一道椭圆中点弦问题的拓展与变式

王 凯

(甘肃省高台县第一中学，734300)

反思点差法是解析几何设而不求的常用解题方法.提炼上述解题过程,推广到圆锥曲线,不难得到如下拓展.

由结论1、结论2不难发现,在与椭圆或双曲线的中点弦相关问题中,中点弦所在直线的斜率、中点坐标、离心率这三个量中,已知其中两个量就可求出第三个量.由此,我们利用结论1、2就可以以点带面,迅速处理与中点弦相关的一类变式问题,有效避免题海战术,提高学习效益.下面以椭圆为例举例说明.

直线与圆锥曲线的相交位置关系中,往往能整合弦长公式、点到直线的距离公式、面积的表示,以及垂直、定值或最值等问题.与弦中点有关问题都可以用前面几种解法去尝试,体现设而不求、整体变换的思想,真正实现了代数与几何完美结合和化繁为简的目的.