考虑黏结-滑移效应的FRP筋混凝土受弯构件裂缝宽度计算方法

郭盛, 陈倓, 涂建维

(1.中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北 武汉 430063; 2.武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室,湖北 武汉430070)

纤维增强聚合物(Fiber-Reinforced Polymer,FRP)筋具有优异的抗腐蚀性能,以之代替钢筋可用来解决腐蚀环境下钢筋混凝土的钢筋锈蚀问题。FRP筋的低弹性模量会导致混凝土受弯构件产生较大的变形；因此，FRP筋混凝土结构的设计往往受正常使用极限状态下变形的控制,而FRP筋与混凝土的黏结性能相比钢筋较差[1]。因此,在对FRP筋混凝土受弯构件进行裂缝计算时,势必要考虑黏结-滑移效应的影响。针对钢筋混凝土受弯构件,国内外已开展了较多的研究。OLIVEIRA R S等[2]提出了梁间分层模型,通过在单元域中加入连续滑移函数以考虑黏结-滑移效应的影响,实现了对钢筋混凝土梁变形的精细计算;OH B H等[3]用幂函数近似模拟黏结应力和滑移的关系,将黏结-滑移关系纳入裂缝宽度分析模型中,建立了钢筋混凝土梁裂缝宽度分析模型。而针对FRP筋混凝土受弯构件裂缝宽度计算的研究仍以经验公式拟合为主[4],鲜有学者从精细数值分析的角度研究其裂缝开展。本文基于黏结-滑移效应建立了FRP筋混凝土梁裂缝宽度计算数值模型,以期合理地计算FRP筋混凝土受弯构件在正常使用极限状态下的裂缝宽度,并将计算结果与试验值和按规范GB 50608—2010中公式[5]的计算值进行对比,验证数值计算模型的合理性。

1 黏结-滑移理论

我国规范GB 50608—2010[5]以及欧洲规范CEB-FIP 2010[6]中裂缝宽度计算公式的建立都是基于黏结-滑移理论,明确引入了黏结-滑移关系,可以直接反映混凝土的拉伸硬化效应。图1为按照黏结-滑移理论计算裂缝宽度的示意图。图中：wm为平均裂缝宽度;εs(x)和εct(x)分别为位置x处的纵筋应变和混凝土拉应变。

由图1可以看出,黏结应力将纵筋的部分应力传递给周边混凝土而引起两裂缝之间的纵筋的应变减小[7]。当构件第一批裂缝出现后,结构发生应力重分布,在裂缝处,拉应力仅由纵筋承担,受拉区混凝土退出工作状态。由于黏结-滑移效应,在未开裂截面处,部分纵筋承担的拉应力由黏结应力传递给混凝土。从裂缝截面处到混凝土中黏结传递应力达到抗拉强度的截面的距离称为传递长度ltr。显然,两条相邻裂缝的最大间距应为2ltr,故平均裂缝间距lm=1.5ltr。按照黏结-滑移理论,裂缝宽度等于裂缝间距范围内纵筋和混凝土的变形差,即裂缝间距内纵筋平均应变与混凝土平均应变之差:

(1)

由上式可看出,平均裂缝间距lm的取值对平均裂缝宽度的计算有较大影响。本文中,裂缝间距采用我国规范GB 50608—2010[5]推荐的半经验公式计算:

(2)

式中:c为混凝土保护层厚度,mm;deq为受拉区纵向FRP筋的等效直径,mm;ρte为按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉FRP筋的配筋率;di为受拉区第i种纵向FRP筋的公称直径,mm;ni为受拉区第i种纵向FRP筋的根数;vi为受拉区纵向FRP筋的相对黏结特性系数。

国内外有关FRP筋表面处理的试验研究尚不充分,还未形成统一的标准。目前,我国规范GB 50608—2010[5]中并未明确给出相对黏结特性系数v的具体取值,仅规定根据FRP筋表面特性的不同,参考试验数据取值,并建议在无试验数据时,v取0.7。故本文中取v=0.7。

2 数值计算模型的建立

2.1 基本假设

基于黏结-滑移效应建立FRP筋混凝土梁裂缝宽度计算的数值模型,基于以下假设:

1)平截面假定;

2)不考虑长期效应的影响;

3)忽略剪切变形对构件变形的影响;

4)不考虑受压区纵筋的贡献。

2.2 材料本构关系

1)混凝土的受压和受拉应力-应变本构关系模型采用欧洲规范CEB-FIP 2010[6]建议的模型。

2)FRP筋采用线弹性应力-应变本构关系。

3)黏结-滑移本构关系。欧洲规范CEB-FIP 2010[6]中给出的黏结应力-滑移本构模型,见公式(3)，并如图2所示。

(3)

式中:τ为黏结强度;s为τ对应的滑移量;τmax为峰值黏结强度;s1为τmax对应的滑移量;α、s2、s3由试验确定,取决于黏结条件和混凝土强度等。

2.3 截面分析

以FRP筋混凝土矩形受弯梁构件为例进行分析,根据裂缝的开展位置将整根梁划分为若干个分析母单元lcr,i;再将分析母单元等分为n个子单元,即形成n+1个截面;对开裂处截面1-1和任意未开裂处截面2-2进行分析,如图3所示。图中:Mk为弯矩;b为试验梁构件的宽度;h为构件的高度;h0为构件的有效高度;as为纵筋中心到截面边缘的距离;dc为混凝土受压区高度;σc、εc分别为混凝土的压应力、压应变;σs、εs分别为纵筋的拉应力、拉应变;σct、εct分别为混凝土的拉应力、拉应变。

图3 截面应力-应变分布示意图

两条相邻裂缝之间的部分为一个分析单元,每个分析单元可根据精度要求分成若干个截面,每个微段长度为Δx,每个截面可建立力和力矩的平衡方程:

(4)

(5)

式中:Ac为受压区混凝土面积;At为受拉区混凝土面积;As为受拉纵筋总面积;k为受拉纵筋的根数;M(x)为截面外加弯矩。

此外,由FRP筋与混凝土间的黏结-滑移关系,可建立如下的变形协调方程:

(6)

考虑单个FRP筋微元的受力平衡,可建立筋材应力σs与黏结应力τb之间的表达式:

Asdσs(x)=πdτb(x)dx。

(7)

(8)

(9)

式中:上标(i)表示第i次迭代,变量含义同前文;d为纵筋直径;τb,j为j截面处的平均黏结应力;Δx为两个相邻截面间的微段长度。

各截面的应力-应变状态可以用3个参数来表示:①混凝土受压区高度dc;②混凝土受拉区纵筋拉应变εs;③混凝土受拉区边缘混凝土拉应变εct。而方程(4)、(5)和(8)的解并不直观,黏结应力τb,j的大小与受拉区的纵筋应变εs和混凝土拉应变εct有关。因此,必须采用数值迭代求解的方法对截面进行分析,并假设方程中一个未知参数的初始值。

2.4 数值求解

对于四点受弯的FRP筋混凝土简支梁,其最大裂缝一般出现在纯弯区。本文取平均裂缝间距为1个分析母单元的长度,基于该母单元分析即可得出考虑黏结-滑移效应的FRP筋混凝土梁纯弯区的平均裂缝宽度。而纯弯区弯矩处处相同,因此于纯弯区中任取两个相邻裂缝间的一个母单元进行分析即可。

对于一个给定的FRP筋混凝土梁,已知其截面大小、配筋状况等,在一个给定的外荷载P下,该梁的平均裂缝宽度的数值计算迭代过程如图4所示。

图4所示的迭代过程具体按以下步骤执行,可采用MATLAB软件进行编程实现。

步骤1:由给定梁的基本参数计算平均裂缝间距,从而得到所要分析的母单元的长度,将母单元均分为n份(本文选定n=100,精度即可满足要求),微段长度为Δx。

步骤2:开裂截面处受拉区混凝土的应变εct,0=0,从而由式(4)和(5)计算开裂截面处的初始纵筋拉应变εs,0和拉应力σs,0等。

图4 FRP筋混凝土梁平均裂缝宽度数值模型迭代示意图

步骤3:假设开裂截面处的滑移量初始值为s0,并由黏结-滑移本构计算对应的黏结应力τ0。

步骤4:已知上一截面i处的纵筋拉应力σs,i和黏结应力τb,i,由式(8)计算i+1截面的纵筋拉应力σs,i+1，并通过FRP筋应力-应变关系，得到相应的拉应变εs,i+1。

步骤5:由式(4)和(5)计算截面i+1处的受压区混凝土压应力σc,i+1和受拉区混凝土拉应力σct,i+1。

步骤6:由式(9)计算截面i+1处的滑移量si+1,并得到黏结应力τi+1。

步骤7:重复步骤4至步骤6直到i+1=n/2,判断式(10)是否成立。若成立,则退出循环,由式(11)计算平均裂缝宽度;反之,改变s0,重复步骤4至步骤7。

sn/2≈0,

(10)

(11)

式中sn/2为母单元中点处的滑移量。

3 模型适用性的校核

由于采用按我国规范GB 50608—2010[5]推荐的平均裂缝间距公式计算的裂缝间距作为计算裂缝宽度时的一个母单元长度,因而应该选取使FRP筋混凝土梁裂缝发展较为充分和稳定的荷载进行验算。国内外学者经过试验分析认为,对于FRP筋混凝土梁而言,可保守地选择0.3Mu作为正常使用极限状态进行验算(Mu为极限弯矩)。本文选择0.5Mu左右进行验算。这时裂缝发展比较充分,裂缝间距已相对稳定,用我国规范GB 50608—2010[5]中公式计算裂缝间距进而计算裂缝宽度则比较合理。

3.1 两种黏结-滑移本构对比

将上述两种本构分别代入数值模型中进行计算,并与文献[8]中采用箍筋约束的FRP梁四点受弯试验的结果进行对比,结果如图5所示。

图5 两种本构计算结果对比

由图5可看出,基于两种本构的计算结果差异较大。采用约束良好、黏结性能一般的本构时,计算结果与试验值的吻合度较好,程序预测平均裂缝宽度与试验实测平均裂缝宽度之比的均值为0.97,优于采用约束良好、黏结性能良好本构时的均值0.73。可见,选取不同黏结本构参数对裂缝宽度的计算有较大影响。目前,国内外相关FRP筋的规范中,缺乏有关详细划分各类FRP筋黏结本构参数取值的内容。因此,本文根据图5及分析结果选择欧洲规范CEB-FIP 2010[6]中约束良好、黏结性能一般条件下的拔出破坏本构参数值进行后续数值模型计算。

3.2 预测值与规范计算值对比

我国规范GB 50608—2010[5]中规定FRP筋混凝土受弯构件按荷载效应标准组合并计入长期作用影响的最大裂缝宽度wmax,应按下列公式计算:

(12)

(13)

(14)

式中:ψ为裂缝间纵向受拉FRP筋的应变不均匀系数;σfk为荷载效应组合下FRP筋的应力;Ef为FRP筋的弹性模量;ftk为混凝土轴心抗拉强度标准值;参数具体取值及计算参见我国规范GB 50608—2010[5]。

2017年,东南大学董志强等[4]针对我国规范GB 50608—2010中最大裂缝宽度计算公式及其参数取值未经过试验数据校核等问题,基于收集的FRP筋混凝土梁的试验结果,对规范GB 50608—2010中的裂缝宽度计算公式进行了全面的校核和修订:

1)相对黏结特性系数v建议取1.0;

2)裂缝间纵向受拉FRP筋应变不均匀系数ψ建议按式(15)计算，

(15)

3)裂缝间混凝土伸长对裂缝开展宽度的影响系数αc建议从0.85改为0.80等。下文简称董志强等修正后的裂缝宽度计算公式为“修正规范”。

本文选取文献[8-9]中有关FRP筋混凝土梁平均裂缝宽度的系列试验结果进行数值模型预测,并以试验的实测值为基准,对比分析数值模型的预测值,按我国规范GB 50608—2010的计算值及按董志强等[4]修正规范的计算值,结果如图6所示。

图6 计算结果对比图

由图6可以看出,数值模型的应用效果非常理想,程序预测平均裂缝宽度与试验实测平均裂缝宽度之比的均值为0.92,具有较高的精确度;按董志强修正规范、规范GB 50608—2010计算的平均裂缝宽度与实测平均裂缝宽度之比的均值分别为1.20和1.31,按董志强修正规范的计算公式得出的结果更为准确,也更为经济。同时,从另一方面也可以看出:规范GB 50608—2010中关于平均裂缝宽度的计算方法较为保守,而本文数值模型的计算结果更为准确,但偏激进,在实际工程中应用数值模型计算裂缝宽度时可以考虑乘以1.1的放大系数。

4 结语

1)基于黏结-滑移理论,建立了FRP筋混凝土梁构件受力裂缝宽度计算的数值模型,并通过MATLAB软件编程进行实现,为FRP筋混凝土受弯构件裂缝计算提供了一种有效的分析方法。

2)对数值模型及我国规范GB 50608—2010、董志强修正规范的计算方法进行了验证,结果表明,数值模型的预测结果与试验结果较符合,说明采用数值计算模型分析受力裂缝是可行的,且具有较高的精确度。

3)黏结模型本构参数的选取对裂缝宽度计算结果的影响较大。目前，国内外有关FRP筋的规范中尚无详细划分各类FRP筋黏结本构参数取值的内容,只能相对笼统地取值,这方面有待进一步研究。