构造函数破解大小比较*

2020-09-09广东省广州市第十六中学510080温伙其

中学数学研究(广东) 2020年15期

广东省广州市第十六中学(510080) 温伙其

导数在研究函数中的应用是近年高考命题的一个热点考向.利用导数解决大小比较,关键是构造与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域).本文探究如何构造函数解决抽象函数不等式;解决同构式不等式;解决距离最值;处理双极值点问题;处理极值点偏移问题.

一、构造函数解决抽象函数不等式

构造函数解抽象函数不等式,其本质是用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数.一般是对u±v,u·v,导函数形式的化归处理,当导函数形式出现的是“+”时,优先考虑u·v型,当导函数形式出现的是“-”时,优先考虑型,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

例1已知函数f′(x) 是函数f(x) 的导函数,f(1)=(其中e为自然对数的底数),对任意实数x,都有f′(x)＞f(x),则不等式2f(x)＜ex+1的解集为( )

A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(1,e) D.(e,+∞)

解析由题意构造函数g(x)=-1,则g′(x)=＞0,故g(x) 在R 上递增,而g(1)=-1=0,不等式2f(x)＜ex+1可化为-1＜0,即g(x)＜g(1),解得x＜1,不等式2f(x)＜ex+1的解集为(-∞,1),故选A.

小结常见的抽象形式及对应构造的辅助函数:

(1)条件含有xf′(x)+f(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=xf(x);

(2)条件含有xf′(x)-f(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=

(3)条件含有f′(x)+f(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=exf(x);

(4)条件含有f′(x)-f(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=

(5)条件含有nf(x)+xf′(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=xnf(x);____

(6)条件含有nf(x)-xf′(x)结构形式,一般构造新函数F(x)=

(7)条件含有f′(x)sinx+f(x)cosx结构形式,一般构造新函数F(x)=f(x)sinx;

(8)条件含有f′(x)sinx-f(x)cosx结构形式,一般构造新函数F(x)=

(9)条件含有f′(x)cosx-f(x)sinx结构形式,一般构造新函数F(x)=f(x)cosx;

(10)条件含有f′(x)cosx+f(x)sinx结构形式,一般构造新函数F(x)=

二、构造函数解决同构式不等式

同构式不等式是指除了变量不同,其余地方均相同的不等式.既然同构式不等式两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个新函数,进而结合该函数的单调性等性质,可比较大小或解不等式.

例2(2014年高考湖南卷文科第9 题) 若0＜x1＜x2＜1,则( )

A.ex2-ex1＞lnx2-lnx1B.ex1-ex2＞lnx2-lnx1

C.x2ex1＞x1ex2D.x2ex1＜x1ex2

解析A 选项:ex2-ex1＞lnx2-lnx1⇔ex2-lnx2＞ex1-lnx1,构造函数f(x)=ex-lnx,则f′(x)=再构造函数g(x)=xex-1,则有g′(x)=(x+1)ex＞0 恒成立,所以g(x)在(0,1)单调递增,而g(0)=-1＜0,g(1)=e-1＞0,因此存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0,由单调性可判断出:x∈(0,x0),g′(x)＜0⇒f′(x)＜0,x ∈(x0,1),g′(x)＞0⇒f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)不单调,不等式不会恒成立;

B 选项:ex1-ex2＞lnx2-lnx1⇔ex1+lnx1＞ex2+lnx2,构造函数f(x)=ex+lnx,可知f(x)单调递增,所以应该f(x1)＜f(x2),故B 错误;

小结同构式的构建,一般遵循以下几个原则:相同变量放一边;运算形式变相同;有指数有对数都统一为e为底的对数.

三、构造函数解决距离最值

平面中的距离,最值问题除了可用的几何法求解外,也可把其看成函数关系,通过构造函数解析式,化归为某一变量为主参的函数进行求解.

例3(2012年高考新课标卷)设点P在曲线y=上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为( )

A.1-ln 2 B.

解析由题意知函数y=与函数y=ln(2x) 互为反函数,图象关于y=x对称,函数y=上的点到直线y=x的距离为d=构造函数g(x)=-x(x＞0),则g′(x)=-1,知函数g(x)在(0,ln 2)单调递减,在[ln 2,+∞)单调递增,所以当x=ln 2时,函数g(x)min=1-ln 2,即dmin=再由图象关于y=x对称得|PQ|最小值为2dmin=故选B.

小结用于构造一些特殊函数的常见几何意义:

(3)Ax+By表示直线Ax+By+C=0 的截距;

(4)P(cosθ,sinθ)表示单位圆x2+y2=1 上的任意一点;

(5)a2-ab+b2与余弦定理有关.

四、构造函数处理双极值点问题

函数的极值点,即该导函数的零点.而双极值点,即该导函数的两个零点,若导函数为二次函数,则伴随着特殊的韦达定理.所以双极值点问题,常借助韦达定理,减元引参,通过构造函数,可研究该函数的性质解决大小问题.

例4[1](2018年高考新课标Ⅰ卷) 已知函数f(x)=

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x) 存在两个极值点x1,x2,证明:＜a-2.

解析(1) 易知:当a≤0 时,f(x) 在(0,+∞) 上是减函数;当0＜a≤2 时,f(x) 在(0,+∞) 上是减函数;当a＞2 时,在和上是减函数,在上是增函数.

(2)方法一:由(1)知a＞2,0＜x1＜1＜x2,x1x2=1,而

因此h(x) 在(0,1) 上单调递减,所以h(x)＞h(1),即2 lnx-x+＞0,故2 lnx＞x-即原不等式成立.

只需证

即证2alnx2-ax2+＜0,(x2＞1) 即可,构造函数h(x)=2alnx-ax+(x＞1),h′(x)=≤0,因此h(x) 在(1,+∞) 上单调递减,则有h(x)＜h(1)=0,所以2alnx-ax+＜0 成立,故2alnx2-ax2+＜0(x2＞1)成立,即原不等式＜a-2 成立.

小结构造函数解决双极值点问题,主参的选择有以下途径:

(1)转化为x1或x2的一元函数;

(2)转化为第三变量的一元函数;

(4)两边分别变形为x1,x2的相同结构式,进而构造函数.

五、构造函数处理极值点偏移问题

对于可导函数y=f(x),在区间(a,b) 上只有一个极大(小) 值点x0,方程f(x)=0 的解分别为x1,x2,且a＜x1＜x2＜b,若f(x1)＜f(2x0-x2) 时,有＜(＞)x0,即函数y=f(x) 在区间(x1,x2) 上极(小) 大值点x0右(左) 偏;若f(x1)＞f(2x0-x2) 时,有＞(＜)x0,即函数y=f(x) 在区间(x1,x2) 上极(小)大值点x0右(左)偏.根据上述定义,极值点偏移问题,把自变量的大小问题转化为函数值的大小,再把函数值的大小化归为研究函数的单调性.

例5[2](2010年高考天津卷理科节选) 已知函数f(x)=xe-x(x∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若存在实数x1,x2(x1＜x2),使得f(x1)=f(x2)成立,证明:x1+x2＞2.

解析(1)容易知f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)极大=f(1)=

(2)方法一:f′(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,x→-∞时,f(x)→-∞;f(0)=0;x→+∞时,f(x)→0.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=如图2所示.