一道征解问题的探究与变式

江苏省扬州市邗江区蒋王中学(225103) 李加朝

湖北省武汉职业技术学院商学院(430074) 邹 峰

一、题目呈现

题目(《数学通讯》(上半月)2019年第10 期问题423) 已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=36,求p=xy+xz+yz+x+20y+51z的最大值.

二、解题探究

解答数学问题,首先要读题,理解题意.题意,就是命题者的命题意图.可从题目的条件和结论两方面观察,探求条件和结论之间的联系,在条件和结论之间搭建“桥梁”,进而找到解题思路,通过尝试、调控、整理等“打草稿”的过程,最后写出完整的解答.

本题条件是一个关于实数x,y,z的实系数三元二次方程,且只有平方项和常数项,而所求为关于实数x,y,z的实系数三元二次函数的最大值.显然需将此函数放大为关于“x2+2y2+3z2”的表达式,看来可用二元均值不等式来逐项放大来实现这一目标.但要求其最大值,又需要求出的常数能够取到.这可从观察已知不定方程x2+2y2+3z2=36的一些特殊解来尝试,也可从要求式子中字母与字母、数字之间的关系考虑,或用待定系数法通过解方程組来获得取最值条件.

解法1因为x,y,z ∈R,x2+2y2+3z2=36,所以

又当x=1,y=2,z=3 时,且p=205,故当x=1,y=2,z=3 时,p取得最大值为205.

三、命题揭秘

解法2由均值不等式得:xy≤x2+xz≤5y2+20,51z≤把这六者相加即得p≤3(x2+2y2+3z2)+97=3×36+97=205,当且仅当x=1,y=2,z=3 时取等号,则pmax=205.

四、变式研究

找到解决问题的“钥匙”,也就找到命题者命题的方法和技巧,从而同学们也可以实现从学会解题到学会出题的数学素养的提升.

1 增加字母个数,可以命制更多元的最值问题

变式1已知a1,a2,a3,a4为实数,且=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+12a2+23a3+34a4的最大值.

解由均值不等式得:这十者相加即得

当且仅当a1=1,a=2,a3=3,a4=4 时取等号,故a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+12a2+23a3+34a4的最大值为265.

变式2若a1,a2,a3,a4为实数,满足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+12a1+a2+34a3+23a4的最大值.

根据正交试验结果可知,柠檬酸的添加量对饮料的口感影响最大,而果汁添加量和白砂糖的添加量对饮料口感的影响次之,各因素的影响程度依次为C>A>B,根据方差分析结果可知,柠檬酸的添加量对饮料的口感有显著性影响。因此得到黄刺玫果饮料制备工艺的最佳组合为A 2 B1 C2,即料液比1:8,白砂糖8%,柠檬酸0.2%。

提示当a1=2,a2=1,a3=4,a4=3 时,取得最大值为265.

2 更换字母系数,可以命制不同的最值问题

变式3已知a1,a2,a3,a4为实数,且满足=100,求p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+32a2+83a3+154a4的最大值.

解由均值不等式得:

3 引入参数系数,可以命制含参最值问题

变式4若k≥且k为常数,实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=36,求p=xy+xz+yz+(2k-5)x+(8k-4)y+(18k-3)z的最大值.

解由均值不等式得:(8k-4)y≤(2k-1)y2+4(2k-1),(18k-3)z≤把这六者相加即得p≤当且仅当x=1,y=2,z=3 时取等号,故pmax=72k-11.

变式5若k为非负实数常数,a1,a2,a3,a4为实数,且满足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(2k+10)a2+(3k+20)a3+(4k+30)a4的最大值.

解由均值不等式得:这十者相加即得

当且仅当a1=1,a=2,a3=3,a4=4 时取等号,故a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(2k+10)a2+(3k+20)a3+(4k+30)a4的最大值为30k+235.

变式6若k为非负实数常数,a1,a2,a3,a4为实数,满足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+(4k+30)a1+ka2+(3k+20)a3+(2k+10)a4的最大值.

提示所求最大值为30k+235,当且仅当a1=4,a=1,a3=3,a4=2 时取得.

4 引入参数并改换字母系数,可以命制更有思维价值的最值问题

变式7若k≥且为常数,a1,a2,a3,a4为实数,=100,求p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+(2k-9)a1+(8k-8)a2+(18k-7)a3+(32k-6)a4的最大值.

解由均值不等式得:

把这十者相加即得

当且仅当a1=1,a2=2,a3=3,a4=4 取等号,故pmax=200k-35.

五、命题实践

请你根据以下要求,设计用均值不等式解决的最值问题及其参考答案.

已知a1,a2,a3,a4为实数,且满足=67,使其取最值的条件为a1=2,a3=4,a3=3,a4=1.

可得命题如下(命制过程可参考文[1]):

p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(4k+26)a2+a3+(2k+7)a4的最大值为+230,其中常数k≥0.

笔者给出一个n元推广:

题目若a1,a2,a3,···,an均为实数,且满足则的最大值为取等号条件为ai=i(i=1,2,3···,n).

六、问题拓展

题1已知a,b,c ∈R,且a+2b+3c=10,求p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值.

题2已知a,b,c,d ∈R,且a+2b+3c+4d=10,求p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值.

下面给出两种问题的推广证明:

命题1设ak ∈R,且满足1≤k≤2n+1,整数n≥1,且满足则的最小值为取等号条件为ak=(2k-1-2n).

证明注意恒等式

由柯西不等式得:

从而

当ak=(2k-1-2n)时,取最小值为

若n=1 时,p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值为10,取等号条件为a=-1,b=1,c=3.

命题2设ak ∈R,且满足1≤k≤2n,整数n≥1,且满足则的最小值为取等号条件为ak=(k-n).

证明注意到恒等式12+22+···+(n-1)2+n2=由柯西不等式得:

若n=2 时,p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值为5,取等号条件为a=-1,b=0,c=1.d=2.