构造辅助圆 巧求最小值

吴玲芳

在求平面几何中的一些线段的最小值时，我们通常作辅助线来求解。例如“将军饮马”这类问题，可以作对称点，利用轴对称的知识帮助解决。而有些求线段的最小值的问题，用常规的解题方法难以求解。此时，我们可以从已知条件出发，根据圆的定义，或利用圆周角定理及其推论，构造辅助圆，运用圆的知识进行解答，从而求出线段的最小值。

一、从定长入手构造圆

例1如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值为。

【分析】折叠过程中，B′E=BE，所以B′E的长度不变，即动点B′到定点E的距离是一个定值，所以点B′的运动轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆的一部分，以此构造辅助圆（如图2）。B′D的最小值就是点D与圆E上的点的最短距离，当点D、E、B′三点共线时（如图3），B′D最短。

解：如图3，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°。

∵在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，

又∵AE=2，AD=6，

∴DE=210。

当点D、E、B三点共线时，DB'最短。

∵BE=BE=2，

∴DB'=210-2。

【点评】圆的集合定义是到定点的距离等于定长的点的集合。在本题中，折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状。无论折到什么位置，B'E的长度始终保持不变，所以可以构造辅助圆来解决问题。审题的关键是找到一条长度确定的线段，一个端点是定点，另一个端点为动点，那么动点的运动轨迹是圆。

例2如图4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P在矩形ABCD内，且∠BPC=90°，则AP的最小值为。

【分析】已知∠BPC=90°，且∠BPC所对

的边BC是一条定边，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可以将∠BPC看成是在以BC为直径的圆中BC所对的圆周角（如图5）。点P的运动轨迹是以BC的中点O为圆心，3为半径的圆的一部分。AP的最小值就是点A与圆O上的点的最短距离。

解：如图5，取BC中点O，连接PO。

∵∠BPC=90°，O是BC中点，1

∴PO=2BC=3，

P在以O为圆心，3为半径的圆上，

∴AP的最小值就是点A与圆O上的点的最短距离。当A、P、O三点共线，且P在AO之间

时，AP最短（如图6）。

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°。

∵在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，

又∵AB=4，BO=3，∴AO=5，

∴AP=AO-PO=5-3=2。

【点评】“90°的圆周角所对的弦是直径”，因此当角的度数为定值90°时，我们可以想到可能存在圆。这从本质上看，还是源于圆的集合定义。因为根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可知直角三角形的直角顶点一定在以斜边为直径的圆上，可以构造辅助圆来解决问题。审题的关键是寻找到直角和定斜边，那么直角顶点的运动轨迹是圆。

例3如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（3，0）、（33，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为。

【分析】因为∠ADB=60°，且∠ADB所对的边AB是一条定边，根据“同弧所对的圆周角相等”，可以将∠ADB看成是在以AB为弦的圆M中AB所对的圆周角（如图8）。点D的运动轨迹是圆M的一部分，CD的最小值就是点C与圆M上的点的最小距离。CD的最小值=CM-r，r是圆M的半径。

解：设∠ADB所在的圆的圆心为点M，根据同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半，可知∠AMB=120°。

过点M作MH⊥x轴于点H，由垂径定理可知∠AMH=12∠AMB=60°。

∵A（3，0）、B（33，0），

∴AB=23。

在Rt△AMH中，AH=3，∠AMH=60°，可得MH=1，AM=2，即r=2。当点C、M、D三点共线，且D在CM之间时（如图9），CD的长度最短。

过M作MN⊥y轴于点N。

∵在Rt△CNM中，CM2=CN2+NM2，

又∵CN=CO-NO=CO-MH=5-1=4，NM=OH=OA+AH=23，

∴CM=27，

∴CD的最小值为CM-r=27-2。

【点评】当角的度数确定，角所对的边是一条定边，根据“同弧所对的圆周角相等”，那么角的顶点的运动轨迹是圆。此时，角可以看成圆周角，定边是圆的一条弦，先利用同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，找到圆心的位置，再确定圆的半径，最终构造出辅助圆。审題的关键是找到有特殊角度的角，且角的对边是一定边，那么该角的顶点的运动轨迹是圆。当角的度数是90°时，其实是这类情形中的特殊情况，比如例2。

（作者单位：江苏省常州外国语学校）