数学画：儿童数学理解的创造性表达

杨雅军，范林伟

（浙江省嘉善县实验小学，浙江师范大学附属嘉善实验学校）

数学画作为一种形象、直观的思维表达形式，是儿童理解数学的一种重要表达方式。学生借助图文的形式能够将自身对数学概念、公式、运算法则、解题过程等的认识个性化地表达出来，真实地反映出他们对数学知识与技能、数学思想与方法的理解水平。实践表明，数学画在强化学生的数学理解，启发他们发现解决问题的思路，帮助他们实现自我评价等方面有着独特的促进作用。

一、数学画的构成要素与特征

数学画是学生基于某一学习内容或学习主题而绘制的，能够表现其自身对该知识（方法）的数学理解水平的一种图画形式。数学画主要由图画、文字、数据三大要素构成，有时也会掺入符号、标记等辅助要素。其中，图画重在有序描述和呈现数学情境以及思维发生、发展的过程；文字重在表达条件、问题与辅助性说明等信息；数据特指问题中的原始数据或者学生解决问题时分析、运用的数据。此外，符号如箭头、括号、连接线、夸张性标点等，这些标记通常表示事情发展、思维过程的先后顺序或个性化提示等。

数学画最大的特征是儿童化，这是由儿童所处的生活背景、拥有的生活经验与对数学的个性理解所决定的。因此，学生在画数学画的过程中，常会根据自己的兴趣爱好、所见所闻、所想所感来描绘自己对数学知识的认识与理解。数学画尤为重视将数学本质作为图画的核心内容。换而言之，学生所画的内容必须突出数学思考的过程与结果，画面既要表征问题中的各类关键信息与问题，又要展现自己的数学化理解。数学画强调画面主题鲜明、重点突出，常含有具体形象的背景、事件来衬托自己的数学思考与运用过程。一般地，数学画的形式较为多样，包含以上三个构成要素，能清晰地表达自身的想法即可。当然，相比之下，低年级的数学画趣味性更强，学生更喜欢以故事的情节来表达自己的想法。

除了含有图画、文字、数据三个基本要素之外，画面布局美观、图文一致、语句通俗易懂则是一幅合格的数学画的基本标准。画面的主体内容（数学概念、数学问题等）是否呈现探究性、数学思考是否具有深刻性与灵活性、画面场景是否生动有趣则是评判一幅数学画作品优劣的重要标准。

二、数学画的教学过程

刚接触数学画的时候，我们常常思考数学画应该是什么样的，数学画可以画什么，又该怎么画，有没有评价的标准或画图的要求，等等。随着实践的深入，我们渐渐地对数学画有了清晰的认识：数学画可以理解为儿童用自己的方式形象、具体地认识、理解和表达数学的一种形式。它不仅能展现学生对数学知识的理解程度，还能暴露他们数学思考过程的不足，使之为教师提供教学诊断的依据。教学中，我们应当帮助学生养成用数学画来表达数学思考过程的习惯，使他们逐步形成数学画的创作能力。

(一)由此及彼，熟悉数学画的构成

数学画的表达往往图文并茂，主体鲜明而突出，知识点清晰而透彻，思考过程有序而完整。因此，学生在使用数学画表示自己的数学理解时，需要准确地将数学思考的过程尽可能清晰地画出来，确保在图画中能同时呈现过程与结果，并且能够将图、文、数实现一一对应的表达，而不是简单地进行知识点的梳理或总结。

如三年级学生在理解有余数除法的意义时就绘制了这样的数学画：有13个橘子；每6个为一组；两袋加起来有12个；还剩下一个。（如图1）它不仅展示了“有13个橘子，每6个一袋，能分2袋，还剩下1个”的结果，而且还结合画圈、装袋的图示展现了一步一步分橘子的过程。此外，学生还对竖式中每个数字的含义用文字作出了具体的说明。这幅数学画充分地展示了图、文、数、式的完美融合，将数学理解的动作表征、图像表征、符号表征表现地淋漓尽致。

图1

因此，在数学画教学的初期，我们往往以数学概念、运算的意义或法则的理解等作为教学的支点，组织学生运用数学画将自己的理解画出来。期间，我们特别重视引导学生完整地将概念、运算或法则中描述的人物或事物形象（图画主体）、数量（关键数据）和文字（概念要点、条件或问题信息）表达出来，从而使学生学会由此及彼，慢慢地在不同的创作过程中理解数学画的构成和具体含义。

（二）主题推进，感受数学画的价值

数学画是儿童认识数学世界的一种具体表现，它既不是用图画效果来描绘知识点的多少，也不是简单地罗列或呈现所学过的数学知识，而应当绘制出该知识是怎样发生、发展与运用的，或者自己是如何解决某一数学问题的，其过程与结果是怎样发展的。而且，我们认为，数学画需要一定的背景作为支撑，过早地脱离现实、实物或图形的数学画不能全面的呈现学生的理解水平或精准地展示他们对重点、难点的理解程度。因此，我们经常借助主题式创作来强化学生对数学画的功能及价值的感悟，使他们从不同的作品中感受自己的数学理解水平及可能存在的不足。

四年级学生在学习了“公顷和平方千米”之后，以“我心中的大面积来啦”为主题进行数学画创作，以此强化他们关于公顷和平方千米的数感与量感。学生用边长为100米的运动场的面积来描述1公顷的大小，然后借助100个运动场来描述1平方千米的大小。（如图2）如此生动，如此贴合学生的生活，真实地表达了他们对大面积单位的理解。

图2

（三）融入故事，体会数学画的创作乐趣

学生在初学数学画的时候常伴有模仿教材或教师的实例的痕迹，但随着认识的深入，他们的数学画的水平会逐步地从模仿阶段过渡到创作阶段。学生能够较为自由地、熟练地选取现实生活中的或童话世界中的对象来展示自己对知识的理解，天真烂漫地来表达出独到的见解。如在三年级教学完面积之后，我们安排了一次以“你心中的面积长什么样”为主题的数学画创作活动，组织学生画出自己对面积的理解。

图3学生的数学画说明：这是我最喜欢的早餐——烤面包片。首先，我在面包片的表面涂满草莓酱。这就是面包片的面积。然后，我又在面包片的四周涂上一圈蓝莓酱。这就是面包片的周长。这么好看又好香的面包片，爸爸也想吃。于是，我把面包片分成了两块。我吃了左边那块，把大的那块给爸爸。

两块周长一样，但面积不一样。学生结合日常生活，巧妙地借助具体实物和直观图形的支撑，以“面包的面积与周长”的故事的形式展现了自己对面积的深刻理解。这幅数学画不仅形象地借助涂草莓酱和蓝莓酱说明了面积与周长的现实含义，还通过切面包片直观地将不规则图形的周长与面积展示在大家面前，还借此说明了面积与周长之间的区别与联系。

图3

我们发现，这幅数学画的表达图文并茂，主体内容鲜明而突出，知识表达具体、清晰而透彻，故事化的表达方式有层次、有逻辑，这使其更具儿童色彩、饱含趣味性。而且，它又不失数学本真，生动地揭示了面积的生活意义及其与周长之间的数学联系。在交流中，全班学生都被这位学生的数学创造所折服，感叹于她的创造性思考与趣味化表达，也使她充分体会了数学画创作所带来的乐趣与自信。

三、数学画的教学建议

数学画的创作与教学对学生理解数学概念、运算意义及其法则、区分不同概念之间的联系与区别，获取解决问题的思路，发展数学关键能力等有着积极的促进作用。但是，在日常实施中还需要注意一些问题，比如，数学画主题不够聚焦，未能清晰地展现知识的形成与运用过程；数学画知识点过多，以致于无法全面展示思维的细节部分与关键之处；何时能够利用数学画来巩固学习成果等。

（一）明确创作主题，聚焦核心知识

在创作数学画时，教师应当组织学生充分讨论本期的创作主题、内容、基本形式和画面布局等，进而保证所选择的背景、事物主体能与核心知识相统一，从而保障作品显得富有整体感与完整性，促使学生利用更加丰富的方式来突出核心知识的生长过程。

（二）突出思考路径，呈现思维过程

尤其是在数学画教学初期，教师要特别注意引导学生将自己是如何从头到尾思考并解决某个问题的过程有序地利用“一件例子”或“一个故事”来清楚地放大自己的理解。

（三）选择创作时机，发挥数学画的教学功能

我们常常将数学画安排在课后巩固、单元复习或拓展提升环节。如在单元复习时可以组织学生将已学的某一学习内容、学习心得或学习困惑绘制成一张数学画，以帮助自己实现自我诊断、知识巩固和思维提升，并借此强化自身的数学认知。

（四）鼓励多种样式，展现个性化理解

我们除了大力倡导学生要紧扣生活，尽量以实物、人物、生活事例来进行创作之外，还十分重视让学生结合故事、漫画、连环画的样式来连续地展示自己对知识点或知识结构的个性化理解。毕竟，童话也是学生理解数学的一种重要方式。

在具体教学中，教师需要为学生提供喜闻乐见的图画样式以供参考，并且与他们共同解读其他学生的创作经历与绘图步骤。如此，不仅能为学生提供具体的案例点评与指导，还能进一步加深他们对数学画的感性认识与理性认知，让学生在欣赏与被欣赏中感受数学画创作带来的自信与快乐。