关于对偶对的Gorenstein平坦模及其维数

2020-09-02何东林

四川轻化工大学学报(自然科学版) 2020年4期

关键词：陇南对偶维数

何东林，樊亮

(陇南师范高等专科学校数信学院, 甘肃陇南 742500)

引言

1 定义和引理

设x是一个左R-模类,y是一个右R-模类，M为任意左R-模。

定义1[12]称M是Gorenstein (x,y)-平坦模，如果存在左R-模正合列

X:…→X1→X0→X0→X1→…，

用GF(x,y)表示所有Gorenstein (x,y)-平坦模组成的类。

例1(1)对任意X∈x，有X∈GF(x,y)。

(2)正合列X的每个核、像及余核均是Gorenstein (x,y)-平坦模。

(3)如果x是平坦左R-模类F(R)，y是内射右R-模类I(R)，则Gorenstein (x,y)-平坦模就是Gorenstein-平坦模。

(4)如果x是平坦左R-模类F(R)，那么Gorenstein (x,y)-平坦模与Gorensteiny-平坦模一致。

引理1[12]设GF(x,y)关于扩张封闭，则以下条件等价：

定义2[12]称(x,y)是一个对偶对，如果满足以下条件：

(1)X∈x当且仅当X+∈y，其中X+=HomR(X,Q/Z)。

(2)y关于直和因子和有限直和封闭。

进而，称对偶对(x,y)是完备的，如果R∈x且x关于扩张及直和因子封闭。

引理2[14]如果(x,y)是一个完全对偶对，那么F(R)⊆x且I(R)⊆y。

例2(1)(Fn,In)是一个完备对偶对，其中Fn是平坦维数不超过n的左R-模组成的类，In是平坦维数不超过n的右R-模组成的类。

(2) (Fn,FIn)是一个完备对偶对，其中Fn是FP-内射维数不超过n的右R-模组成的类。

(1)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(3)存在左R-模正合列0→M→X→G→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。

引理4设w是x的余生成子且v是y的生成子,x和y关于扩张封闭，0→M′→M→M″→0是R-模正合列，则以下说法成立：

证明由文献[12]中命题3.1易证。

2 主要结果

命题2设(x,y)是一个完全对偶对，则以下条件等价：

(i)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(v)存在左R-模正合列0→M→X′→G′→0，其中X′∈x且G′∈GF(x,y)。

证明(i)⟺(ii)⟺(v)由引理3易证。

(i)⟹(iv)设M是Gorenstein (x,y)-平坦模，则由定义1知存在左R-模正合列

(1)

定理1设(x,y)是一个完全对偶对，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，则

(i)如果U,W∈GF(x,y)，那么V∈GF(x,y)。

(iii)如果V,W∈GF(x,y)，那么U∈GF(x,y)。

证明(i)设U,W∈GF(x,y)。因为GF(x,y)是投射可解的，由文献[12]中命题2.12知，GF(x,y)关于扩张封闭，所以V∈GF(x,y)。

(iii)设V,W∈GF(x,y)。由V是Gorenstein (x,y)-平坦模及命题2可知，存在正合列0→G→X→V→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。构造拉回图，如图1所示。

图1 U→V与X→V的拉回图

(2)

定理2设(x,y)是一个完全对偶对，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，则

(i)如果V∈GF(x,y)，那么GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1。

(ii)如果U∈GF(x,y)，那么GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

证明(i)设V∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞，则GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1显然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞，不妨设x-GF(x,y)-pd(U)=n，则存在长度为n的正合列

0→Gn→…→G1→G0→U→0

(3)

其中Gi∈GF(x,y)(i=0,1,…,n)。将式(3)与(ε)拼接可得正合列

0→Gn→…→G1→G0→V→W→0

(4)

其中Gi∈GF(x,y)且V∈GF(x,y)。从而GF(x,y)-pd(W)≤n+1 =GF(x,y)-pd(U)+1。

(ii)设U∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(W)=+∞，则不等式显然成立。若GF(x,y)-pd(W)<+∞，不妨设GF(x,y)-pd(W)=m，由文献[12]中定理2.16知，存在正合列0→K0→X0→W→0，其中X0∈x且GF(x,y)-pd(K0)=m-1。构造拉回图,如图2所示。

图2 V→W与X0→W的拉回图

在中间行正合列0→U→H→X0→0中，U,X0∈GF(x,y)且GF(x,y)关于扩张封闭，可见H∈GF(x,y)。又因为图2中间列正合列0→K0→H→V→0中，GF(x,y)-pd(K0)=m-1，所以GF(x,y)-pd(V)≤m-1+1=m，即GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

定理3设(x,y)是一个完全对偶对，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，如果W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合，那么GF(x,y)-pd(U)=GF(x,y)-pd(V)。

证明设W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合。

先证不等式GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。若GF(x,y)-pd(V)=+∞，则不等式显然成立。若GF(x,y)-pd(V)<+∞，不妨设GF(x,y)-pd(V)=n。当n=0时，V是Gorenstein (x,y)-平坦模。由W∈GF(x,y)及定理1可知，U∈GF(x,y)。可见GF(x,y)-pd(U)=0≤GF(x,y)-pd(V)，不等式成立。当n≥0时，存在长度为n的正合列

0→Gn→Xn-1→…→X1→X0→V→0

(5)

其中Xi∈x且Gn∈GF(x,y)。令K0=Ker(X0→V)，显然GF(x,y)-pd(K0)=n-1。构造拉回图,如图3所示。

图3 U→V与X0→V的拉回图

在正合列0→H→X0→W→0中，X0∈x且W∈GF(x,y)，由命题1可得H∈GF(x,y)。考虑图3中第一列正合列0→K0→H→U→0，因为GF(x,y)-pd(K0)=n-1且H∈GF(x,y)，所以GF(x,y)-pd(U)≤n-1+1=n，即GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。

再证GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(U)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞，则不等式显然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞，不妨设GF(x,y)-pd(U)=m。对m用数学归纳法，当m=0时，由GF(x,y)关于扩张封闭易知GF(x,y)-pd(V)=0，可见结论成立。假设结论对于m-1成立，下面讨论对于m的情形。由文献[12]中定理2.16知，存在长度为m的正合列

(6)