运算知识、分数运算三者相关表明，分数概念知识水平越高，分数运算水平越高，运算知识水平越高，分数运算水平越高。儿童分数概念知识水平会影响其分数运算水平。 此结果与现有研究结果相同， 提高分数概念知识为提高分数运算的有效方法之一（Braithwaite， Leib， Siegler， ＆ Mcmullen， 2019； Siegler ＆ Braithwaite， 2016）。 关注分数数值大小有利于分数的学习（Siegler， Thompson， ＆ Schneider， 2011）。Hallett， Nunes 和Bryant（2010）研究发现依赖概念知识的儿童优于依赖程序性知识的儿童。 儿童运算知识水平影响其分数运算水平。 原因有三方面，第一，运算符号知识可以帮助儿童更好理解分数运算步骤的意义。已有研究表明，运算符号知识影响分数加法的估算（Braithwaite，Tian， ＆ Siegler， 2018）。 第二，儿童根据运算符号概念知识提取相应运算步骤知识。第三，儿童先前所学的整数知识会对分数知识产生影响（Siegler，Thompson， ＆ Schneider， 2011； Siegler， 2016），儿童整数的数量表征影响其对分数的数量表征（张丽，卢彩芳，杨欣荣，2014；孙玉，司继伟，黄碧娟，2016）。在分数运算过程中，儿童因为“整数偏差”产生独立整 数 错 误 等 （Gabriel et al.， 2013； Ni ＆ Zhou，2005； Braithwaite， Pyke， ＆ Siegler， 2017）。 整数运算程序性知识对分数运算产生影响， 体现在执行分数运算程序知识这一阶段， 它有助于儿童对分子分母进行准确运算。

分数概念知识、运算知识、分数运算的回归分析表明，与运算知识相比，分数概念知识更加影响分数运算。 该结果产生的原因为分数概念影响儿童学习阶段后期对分数运算过程的理解。分数有很多性质，儿童若不能理解分数是分子与分母共同组成的整体便会犯独立整数错误。 儿童能够通过整数运算的意义理解分数运算的意义（于正军， 2016），但整数与分数的运算性质不同 （Siegler ＆ Lortie-Forgues，2015； Sun， 2019）， 儿童若不能理解不同分母分数的计数单位是不同的， 便不能理解在异分母分数加法与减法运算中， 需要对各操作数进行通分之后再进行计算（王岚， 2018）。 而运算知识在运算过程中起到的作用是帮助儿童理解式子的运算意义， 提取程序性知识，在计算过程中避免整数计算错误，其并未影响运算过程对操作数变换的理解，因此，分数概念知识是更重要的。

依据本研究提出的教育建议为， 教师在进行分数知识点的教学时，需加强分数概念知识的教学，通过多种方法提高儿童对分数的理解。 本研究展望为两方面。 一方面， 分数概念对分数运算具有预测作用。已有研究表明，分数概念知识对四种不同的分数运算类型题目（加法、减法、乘法、除法）与两种不同难度题目（一步运算、两步运算）均有预测作用（王欢， 2013）。未来可进行分数概念知识对不同操作数类型的分数运算题目的预测作用的研究。另一方面，本研究初步考察了分数概念知识、 运算知识对分数运算的影响，发现与运算知识相比，分数概念知识对分数运算的影响更大， 高难度的整数运算所考察的运算技能可能也会影响分数运算， 未来可进行分数概念知识、程序性知识、运算技能对分数运算的影响程度的探讨。

5 结论

小学六年级儿童的分数概念知识水平、 运算知识（整数运算概念知识、分数程序性知识）水平较高，但分数运算水平有待提高。分数概念知识、运算知识与分数运算水平均相关。与运算知识相比，分数概念知识更加影响分数运算。