初中生数学元认知水平常模的建立及其应用案例——以天津市为例

王光明，李 健，米 妍

一、引言

“学会学习”是联合国教科文组织提出的重要教育理念，教会学生学会学习是素质教育的重要目标。［1］学习能力培养是《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》的重要要求之一。学会学习、学习能力从一种单一的认知策略发展到一种整合情感、元认知、认知等在内的复杂的过程，尤其是数学元认知水平对学生学会学习、学习能力的培养具有重大影响。［2］由此，提升学生的数学元认知水平，不仅有助于学生数学素养的提升，且有助于学生数学学业成绩的提高。［3］［4］［5］

随着数学元认知研究的不断深入，研究的重心从理论转向实践，一系列测试工具相继被开发［6］［7］［8］［9］［10］，并均已产生一定学术影响。另外，一些基于数学元认知问卷讨论元认知与其它数学品质及素养关系的研究也不断出现。［11］［12］［13］［14］在这些测评研究中，主要集中于对数学元认知测评工具的编制以及相关的调查类研究，但缺乏相应的常模研究，造成对问卷调查结果解释缺乏衡量标准，以致测评工具的使用价值受限。因此，开展高质量数学元认知问卷的常模研究极为必要。

为提升问卷的实用性，拓宽不同使用者评价数学元认知的途径，研究基于《初中生数学元认知水平调查问卷》，建立数学元认知水平常模及其等级评价标准。研究内容包括：（1）建立天津市初中生数学元认知水平区域性常模；（2）根据建立的常模确定数学元认知水平等级标准；（3）应用常模进行案例分析。

二、研究方法

（一）测评工具

研究选取《初中生数学学习元认知水平调查问卷》为调查工具，该问卷共包含36个题项，其中测谎题有5题，用来筛选有效问卷，其它题目分布于数学元认知知识、体验和监控三个维度下属的十个子维度。问卷的编制过程严谨，针对性较强，具有较好信度和效度。［9］下面是数学元认知的内容结构和具体维度的操作性定义（见表1）。

（二）样本选取

测评工具确定好之后，接下来进行样本的选取。遵循样本具备代表性原则，选取天津市11个区共28所初中的1 460 名初一、初二学生进行问卷调查，回收问卷1 418份。再将回收问卷进行数据录入，根据录入的实际数据，利用观察法和测谎题剔除无效问卷，得到有效问卷1 317份，有效率92.90%。对数据进行描述性统计，得到样本服从正态分布，符合进一步研究的要求。

表1 . 数学元认知结构和各维度操作性定义

（三）常模建立过程

为了真实地反映不同学生元认知水平的差异，选择建立百分等级常模和标准分常模。其中，百分等级常模表达直观，易于理解；标准分常模使分数消除量纲，具备可比性。两种常模作为解释学生测验成绩的参考系共同使用，相互补充，两者结合完成整体测评。建立这两种常模的核心是对原始数据进行合理转化，另外，研究除了建立这两类常模，还在常模表的基础上进行等级水平划分，包括总体数学元认知等级水平和数学元认知知识、体验、监控主维度等级水平划分。下面是建立常模的具体过程(见图1)。

图1 常模建立过程图

先获得百分等级。基于原始数据进行顺序排列，依据频率统计获得百分比；再获得标准分。通过查找标准正态分布表，将上一步得到的百分等级看作标准正态分布曲线下的面积值，找到对应值，即正态化的标准Z 分数，实现原始分数到Z 分数的转换；再线性变换得到T 分数。为弥补Z 分数出现负数和小数带来处理上的不利，利用公式，实现Z分数到T分数的转换；最后划分等级。依据原则，将［-3，3］区间进行五等分，并依据公式，得到五个分数区间，对应五等级水平(见表2)。

表2 . 标准分与其对应等级表

三、研究结果

（一）数学元认知常模及水平等级标准

通过数据整理和分析，依据常模的构建方法建立初中生数学元认知水平常模（表略），及其对应的等级评价标准(见表3)。为了更精细地诊断学生的数学元认知水平，接下来将分别从三个主维度展开研究。

表3 . 数学元认知水平等级评价标准

（二）“知识”维度常模及其等级评价标准

首先依据常模构建方法，建立“知识”维度常模（表略）。其次，对“知识”维度进行水平划分，进而制定对应的等级评价标准(见表4)。最后，分别计算不同等级学生在“知识”维度下的“个体知识”“任务知识”“策略知识”等子维度上的平均分(见图2)。

表4 . “知识”维度等级评价标准

图2 “知识”维度下子维度T分数

根据问卷中“知识”维度下的操作定义和具体题目的内涵［10］，结合上述子维度的T分数柱状图，发现不同等级的学生有以下特点：优秀等级学生能够熟练掌握数学知识，明确学习任务、目标和要求，并灵活选择学习策略解决问题；中上等级学生能够较好地掌握数学知识，对自身学习能力、学习任务、目标和要求等认识到位，会运用学习策略解决数学问题；中等等级学生对大部分数学知识有清晰的认识，积累了一定的学习策略，对学习任务、目标认识一般；中下等级学生能够理解数学知识，对自身学习状况、学习任务、目标和要求没有清晰的认识，无法对学习策略进行灵活应用；差等级学生初步了解相应的数学知识，缺乏对自身学习状况、学习任务、目标和要求的认识，没有找到适合自己的学习策略。

（三）“体验”维度常模及其等级评价标准

首先依据常模构建方法，建立“体验”维度常模（表略）。其次，对“体验”维度进行水平划分，进而制定对应的等级评价标准(见表5)。最后，分别计算不同等级学生在“体验”维度下的“认知体验”“情感体验”子维度上的平均分(见图3)。

根据问卷中“体验”维度下的操作定义和具体题目的内涵［10］，结合上述子维度的T分数柱状图，发现不同等级的学生有以下特点：优秀等级的学生对数学知识和学习过程有积极丰富的感受，会将消极认知和情感加以克服或转化；中上等级学生在学习中有丰富的认知和情感体验，心态良好，有良好的自信心；中等等级学生对数学学习的内容与过程有基本的认知，在多数情况下能够引起积极的情感体验，有一定的数学学习自信心；中下等级学生能够感知学习的难易程度，偶尔能够克服困难，但容易产生焦虑，缺乏自信；差等级学生偶尔能够获得数学学习积极的认知和情感体验，但几乎不具备克服困难的意识。

表5 . “体验”维度等级评价标准

图3 “体验”维度下子维度T分数

（四）“监控”维度常模及其等级评价标准

首先依据常模构建方法，建立“监控”维度常模（表略）。其次，对“监控”维度进行水平划分，进而制定对应的等级评价标准(见表6)。最后，分别计算不同等级学生在“监控”维度下的“计划”“调节”“评价”“检验”“管理”子维度上的平均分(见图4)。

根据问卷中“监控”维度下的操作定义和具体题目的内涵［10］，结合上述子维度的T分数柱状图，发现不同等级的学生有以下特点：优秀等级学生能够合理制定学习计划、调整学习方法，检验并评价学习成果，记忆一些解题技巧；中上等级学生在遇到问题时会及时调整学习策略，习惯性反思和评价自己的学习过程和成果；中等等级学生有良好的对问题检验的习惯，会选择一定的手段对学习结果进行评价；中下等级学生在元认知监控五个层面上都表现较差，尤其无法对学习方法进行调节，无法对整个学习客观地做出反思与检验；差等级学生基本不具备元认知监控能力，无法对学习进程进行监控与调节，不会对学习结果进行反思与客观评价。

表6 . “监控”维度等级评价标准

图4 “监控”维度下子维度T分数

四、应用案例

研究对天津市某中学初二年级一个普通班的学生进行数学元认知水平问卷调查，从班级测评和个体测评两个角度进行诊断分析，并针对结果给出改善建议。

（一）班级应用案例

1.被试班级数学元认知水平诊断分析

本次测试共45 名学生参与，有效数据42 份，有效率93.3%。被试班级总体数学元认知原始平均分为98.12，所处的百分等级为66，表明该班超过了全市66%的初中生，将其与表3 对照，可知被试班级的数学元认知处于全市“中等”水平。被试群体的数学元认知各维度T分数为：34.76（元认知知识）、24.02（元认知体验）、36.55（元认知监控），以下将从三个主维度入手，对被试班级作进一步诊断分析。

绘制主维度T 分数雷达图（见图5），发现：该班级学生在知识和体验维度上均远高于全市中等水平，特别是元认知体验维度存在明显的优势，而在元认知监控上比全市中等学生水平略低，三个维度均低于全市中上等水平，说明学生的元认知监控水平亟待提高，元认知知识水平有待进一步改善，元认知体验水平要予以保持并期待更高水平。为了找到确切“病因”，对较为薄弱的数学元认知监控水平作进一步诊断，绘制监控子维度雷达图（见图6），发现：学生在调节维度上明显高于全市整体水平，在计划和管理维度上与全市整体水平基本持平，在检验和评价维度上明显低于天津市整体水平。

图5 班级与全市元认知主维度对比图

图6 班级与全市中等水平监控维度对比图

通过以上由浅至深的诊断，得出诊断结果：以提高评价和检验监控能力为重点，普遍增进学生的计划和管理监控能力，关注个别调节维度在中下等及差等级的学生。需要说明的是，除了对“最薄弱”的维度进行深入诊断，还需对其它元认知维度进行水平诊断，以期使学生在数学元认知各个维度上都能有更好的发展。

2.被试班级数学元认知水平改进建议

在班级诊断结果的基础上，针对比较薄弱的“检验”和“评价”子维度提出改善建议。关于评价能力的提升，教师需要培养学生养成反思的习惯，包括对知识的掌握和对数学思想方法的领悟。如在课堂教学中，学生可以利用自评表对该堂课内容的掌握情况进行评价，自评表的问题可以以问题链的形式［15］，如“该堂课有哪些知识点——我已掌握了哪些知识——有哪些知识是我不太明白的——不明白的原因是什么——采取什么补救措施”，或者学习者通过反思具体数学知识的学习过程，对其中蕴含的数学思想方法内省和洞察。［16］关于检验能力的提升：学生可以列出日或周任务清单，每完成一项进行标识，对完成的程度作星级标识；或者学生之间互相检查、评价各自问题解题步骤的环节。

（二）个体应用案例

1.被试个体情况数学元认知水平诊断

根据该班数学老师的建议，在征得学生同意的前提下，选择一名数学学习努力但数学成绩并不理想的学生作为研究对象。该生数学元认知水平的整体原始平均分为108，对照表3 可知其处于全市初中生“中上等”水平。继续对各子维度作进一步诊断分析，统计得出数学元认知水平各维度T分数分别为：52.24（个体知识）、50.12（任务知识）、48.62（策略知识）、53.40（认知体验）、54.83（情感体验）、50.33（计划监控）、53.19（调节监控）、43.52（评价监控）、45.57（检验监控）、49.20（管理监控），结合表4——表6中的数据分析可知：元认知知识水平为“中上等”水平，元认知体验和监控均处于“中等”水平。由此可见，该生有丰富的数学元认知知识，但数学元认知体验和监控水平略显不足。继续对该生在体验和监控维度上的表现进行分析（见图7和图8）。

图7 个体与全市中等水平体验维度对比

图8 个体与全市中等水平监控维度对比

由图7可知，该生的元认知认知体验和情感体验虽都优于全市中等水平学生，但未达到中上等水平；在计划维度和管理子维度上高于全市中等水平学生，调节和检验子维度与全市中等水平相当，但是在评价维度上处于劣势。综上，需要采取一定的措施去帮助该生改善认知体验、情感体验及评价子维度这三个方面。

2.被试个体数学元认知水平改进建议

根据诊断结果，该生的评价子维度尤其偏低，是需要关注的元认知能力提升的一方面。前文已阐述，不再赘述。针对体验维度的两方面提出改善建议。关于认知体验能力的提升：学生在数学解题时，学会对题目的难易程度和熟悉程度进行判断，并能运用已有的知识与经验找到解题的突破口。比如利用：“我以前见过它吗？我见过同样的题目但以不同的形式出现过吗？”“直接解求完整答案有困难怎么办呢”这种自我提示语加深对题目的感知，调动解题思维活动。关于情感能力的提升，教师可采用启发式追问［17］，因势利导，带领学生攻克知识难点，获得成功体验；学生要养成自己纠正错误的好习惯，亲身经历认知冲突，获得更高层次的数学理解。

五、讨论

和现有的高中数学元认知水平常模［9］相比，本文在数学元认知的“等级评价表”、元认知的“改善建议”等方面作了改进：在数学元认知的“等级评价表”中，研究在元认知各子维度等级特点描述上注重突出动词，和高中常模刻画等级特点突出表现程度相比，元认知等级特点更鲜明，施测者更容易把握训练方向；在元认知的“改善建议”中，研究打破了从数学元认知三个主维度的不同等级水平进行建议的模式，针对主维度下的十个子维度的内容提出具体可行的元认知实施建议，使元认知的诊断和改善更具针对性。

研究在以上方面做了改善，但建立的常模属于天津市这一区域性常模，存在区域性特征，因此扩大研究范围，建立全国初中生数学元认知常模是未来研究的方向之一；另外，受地域教育水平和政策的影响，所建常模具有“保质期”，存在时效性特征，适时根据地区的教育状况和学生发展变化修订数学元认知水平的常模，仍是需要今后定期关注研究。

六、结论

初中生数学元认知常模的建立，拓宽了初中生数学元认知的实践研究领域，为学生数学元认知水平的评价提供了定量标准。百分等级常模和标准分常模的建立，避开了根据原始分数直接评价学生的弊端，使得评价更具参考性。“一个总体、三个主维度、十个子维度”常模表的构建，以及相应评价标准的确立，方便使用者准确归因。研究还对不同维度水平不足的学生提出改善建议，参考更具针对性。