项目群工期非线性奖励模型研究

张 可，杨凯逊，丰景春，王小环，李 明，薛 松

项目群工期非线性奖励模型研究

张 可1,3，杨凯逊1,2，丰景春1,4，王小环5，李 明1，薛 松1,2

（1.河海大学 商学院，江苏 南京 211100；2.河海大学 项目管理研究所，江苏 南京 211100；3.河海大学 国际河流研究中心，江苏 南京 211100；4.江苏省“世界水谷”与水生态文明协同创新中心，江苏 南京 211100；5.广东省水利厅，广东 广州 510635）

进度目标控制是项目群管理的核心之一，直接影响项目群的作用和效益。现有项目群工期奖励研究普遍采用线性模型，存在激励效果不足及承包商风险控制等问题。本文以委托代理理论为研究基础，从理论上分析项目群工期提前采用非线性奖励模型的适用性；然后利用关键路径方法（CPM）分析合同项目工期提前对项目群工期的影响；针对线性模型激励不足以及未控制承包商风险等问题，通过边际递增模式的设计保证激励效用的充分性，引入最高奖励金额及边际递减模式控制承包商风险偏好，基于此构建项目群工期非线性奖励模型；结合Ú项目群，对该非线性奖励模型进行案例分析。研究成果克服了现行项目群进度提前线性奖励的不足，为制定更加科学合理的奖励机制提供理论依据。

项目群工期；非线性；奖励模型；委托代理理论；风险控制

0 引言

受“一带一路”战略推动，大型的群组项目应运而生，多项目及项目群管理日渐成为建设工程管理的主要趋势。工期作为项目管理的三大要素之一，直接影响工程能否及时发挥功能及效益[1, 2]。因此，进度控制在项目管理中具有至关重要的地位，是项目群目标能否实现的关键[3, 4]。通常情况下，进度控制主要依靠组织、技术、经济以及管理四个实施手段，其中经济激励最易被承包商接受，应用也较为广泛。相关研究表明，有效的激励机制设计能够在一定程度上促进项目群工期的控制与优化[5, 6]。

目前，单项目激励机制设计方面的理论研究成果较为丰富，多依据委托代理理论研究进度激励原理，构建工期提前奖励模型。例如：Meng X[7]探讨了激励机制及其对项目绩效的影响，认为激励具有绩效促进、抑制以及混合效应，有效的激励机制对于绩效改善具有重要作用。Gallagher B等[8]比较了激励性项目和非激励性项目在时间和质量方面的不同表现，揭示了激励措施促使业主期望和承包商努力水平保持一致的内在机理；Chen Y等[9]指出现行奖惩模型未考虑施工合同、成本等多种约束下承包商的最大利益；Ogwueleka A C等[10]提出在激励机制设计时应将风险与奖励相结合的观点；Wei Y等[11]建立了基于委托代理理论的奖金激励模型和收入分配激励模型；陈勇强等[12]基于委托代理理论构建了业主与承包商的激励模型，有助于业主选择适当的激励强度并实现合理的风险分担；王颖林等[13]认为奖惩额度的增加并不总是促使承包商行为向高努力转变，合理的奖惩制度才能实现预期的激励效果。

项目群进度激励的研究较少，且主要采用线性方式构建工期奖励模型。例如：Feng J C等[1]将项目群工期提前带来的经济利益划分为项目自身效益、关键节点效益、项目群效益以及由于前序项目工期提前所得到的补偿4个部分，并在此基础上建立了线性模式下的项目群工期提前奖励模型。线性工期提前奖励模型的特征是随工期提前，奖励金额同步增加且激励程度保持不变。该类模型在工期提前收益较为稳定、工期提前量较少的情况下具有较好的适用性。但受项目群外部运行环境的影响，工期提前的收益可能存在周期性、阶段性，造成业主对于工期提前具有一定的期望值和不同的支付意愿；并且线性奖励方式不易弥补承包商加快进度导致的成本非线性增加。因此，线性奖励模型存在激励方式与工期提前收益、压缩成本不匹配，易导致激励效果不足和承包商风险等问题。

本文以委托代理理论为研究基础，从理论上分析项目群工期提前采用非线性奖励模型的适用性；然后利用关键路径方法（CPM）分析合同项目工期提前对项目群工期的影响，着重考虑项目群工期提前奖励模型的激励和防御双重效应；通过边际递增模型的设计保证激励效用的充分性，引入最高奖励金额及边际递减模型模拟业主支付意愿和风险防御偏好，从而构建项目群工期非线性奖励模型；最后，以南水北调工程中的项目群为例，验证本文方法的有效性。

1 项目群工期线性奖励模型特点分析

从项目群激励理论角度来看，工期奖励体系包含：工期提前带来的收益、加快工期的成本、业主的激励意愿和承包商努力水平四个要素。其中，收益和成本是进度奖励的客观基础，业主意愿是进度奖励的主观因素，三者共同决定了承包商对于项目群进度的努力水平。只有当工期提前带来的收益大于成本，业主才有激励意愿奖励承包商提高努力水平。线性激励模型假定奖励体系中的主要要素随着工期提前线性增长，这些假设在项目群工期提前奖励中存在一定的局限性。

（1）线性奖励模型假定工期提前所带来的收益具有线性特征，忽略了项目群运行环境的影响。线性奖励模型认为工期提前收益是时间的线性函数，随着工期提前天数增加收益也线性增长。当项目受外部运行环境影响较小时，该模型具有较好的效果，但随着项目群规模的增大，外部运行环境变得更加错综复杂，工程效益的发挥受运行环境影响可能存在周期性和阶段性，从而导致工期提前所产生的收益也具有非线性特征。以南水北调东线项目群为例，一个调水周期的调水计划主要集中在前一年的10月到12月和次年的3月到5月，工程效益具有显著的阶段性，因此工期提前的效益也具有非线性特征。此外，大型防洪、灌溉、交通等项目群也具有类似特征。另一方面，大型项目群往往是经济、社会、生态效益的综合体，综合收益本身也具有非线性特征。

（2）线性奖励模型假设奖励金额可以弥补承包商加快工期的成本，未考虑承包商的成本特征。在工程项目工期优化中，工程项目直接费与项目工期呈现非线性关系，具体表现为工程成本随工期压缩而增加，工期-直接费斜率边际递增[14, 15]。根据委托代理理论，业主作为委托人，承包商作为理性的代理人，其行为受到个人理性约束，即代理人接受激励合同的前提是其在激励合同中所得到的收益必定大于他放弃该激励合同得到的收益，具体到项目群工期优化的激励中，只有当业主给予承包商的奖励大于承包商不接受该激励合同时的收益，该激励合同才会生效。因此当承包商加快工期的成本呈现非线性增加时，业主仍采用线性奖励方式进行激励，易导致承包商获得的奖励金额难以弥补其加快工期的成本损失，从而导致激励效率下降甚至是激励合同失效。

（3）线性奖励模型认为业主激励意愿始终保持不变，但实际工程中业主激励意愿具有门限效应。项目群工期奖励总体趋势是工期提前越多，奖励额度越大。但是受工期提前收益的非线性影响，业主奖励意愿具有一定的期望值，奖励支付意愿围绕着工期提前期望值呈现先升后降趋势。具体表现为：在外部运行环境作用下，业主对项目群工期提前天数具有心理预期；在达到心理预期前，对进度提前偏好呈上升趋势，承包商提前天数越多，业主愿意支付的奖励金额也越多；但提前天数达到业主心理预期后，工期提前的偏好呈现下降趋势，业主不愿再为项目工期缩短支付过多的奖励。因此，业主的激励意愿并非始终不变。

（4）线性奖励模型假定承包商努力程度随奖励线性增长，忽略了承包商行为的不可观测性和道德风险[16-18]。不可否认，当代理人风险中性，简单的线性奖励方式是最优契约之一，能够充分调动承包商，使其积极主动的进行工期优化[17]，但由于业主对承包商行为及付出的努力程度等信息较难获取，只有在工程最终完成时，才能从工期、质量、费用等方面判断承包商的努力程度，因此承包商在进行工期压缩过程中极易做出利于自身但是损害他人利益的行为。在项目群工期优化中具体表现在承包商损害质量压缩工期的掏空行为。由于进度和质量间存在平衡关系，线性激励方式易造成承包商只注重工期压缩，忽视工程项目质量[19, 20]。工期压缩能在一定程度上提升系统收益，但也会导致施工质量下降等问题[15]。相关研究表明，一旦激励超过阀值，承包商就会通过损害质量来压缩工期，因此业主的激励机制设计应充分考虑对这种掏空行为的防御[21]。综上，线性工期奖励模型激励强度不变，对于承包商的激励作用一直较强的特征，易造成承包商为追求经济利益不断加快进度目标，从而导致工程质量难以保证。

2 项目群工期非线性奖励理论分析

2.1 项目群工期非线性奖励理论基础分析

因此，相关领域的激励模式设计也开始逐渐从线性模型向非线性模型转变。比如徐宁等[26]指出高管股权激励与R&D之间呈现非线性关系，激励力度与R&D投入、控制权激励与技术创新动态能力存在倒“U”型，达到一定极值呈现递减趋势；曲亮、任国良等[27]在其文章中指出高管薪酬对企业价值有非线性的“U”型影响，薪酬超过一定的额度后，高管薪酬激励明显呈现出边际递增的激励效果；赖永剑等[28]研究发现以金融相关比率为衡量指标，金融发展对区域创新绩效存在显著的非线性影响。张克群等[29]探讨发现技术多样化与创新绩效的非线性关系。左松[30]分析了委托代理理论框架下监理的道德风险，讨论业主对监理单位激励报酬设计的指标因素，提出对线性报酬模型进行改进；陆龚曙[14]在进行业主对承包商的激励机制设计中指出成本与工期的激励系数是非线性的最优化问题；易涛等[31]在基于费用控制的激励机制设计与模型构建中提出将工程成本与工期作为双指标激励，直接费与工期可表示为非线性关系，并建立了非线性双因子激励模型。

类似地，在项目群工期激励中，也具有委托代理关系。业主作为投资方，承包商作为施工方。承包商对于工程项目的了解程度明显强于业主，但是业主对于承包商行为及付出的努力程度等信息较难获取，承包商行为具有不可观测性，因此，在项目群工期优化中，承包商是信息隐蔽的“代理人”，而业主是难以获取对方信息的“委托人”。业主通过工期提前奖励以激励承包商选择合适的努力程度主动地进行工期优化。同样，在项目群工期激励中也存在利益趋同和壕沟防御，对承包商的适度奖励有助于实现业主的工期优化目标，但过度的、不加限制的奖励会使承包商不断压缩工期以追求自身利益最大化。因此，激励的双重效应在一定程度验证了项目群工期与激励间同样具有非线性关系。

2.2 项目群工期非线性奖励特征分析

2.2.1现行非线性奖励特征分析

目前非线性激励模型主要存在边际递减和边际递增两种主要模式，在不同的领域均有所应用且各有利弊。

（1）边际递减模式。边际递减奖励模型的特点是奖励金额逐渐增长，但奖励强度逐渐降低。该模型的优点在于能够有效地控制激励程度，防御被奖励对象的道德风险[32]。项目群进度奖励采用该模型意味着重点防御承包商追求经济利益不断加快进度目标的情况，能在一定程度上避免承包商可能出现的掏空行为，即为压缩工期牺牲工程质量，有效地防止代理人过度追求风险。而该模型的缺陷在于凸性的激励强度小于线性奖励模型的激励强度，有可能造成对承包商的激励不够充分，从而降低承包商对于加快工期、控制进度目标的积极性。

（2）边际递增模式。边际递增奖励模型的特点是奖励金额和强度同时增加。该模型的优点在于能够充分发挥激励效应，激发被奖励对象的努力水平。项目群进度奖励采用该模型意味着工期提前越多，奖励幅度越大，激励强度大于线性奖励模型的强度，因此能够极大地激励承包商提前完工。但是缺陷在于易造成承包商为了追求更大的经济利益，不断加快进度，引发质量、安全等风险；显然，边际递增的奖励模型未对风险进行控制，在引导承包商的行为方面存在偏差，容易引发承包商过度偏好风险。

2.2.2项目群工期非线性奖励机制分析

合理有效的项目群工期提前奖励模型主要包含三个目标：一是促使承包商积极主动地为实现项目群的目标而不断努力；二是确保奖励对承包商有足够的激励作用；三是引导承包商的行为朝着正确的方向进行并按时终止。传统的线性奖励方式可以实现目标一和目标二，但是可能存在激励敏感性过强，易造成过度激励等问题；对于目标三，线性奖励模型中几乎没有体现。通过分析奖励要实现的三个目标，发现线性奖励虽然可以实现对承包商的激励作用，但是在实际应用中存在一定的局限性。非线性奖励模型能够在一定程度上弥补线性奖励模型存在的缺陷，在实际工程中具有更强的适应性。目前，非线性奖励模型主要存在边际递增和边际递减两种激励形式，但这两种形式并不完全适用于项目群工期提前奖励机制。原因如下：

（1）业主对于进度提前的偏好具有先升后降的特征。业主对于项目工期提前天数有一定的心理预期，在达到预期工期提前天数之前，业主对于进度提前偏好呈现上升趋势，承包商提前的天数越多，业主愿意支付的奖励金额就越多。但工期提前天数达到业主的心理预期之后，业主对于工期提前的心理效用就会呈现下降趋势，对于项目工期的缩短不再愿意支付过多的奖励，达到业主心理预期后的工期提前对项目群的价值或是业主的经济效益影响不再显著。因此，单纯的边际递增虽然激励效率显著但是增加了业主的成本，而边际递减模型虽然可以有效节省委托代理成本但是存在激励效率较低，易造成提前天数难以达到业主心理预期。

（2）承包商努力水平随奖励提升呈现先低后高的趋势。奖励金额较少，对承包商的激励作用较小，因此承包商努力水平较低；但是随着奖励金额增长，对承包商的激励作用逐渐增强，因此承包商努力水平显著提升。值得注意的是，奖励金额的提升一定程度上会造成承包商对于利益的过度追求，易产生道德风险。因此，单纯的边际递增模型虽然可以保证激励效率但是易造成承包商的掏空行为，而边际递减模型虽然可以有效避免道德风险但难以保证激励效率。

综上，单纯采用边际递增或边际递减的奖励方式并不满足项目群工期激励的实际要求。因此，项目群工期激励需综合考虑现有两种非线性奖励模型的优势，设计符合工程实践的激励机制。

2.2.3项目群工期非线性奖励特征分析

激励机制设计多以委托代理模型为基础，通常会同时包含激励效应和防御效应两种非线性关系。相关研究表明，设计具有上述两种效应的激励机制时，激励力度和激励效率间满足N型非线性关系，即激励力度具有门限效应[21, 23-25]。前文分析表明，项目群工期提前奖励中也存在上述两种效应，因此N型激励曲线更为适合构建工期提前奖励模型。N型曲线始终保持奖励金额单调递增，但是具体增长方式分为激励效应和防御效应两个阶段。其中，激励效应阶段是指通过奖励力度的不断增加，激励承包商更加努力地优化进度目标，从而使项目群工期提前量达到业主预期。这一阶段奖励金额和激励力度都随工期提前天数不断上升，其中激励力度在业主心理预期点出达到最大值。防御效应阶段是指通过激励力度的降低，控制承包商过度追求风险，防止承包商通过损害质量来压缩工期的掏空行为。这一阶段奖励金额依旧随着工期提前天数增加，但是激励力度呈现单调下降趋势。

通过上述分析，项目群工期提前量与奖励金额之间亦存在N型非线性关系，即奖励金额随工期提前量增长呈现先边际递增后边际递减的特性。通过对N型曲线形式的模拟，项目群工期提前奖励的非线性特征可采用以下模型近似表示：

式中：Aπ—项目群工期奖励金额的上限；b—业主对项目群提前天数的预期；x—项目群工期提前的天数。

Figure 1 Program Schedule ahead of time Award Curve

假设业主对于项目群提前天数的目标（心理预期）是天，愿意支付的奖励金额是S，则项目群工期提前奖励的N型曲线如图1所示。其中点、点、点分别代表激励效应阶段、转折点及防御效应阶段范围内的点。点处二阶导数大于0，奖励模型为凹函数，奖励力度边际递增；点处二阶导数等于0，是奖励曲线的拐点，此处奖励力度最大；点处二阶导数小于0，奖励模型为凸函数，奖励力度边际递减。

其中，点既是最有利于工程项目群发挥效益的点，又是业主考虑复杂外部环境影响下的心理预期点，同时该点对承包商来说也是激励力度最大的点。业主的工期提前预期，由业主综合考虑工程运行外部环境约束、工程效益等因素确定。对式(1)求一阶导数得到式(2)，对式(1) 求二阶导数得到式(3)。

式中：符号含义同式(1)。

令(3)式等于0，得到=，即曲线的拐点，代表最优的项目工期目标，即业主设定的心理预期。此时工期提前所能获得的奖励金额幅度是整个过程中最大的，在这个点之前，奖励金额随工期提前边际递增，在这个点之后，奖励金额随着工期提前边际递减。

项目群中承包商工期提前获得奖励金额随着进度加快先边际递增后边际递减，呈现先凹后凸的非线性特征。采用这种工期激励的方式，主要有以下两个原因，分别对应曲线两个阶段。

（1）第一阶段：随项目工期的不断提前，曲线的切线斜率不断增大，即随着进度的不断加快，奖励幅度越来越大，奖励金额呈现边际递增。

本阶段采用边际递增的奖励模型主要是为了更好的激励承包商。由于最初承包商可以通过自身的努力极大地提前项目工期，此时不论是采用边际递减或是线性的奖励模型，都有可能造成对承包商的激励不够充分，从而降低承包商对于加快工期、控制进度目标的积极性。此时给予承包商工期提前的奖励呈现边际递增更为合理。

（2）第二阶段：随项目工期的不断提前，曲线的切线斜率不断减小，即随着进度的不断加快，奖励幅度越来越小，奖励金额呈现边际递减。

本阶段采用边际递减的激励模型主要是考虑达到业主心理预期后，工期的进一步提前对项目群的价值或是业主的经济效益影响已经不再显著。一方面，项目群工期一旦达到业主心理预期，关键路径上的单个项目提前对于业主心理效用及项目群目标的实现影响较小，业主不再愿意支付过多的奖励；另一方面，当单个项目位于项目群的非关键路径上，即使工期无限压缩，对于项目群的效益的发挥也无实质性意义。因此，边际递减的奖励模型与项目群价值的波动性特征及激励意愿的门限效应相吻合。

此外，边际递减的激励模型一定程度上也可以防御承包人追求过快的进度目标。传统线性奖励模型存在工期奖励敏感性过强、未控制承包商过度追求进度目标等问题，而边际递减的奖励模型可以有效抑制承包商对于进度风险的追求。当过快的进度目标并不会出现如线性奖励模型中的高收益，承包商的工期优化行为就能够按时终止，这在一定程度上也保证了工程质量，避免承包商的掏空行为的出现。因此，凸性的非线性奖励引导承包商不以最快工期作为行为指标，有利于业主控制风险。

综上，项目群工期提前采用的先边际递增后边际递减的非线性奖励模型，既保证了激励的充分性，同时在一定程度上引导承包商不以最快进度为目标，而是寻求适度的、最优的项目工期。

3 项目群工期非线性奖励模型的构建

3.1 假设条件

（1）工期变动造成的合同项目自身效益、关键节点效益及项目群效益均可量化计算。

（2）假设工期不存在延误。合同中规定的工期相对宽裕，承包商能在合同规定的工期节点前完工。

（3）各项目工期提前的程度可以新增关键路径，但不出现关键路径转为非关键路径的状况。

（4）项目群中各合同项目同时招标。由于招标时间影响项目群工期奖励，如果紧前项目完成才进行后续项目招标，那么就不存在前后序项目上的补偿与分享关系。

3.2 模型构建

根据 Feng等[1]，奖励模型要在保证实际经济效益大于等于原计划的前提下，达到项目群进度最优化，因此目标函数是：

式中：—第个合同项目；—项目群中合同项目总数；—项目群合同工期；—项目群实际工期；T—非关键路径的计划工期；T'—非关键路径的实际工期；t—关键路径上第个合同项目的合同工期；t—关键路径上第个合同项目的实际工期；—项目群按原计划完工后的预期收益；—项目群按实际进度完工后的预期收益。

在项目群实施过程中，当某个合同项目工期提前时，有可能造成后续项目开工时间的提前，从而产生一系列的奖励和补偿问题。对于工期提前的合同项目，应该和开工时间提前的紧后项目或者其他后续项目分享产生的项目群效益；对于工期没有缩短的合同项目，由于前面合同项目的提前导致其开工时间提前的应该获得一定的补偿。

为了达到项目群经济效益的最大化，业主不应该承担其他多余的成本，即合同项目提前完工给项目群带来的整体效益应该大于等于合同项目获得的奖励以及其他项目因此获得的补偿之和。利用非线性表达方式表示如下：

通过上述分析，结合项目群工期线性奖励模型，对于项目群工期提前非线性奖励M表示如下：

4 案例分析

4.1 案例简介

南水北调工程是一项由众多项目群组成的大型复杂工程。根据南水北调东线工程目标分解构建项目群体系，其中Ú为南水北调工程项目群体系中的一个项目群。Ú项目群由14个合同项目组成，各个合同项目的合同工期、实际工期、中标金额、线性奖励模型下奖励金额如表1所示。

表1 Ú项目群工期概况及奖励金额表

4.2 非线性奖励模型下合同项目奖励计算

绘制Ú项目群网络计划图，并通过计算合同项目时间参数确定关键路径，具体各合同项目总时差以及自由时差参见图2。Ú项目群网络计划图如图2所示。

图例：标段项目（TF/FF）

Legend: Tender section project (TF/FF)

图2 Ú项目群网络计划

Figure 2 Ú Program Network Planning

由此可见，Ú项目群的关键路径为：A—D—H—I—K —N，其中（10）为关键节点，即公路桥的建成可以独立发挥功能效益。为了对该项目群工期非线性奖励模型进行计算，将Ú项目群分为关键路径和非关键路径两部分。关键路径上工期提前的工程项目有：A、H、I、N，关键路径上的工程项目不仅影响自身工期，还会对紧后工程项目最早开始时间以及项目群工期产生影响；非关键路径上工期提前的工程项目有：C和G，造成紧后工程项目工期提前，关键节点效益受到影响。

该项目群完工后还需要经过南水北调工程全线调试、试通水、试运行，并需要等待下一年度调水计划和开机指令下达才能显著发挥工程效益。同时，南水北调作为国家战略性工程，其质量标准大于进度要求。因此，业主对于工期提前的预期并不强烈，理论上业主工期提前的预期为无穷大，为便于计算，在此取为项目工期提前天数的10倍。根据建设工程工程量清单计价规范的相关规定，工期奖惩额度一般为合同金额的1‰/天—5‰/天，工期延误最高惩罚金额为合同中标金额的5%左右。相较于工期延误惩罚，业主对于承包商工期提前较少采取奖励措施，奖励最高金额在合同中较少体现，参照过往经验，在此按照合同中标金额的1%乘以π作为奖励的上限，由此确定项目群工期非线性奖励模型参数。

通过上述分析，计算得到Ú项目群工期提前非线性的奖励金额。其中表中自身、关键、项目群、补偿、分担分别代表由于该合同项目工期提前获得的奖励金额、由于关键节点提前获得的奖励金额、由于项目群工期提前获得的奖励金额、前序项目提前所获得的补偿金额、由于项目提前为紧后项目分担的金额，具体如表2所示。

表2 Ú项目群工期提前非线性奖励金额表

4.3 与线性奖励模型对比分析

（1）本文利用非线性奖励模型得到对Ú项目群工期奖励的总金额为100.21万元，远小于线性奖励模型下的360.2万元。主要在于非线性奖励模型依据中标金额设定奖励金额上限，其次后期边际递减的奖励模型抑制承包商以最快进度作为工期控制的首要目标。

（2）合同项目A奖励对比分析。由本文计算出来的奖励金额为75.34万元，大于线性奖励模型下的20万元。原因主要在于项目起始阶段，奖励金额处于边际递增，承包商通过自身努力加快工程进度能够获得较高的奖励。一般项目群的起始阶段，项目管理体系难以执行、人员到位情况难以落实，业主、承包商、监理的协同管理程度不高，项目管理体系还处于磨合阶段，容易出现进度难以提前，甚至滞后的问题。该阶段的奖励金额高于线性激励不仅有利于承包商提高自身努力程度，而且有利于各参建方之间的信息沟通与组织协调。

（3）合同项目C奖励对比分析。在本文非线性奖励模型的计算下，合同项目C可以获得奖励金额为9.41万元，远小于线性奖励模型下的145.8万元。原因在于虽然提前了240天但是只取得关键节点效益，且收益总额与后续项目的补偿相互抵消；同时，当项目群工期奖励模型具有边际递减的奖励特征，承包商追求过快的进度目标并不会出现如线性奖励模型中的高收益时，从而保证其工期优化行为能够按时终止，进而避免了压缩工期损害工程质量的掏空行为。

（4）合同项目H、I、N、G奖励对比分析。H项目合同奖励金额4.53万元，小于线性奖励模型下的52.7万元。一方面，由于事先设定奖励金额的上限，奖励金额相对线性模型下有了较大幅度的减少；另一方面，项目群工期提前的天数较多时，奖励金额呈现边际递减，这也是造成奖励金额被限制的原因之一。I、N合同项目与其类似。合同项目G处于非关键路径，只取得自身项目工期提前的奖励以及紧前项目工期提前的补偿，最终获得的奖励金额未出现较大变动。

5 结论

现有项目群工期激励普遍采用线性奖励模型，存在激励方式与工期提前收益、压缩成本不匹配，易导致激励效果不足和承包商风险偏好等问题。为此，本文以委托代理理论为基础，分析了项目群工期提前采用非线性奖励模型的适用性，建立了包含激励效应和防御效应的两阶段项目群工期非线性奖励模型，克服了线性奖励模型存在的前期奖励效果不足和后期未控制承包商过度追求进度目标问题。案例结果表明，相同工期提前量条件下，项目群工期非线性模型较线性模型的奖励金额大幅减少。

本文构建的非线性奖励模型在激励效应和防御效应两个阶段展现了独特优势，通过边际递增模式的设计保证激励效用的充分性，引入最高奖励金额及边际递减模式控制承包商风险偏好。研究成果在一定程度上可以为项目群工期激励机制设计和施工合同的奖励条款制定提供理论依据。此外，本文在构建模型时假定项目群中所有承包商的单位工期提前成本无差异性，综合考虑承包商差异性的非线性奖励模型还有待深入研究。

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Nolinear incentive model for program schedule

ZHANG Ke1,3, YANG Kaixun1,2, FENG Jingchun1,4, WANG Xiaohuan5, LI Ming1, XUE Song1,2

（1. Business School of Hohai University, Nanjing 211100, China; 2. Institute of Project Management of Hohai University, Nanjing 211100, China; 3. International River Research Centre of Hohai University, Nanjing 211100 China; 4. Jiangsu Provincial Collaborative Innovation Center of World Water Valley and Water Ecological Civilization，Nanjing 211100, China; 5. Water Resources Department of Guangdong Province，Guangzhou 510635, China）

As one of the three major factors of project management, the construction schedule directly affects the project function and income. Therefore, schedule control is significantly crucial in program management and is the key to the realization of the program objectives. Among the main schedule control measures, economic incentives are the most acceptable measure to contractors. Furthermore, relevant research shows that the effective incentive mechanism can promote the control and optimization of the program schedule to a certain extent.

The existing program schedule incentives generally employ linear incentives measure. The model can perform an incentive role in project optimization with low engineering complexity and small project. Especially in single projects or projects with a short project schedule, it is an applicable incentive measure for the project owner. However, because of the cyclical characteristics of the program income caused by a complex external environment, the threshold effect of the owner's incentive will become a nonlinear increase of the cost caused by the accelerated progress of the projects. Therefore, obvious disadvantages are using the linear incentive method for program schedule control. To this end, it is necessary to construct a nonlinear incentive model that matches the characteristics of the program schedule.

Firstly, according to the four components of the program schedule incentive, the paper discussed the characteristics of the linear incentive model of the program schedule from four aspects: the income brought by schedule control, the cost of accelerating the program schedule, the incentive of the owner and the effort level of the contractor. The discussion shows the shortcomings of the incentive model. Namely, the incentive method does not match the income brought by schedule control and the cost of accelerating the program schedule, which may lead to insufficient incentive effect and contractor risk preference.

Secondly, the paper analyzed the theoretical basis of the nonlinear incentive of the program schedule, established an analytical framework with principal-agent theory, and demonstrated the nonlinear relationship between program schedule and incentives through interest convergence and trench defensive hypothesis. Meanwhile, the two main nonlinear incentive models show the characteristics and shortcomings in detail. Furthermore, three goals were proposed for a reasonable program incentive model. According to this, the paper explained reasons that the existing marginal increase and marginal diminishing incentive models do not apply to actual engineering.

Thirdly, the paper analyzed the nonlinear incentive mechanism and characteristics of the program schedule and concluded that there is an N-type nonlinear relationship between the amount of program schedule in advance and the number of incentives. That is to say, the incentive amount possesses the N-curve characteristic with the program schedule in advance, a marginal decrease after a marginal increase. Through the simulation of the N-curve form, a quantified model of incentive is obtained. In addition, the paper also deeply analyzed the two stages of the N-type nonlinear incentive model.

Finally, the critical path method (CPM) was introduced to analyze the impact of the contract project schedule on the program schedule. Based on the above analysis, the nonlinear incentive model of the program schedule was constructed, and the program in the South-to-North Water Transfer Project was studied as an example to verify the effectiveness of the proposed method.

The research results show that considering the impact of the external operating environment of the program and the expectation of the owner's program schedule in advance, there is a nonlinear relationship between the project schedule and the incentive. In other words, the incentive amount is characterized by a marginal increase, followed by a marginal decrease with the program schedule in advance. The nonlinear incentive model constructed in this paper demonstrates unique advantages in the two stages of incentive effect and defensive effect. The model guarantees the sufficiency of incentive utility through the design of marginal increment mode. Also, the model introduces the highest incentive amount and marginal decline mode to control contractor risk preference. The model can help overcome the problem of insufficient incentive effect and uncontrolled contractor's excessive pursuit of schedule targets in the linear incentive model. The case study shows the result that under the same amount of program schedule in advance, the amount of incentive for the nonlinear model is significantly reduced compared to the linear model. To a certain extent, the research results can provide a theoretical basis for the design of the incentive mechanism for the program schedule and the formulation of the reward clause for the construction contract.

Program schedule; Nonlinear; Incentive model; Principal-agent theory; Risk control

2018-01-20

2018-11-28

Funded by the National Social Science Fund (17BGL156); Guangdong Water Conservancy Science and Technology Plan Innovation Project (2017-04); Guizhou Water Conservancy Science and Technology Plan Project (KT201601)

C931

A

1004-6062(2020)05-0122-008

10.13587/j.cnki.jieem.2020.05.013

2018-01-20

2018-11-28

国家社科基金资助项目（17BGL156）；广东省水利科技计划创新项目（2017-04）；贵州省水利科技计划项目（KT201601）。

张可（1983—），男，河南信阳人；河海大学商学院副教授，硕士生导师；研究方向：系统工程。

中文编辑：杜 健；英文编辑：Charlie C. Chen