完整岩石单轴抗压强度确定方法研究

薛东杰

(1.中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院，北京 100083；2.重庆大学 煤矿灾害动力学与控制国家重点实验室，重庆 400044；3.四川大学 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，四川 成都 610065)

岩石力学和工程中岩石与岩体的概念并未清晰量化，定性分析无法确定合理的不连续空隙尺寸下限。从“千里之堤毁于蚁穴”的跨尺度角度分析，岩石基质和孔裂隙尺度相当时影响较大，而基质尺度远大于孔裂隙时影响较小，尺度竞争影响着岩石或岩体强度。通常完整岩块内含相当尺度裂隙，可认为岩体，但反之并不容易定义完整岩石，因为无法绝对消除任何非连续空隙。地质尺度等宏观裂隙极易引起关注，而微观或更小尺度空隙更容易被忽略，而尺度界限取决于基于人类视角获得的工程经验，尚未进行科学量化界定，潜在核心问题是精准量化岩石中的“完整”。相当多研究成果把“完整岩石”都默认为标准连续圆柱体或立方体，而连续性在数学上的定义很清晰，但针对孔隙岩石其定义就涉及到表征单元体(representative elementary volume，REV)，但如何评价RVE的完整性，如何评价连续性假设的合理性等问题悬而未决。Hudson指出：“小块岩样可以看作完整岩石，而当岩样尺寸增加，包含的裂隙数量也相应地多起来”[1]。这段话内涵为裂隙多少或密度分布的问题，尚未涉及极限问题：有无裂隙甚至孔隙的问题。直接针对空隙进行几何评价，优点是其几何结构的空间性、拓扑性乃至基质的空间分布都有助于直接关联问题，缺点是需要极高精密的实验设备用于空间建模和有效地数学描述。

Hoek基于实践给出了不同于几何角度的观点，即基于力学认识认为完整岩块的单轴抗压强度可基于实验室小尺寸试件，但小到何种程度可定义为下限尺寸缺乏论证。常见完整性定义多基于常识判断，缺乏科学评价。之后，Hoek和Brown依据大量三轴试验数据，于1980年提出狭义Hoek-Brown强度准则(HB强度准则)，把脆性破坏等同为破坏准则，塑性破坏视为屈服准则[2-3]，公式为：

(1)

式中：σ1和σ3分别代表岩石峰值强度对应的最大和最小主应力；mb为岩石软硬程度，取值范围0.001～25；s为岩石破碎程度，取值范围0～1；σc为完整岩石的单轴抗压强度。这是首次基于公式形式涉及到完整岩石单轴抗压强度这一概念，但在更广泛的工程应用中并未引起足够的重视。相当多学者甚至Hoek本人均认为基于直径50 mm和高100 mm圆柱试样测定的单轴抗压强度可视为完整岩石强度，认为此种圆柱试样尺寸符合最小REV单元要求，这种观点缺乏依据。事实上，在HB强度准则中，参数s的定义为岩石破碎程度，即考虑了完整性，但只有s和σc出现在同一公式中，在统计意义上才会自洽。如何结合完整岩石强度统计平均破碎性尚缺乏探讨。针对同一样品，如何评价这两个参数的矛盾性非常重要，尤其是当前HB强度准则被广泛应用到工程实践中，更有必要厘清两个概念中涉及到的“完整性”定义。当围压满足σc=0，公式(1)变为：

(2)

s的取值范围0～1，式(2)存在关系：σ1≤σc。当s=1时，σ1=σc，即实测值等同于完整岩石单轴抗压强度σc，显然s=1意味着岩石的“完整”概念，此值越小完整性越差。Hoek给出了实例[4]，其中s=0.000 63，十分小，这种情况与完整圆柱统计是矛盾的，除非基于更小的尺度进行观察。

如何定义岩石破碎程度参数s，Hoek和Brown并未给出标准定义，而这一潜在关切也并未引起广泛而深入地探考。Hoek和Brown早期建议岩石破碎程度s依赖于岩体分级(rock mass rating，RMR)值[5-6]，后期建议其依赖于地质强度指标(geological strength index，GSI)，由此可见总体思路是首先室内拟合出完整岩石单轴抗压强度，然后利用工程尺度变量定义mb和s，最终实现室内试验与工程应用的结合。很显然第一步σc的准确界定至关重要，基于三轴试验数据，难以借鉴依赖工程尺度变量来定义s的方法。Hoek和Brown建议根据s=1拟合确定相关参数[4]：

(3)

(4)

(5)

问题仍然会聚焦在究竟什么样的试样可视为完整，如若一系列三轴试验样品都视为完整，拟合显然是多余的，其单轴抗压强度应该视为理想的，可见不能预作假设为前提。Hoek提出了修改的HB破坏准则[7]：

(6)

(7)

至此HB强度准则有了广为流传的形式，包含四个关键参数：一个为力学强度：完整岩石的单轴抗压强度σc；三个为材料常数：岩石软硬程度参数mb、岩石破碎程度参数s和暂无明确定义材料参数。为契合工程，三个材料常数均可根据经验确定，但正如前文所述，完整岩石单轴抗压强度σc的确定又需要借助三个材料参数，从而进入死循环，因而确定σc成为关键中的关键。

1 传统非线性描述方法

测试煤岩取自埋深约1 000 m工作面，加工为高100 mm，直径50 mm的标准圆柱。样品表面相对整齐，无裂隙或明显损伤可视为完整。利用MTS815岩石力学系统开展单轴与三轴测试，在围压0、3.96、10、15、20及25 MPa时测得的峰值强度分别为5.99、44.00、69.67、85.10、94.97及104.0 MPa[11]。图1为煤岩单轴、三轴抗压强度和围压的关系，非线性特征明显，若仅依赖试验数据，视为样品完整，即s=1，则存在σc=5.99 MPa，对比相关研究成果[12-13]，此值明显偏小，应为非理想状态下的完整岩石单轴抗压强度，这与完整性假设相矛盾。

图1 突破HB准则参数范围限制的σ1-σ3关系

(8)

由式(8)可知，预测围压0、3.96、10、15、20及25 MPa时煤岩峰值强度分别为6.47、39.87、67.60、82.68、95.39及106.6 MPa，预测结果与试验结果误差对应为8.01%、-9.39%、-2.97%、-2.84%、-0.44%和2.50%，围压小于5 MPa时，误差接近10%，偏大；围压大于5 MPa时，误差小于3%，尚可接受，可见HB强度准则在预测单轴或临近单轴状态煤岩强度时，偏差明显偏大，这正是完整性假设引起的。

公式(8)描述曲线延续绝大多数成果假设：a=0.5，但另两个参数值mb=49.68和s=3.1均明显大于Hoek和Brown给出的范围。

如若界定a=0.5，mb取值范围0.001～25，分s=1和s∈(0，1)两种情况进行讨论。

第一种情况适用于室内圆柱试样：

(9)

第二种情况适用于工程尺度研究：

(10)

图2针对岩石破碎程度参数s进行了对比，首先s=1和s∈(0，1)均符合传统HB准则描述范围，由此可见公式(1)针对同一组数据并不具备唯一的描述形式，如若采取更普适的HB准则公式(7)，材料参数a更不确定，更无法确定唯一的形式。另一方面，针对方程(1)，若视s为变量，很自然方程是可讨论的，但每一组甚至每一个样品的破碎程度均应视为是唯一的，除非s是基于一组样品，而非针对某一具体样品，其描述的是破碎程度的统计分布。则可得s=1和s∈(0，1)两种情况下对应围压0、3.96、10、15、20和25 MPa的强度分别为：11.17、39.04、64.01、80.68、95.56和109.30 MPa；6.55、38.28、63.94、80.90、96.00和109.90 MPa，两预测值之差为：4.62、0.70、0.08、-0.22、-0.43和-0.60 MPa。可见在HB强度准则参数界定范围内，除了完整岩石单轴抗压强度σc外，其余强度差别不大。尽管方程(9)和(10)形式不一致，但在高围压下强度偏差较小，可认为二者是等效的，最大差别仍然是单轴抗压强度σc，因此HB强度准则在σ3=0附近存在不确定性。

图2 传统HB准则下的σ1-σ3关系

2 新的线性描述方法

描述的本质是实现数学与力学意义上的统一，重点是在保证力学意义的前提下尽量提高拟合精度。传统方法主要是针对σ1和σ3或者(σ1-σ3)和σ3非线性关系进行描述，事实上，若不考虑单轴条件下试验数据，非线性拟合精度仍然很高，而一旦考虑完整岩石单轴抗压强度，拟合精度下降很快；若同时考虑完整岩石单轴抗拉强度σt，误差几乎无法接受，多数模型均是采取直接截断方法，由此可见，单轴条件与三轴条件必然存在着尚未关注的某些力学本质上的不同。将公式(1)改写成[11-12]：

(11)

(12)

公式(12)有三个参数，通常先主观确定σc值，取σc=5.99 MPa[11]，代入式(12)得：s=16.4；m=41.63，再代入式(11)得(图3(b))：

图3 σ1-σ3非线性关系的线性确定

(13)

由式(13)计算出峰值应力的拟合值为：24.26、43.66、65.52、80.8、94.67和107.6 MPa，后五点的最大误差为6%，但单轴强度的误差高达305%(线性拟合的相关系数R2=0.958 7)。

如何减小误差仍面临挑战，解决的关键在于公式(12)的求解，其有三个未知数，传统策略均是预设完整岩石的单轴抗压强度σc等于岩石单轴抗压强度测试值，再反算真值，而所谓误差即实测值与预测理论值偏离较大，但此时确定的理论值是存在假设前提的。若能消除这一前提，提高精度完全可能。

将σc=60 MPa[14]代入公式(12)得：s=0.163 47，m=4.156 3，再代入公式(1)得：

(14)

调整s值[14]，设s=0.000 063，代入公式(12)得：σc=3 056.3 MPa和m=0.081 6，再代入公式(1)得：

(15)

若设定m=0.1，代入公式(12)得：σc=2 493.8 MPa和s=0.000 094 6，再代入公式(1)得：

(16)

形式上看，公式(14)、(15)和(16)都不相同，但均以公式(12)为前提，本质上仍等同于公式(13)，因此仅预设三个参数中的一个值难以提高精度，但该方法优点是岩石单轴抗压强度预测值不会随着参数的预设而改变。可见图3(b)中相同拟合曲线的三个力学描述参数并不唯一，虽然数学上曲线一致，但力学上难以界定，因此单纯的数学拟合意义并不大，必须结合力学背景进行综合考虑。

(17)

这样HB强度准则就由三参数σc，s和m变成二参数b和c，b即为线性拟合得到的一次项系数，c为线性拟合得到的常数项，只要把b和c代入公式(17)即可。

3 考虑误差判据的强度界定

针对拟合数据偏差，Hoek和Brown[4]推荐了判定系数

(18)

来评判数据分布的线性特征。则由公式(1)计算的强度值判定系数r2=0.995 13；由公式(13)计算的强度值确定的判定系数r2=0.928 511。但正如上述分析，公式(14)、(15)和(16)单参数改动不会引起公式(17)中b和c值的变动，对应HB强度准则未有精度上的改进，因此不能单纯依赖于判定系数。

针对岩石脆性破坏，力学模型的理想目标是高精度匹配试验数据。目前尽管发展了数百种模型，但囿于问题的复杂性，能经得起时间考验的模型少之又少，主要原因为针对不同试验数据的误差过大。因此模型建立时误差的判定对于可靠性评判十分重要，根据上述分析，求解公式(12)时，先确定完整岩石的单轴抗压强度σc，再计算其他两个参数，最终得到的单轴抗压强度与假定值并不符合。这虽不影响HB强度准则曲线，但对三个参数的确定影响极大，即表达式和力学意义存在不确定性，这或许是Hoek和Brown设定参数范围的潜在原因。

对于判断哪条曲线更合理，根据公式(17)可以看出，关键参数b和c值的确定极其重要。这里引入四种误差评判方式：绝对误差绝对值和Δ1、绝对误差平方和Δ2、相对误差绝对值和Δ3以及相对误差平方和Δ4，分列如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

描述的原则是尽量降低四种误差至最小，这就需要一个循环算法，反复比较寻找误差最小值。基于公式(17)确定理想的b和c值(图4)。基本原理为假定其中一个参数值，引入四种判据，设定步长，反复循环追踪误差至最小值；待一个参数确定后，再采用类似算法确定第二个值。两个循环下的最小误差被认为是可接受的。

图4 确定拟合参数b和c的循环算法

对公式(8)和公式(13)的预测结果进行四种误差评判，分别为12.120、34.365、0.262和0.018；30.960、382.671、3.206和9.310。显然新的算法在遵守HB强度准则参数限定下，整体误差偏大，而基于公式(1)虽然提高了精度，但突破了相关参数范围界定，给力学模型的准确理解增加了困难。

如图5所示，利用寻求最小误差算法，基于判据一(绝对误差绝对值和)确定b=250.5，c=611.8，对应误差Δ1b=11.839，Δ1c=11.768；基于判据二(绝对误差平方和)确定b=237.7，c=866.7，对应误差Δ1b=38.34，Δ1c=38.335；基于判据三(相对误差绝对值和)确定b=231.5，c=687.3，对应误差Δ1b=0.186，Δ1c=0.172；基于判据四(相对误差平方和)确定b=226.3，c=868.9，对应误差Δ1b=0.01，Δ1c=0.009。

图5 4种误差判据

根据b值可很快确定HB强度准则曲线，两种误差Δ1b和Δ1c相差不大且不断减小，相比初始值b和c界定范围[1 900，2 000]，两个参数迅速收敛到误差最小值。整体上看，四种判据下HB强度准则曲线类似但并不同。当σ3=0时，对应完整岩石单轴抗压强度分别为：σc1=24.7 MPa，σc2=29.4 MPa，σc3=26.2 MPa和σc4=29.5 MPa，而根据公式(8)、(9)、(10)和(13)确定的强度值分别为6.47、11.17、6.55和24.26 MPa。

表1罗列了文中所述HB强度准则表达式，基本上可分两类：公式(8)、(9)和(10)是针对非线性分布直接进行非线性拟合；公式(13)、判据一、二、三和四是基于线性间接进行非线性拟合，二者本义不同。除了公式(8)和(13)，方程整体形式均服从传统HB强度准则限定的范围。但三参数均不相同，尽管判据一、二、三和四无需参数s和mb，但其可根据预测σc′反算。可见HB强度准则形式不一，针对某一固定试验数据，HB强度准则形式的不确定性将影响其准确性。这里重点关注预测的整岩石的单轴抗压强度σc′，分别为6.74、11.17、6.55、24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，前三者差异较大；其与试验值之比σc′/σc0分别为1.125、1.865、1.093、4.05、4.124、4.908、4.374和4.925。公式(8)和(10)与实测值接近，虽鲜有文献采用，但公式(8)精度高；公式(10)符合传统HB强度准则定义。公式(9)是s=1时确定的形式，单轴强度明显大于实测值[11]，根据传统HB强度准则应予推荐，但是在不同的成果中很难出现s=1和mb=25的理想情况，这里只是巧合，因此仍难以确定其具体形式。依据新的线性拟合思想，所列公式(13)、判据一、二、三和四的形式相仿，尤其是与预测完整岩石的单轴抗压强度σc′相似，分别为24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，其值相对稳定，但比传统HB强度准则预测值稍大。

表1 不同HB准则方程及对应完整岩石单轴抗压强度对比

4 结论

传统和普适HB强度准则被视为岩石力学中描述屈服或破坏的经典准则，并随应用的扩展促使其从岩石力学领域拓宽到岩体力学领域。结论如下：

1)证实了传统HB强度准则表达式的不确定性。传统HB强度准则中两个参数岩石软硬程度mb和岩石破碎程度s默认为建议范围，但仍然存在满足参数范围限制的多解问题。这一潜在不确定性主要影响完整岩石单轴抗压强度σc的准确界定，其主要原因在于对岩石完整性尚无公认的定义，岩体相对岩石容易确定，而岩石间完整性比对尚无解决方案。

3)提出了完整岩石单轴抗压强度确定的建议方案。传统HB强度准则无法确定唯一的完整岩石单轴抗压强度σc，这一困扰将影响室内岩石力学试验向室外岩体工程应用扩展。结合线性解决方案和任一误差判据可唯一确定拟合曲线，并可保证完整岩石单轴抗压强度σc的唯一性。尽管目前真值无法确定，但与传统HB强度准则相比，推荐解决方案仍然可视为理想的，其参数均符合传统定义范围且四种方案给出的完整岩石单轴抗压强度σc十分稳定。

致谢：研究工作启发于成都理工大学地质灾害防治和地质环境保护国家重点实验室陈津民老师的建议，数据整理和修改中得到了硕士生卢岚大力协助，在此特别感谢！