高中数学中的立体几何解题技巧分析

李易民

【摘 要】 立体几何是高中数学学习的重要组成部分，对学生的空间想象力具有较高要求，为了帮助学生快速突破这部分数学问题的求解难关，有必要传授给他们解题技巧。本文基于高中数学教学现状，以立体几何题目为例，提出了一些切实可行的解题技巧。

【关键词】 高中数学;立体几何;解题技巧

立体几何是高考数学的必考内容，常常作为压轴题出现，对学生的空间思维能力和问题求解能力具有较高要求，使得学生在面对综合性立体几何问题的时候常出现不知如何下手的问题，影响了解题的准确性。为了帮助高中生顺利地突破这部分数学知识的学习难关，有必要传授给他们解题的技巧与方法。

一、巧用构造方法，有效解决立体几何问题

构造方法是求解立体几何问题中比较常用的一种教学手段，具体就是结合立体几何题目的具体情况，通过灵活添加辅助线的方式来构造图形，力求可以更好地观察图形，帮助学生快速明确立体几何问题求解的突破口。但是在立体几何问题中应用构造方法期间，需要注意立足于问题的简化处理视角，确保辅助线添加的科学性和合理性，避免因为错误添加辅助线而影响立体几何问题的求解效率。

例1：如图1，平面α上有A、B两点，C、D两点位于直线l上，其中点A、B、C、D共同围成了一个矩形。在平面β上存在一个P点，CP和AB的中点分别为N点和M点，且已知AD=AP，AP⊥平面α，求证：MN为AB和PC的公垂线。

解析：针对该道立体几何问题的求解，由于题干的信息比较抽象，增加了学生的求解难度，所以为了帮助他们快速求解问题，要注意对这道立体几何问题进行简化。结合相关问题的题干特征和求解经验，可知在题目中给定某一个中点的时候，可以利用构造方法，再找到另一个中点构成中位线，这时候可以有效地调用相似三角形、平行定理等方面的常用定理来快速求解。

通过灵活应用构造方法，科学添加辅助线，可以将这道立体几何问题进行简化，从而有利于学生快速找到求解问题的关键。此外，构造方法的一种变量应用方式是构建位置关系，这也有利于对相应的问题进行简化。

二、巧用建模方法，有效解决立体几何问题

建模方法具体是指将数学问题归纳为某个直观性更强的数学模型，之后采取恰当的数学知识进行求解。在高中立体几何教学中，向量是比较重要的学习内容，如果可以在求解立体几何问题的时候灵活地应用向量知识，那么可以降低学生求解立体几何问题的难度，同时也有利于促进高中生思维能力的发展，尤其是可以利用空间向量坐标实现计算立体几何问题的目标，这样就可以将立体几何问题的求解相应地转变成代数问题进行求解。

例2：现有一个正四面体ABCD，其中线段AB和CD上分別存在E点和F点，且AE=AB，CF=CD，试求直线DE和BF夹角的余弦值。

解析：针对该道立体几何问题的求解，如果直接采取绘制直观图的方式，学生计算难度比较大。而如果可以利用建模方法，构建向量模型，那么可以帮助学生简化问题求解过程。

解：假定线段AB、AC和AD为基向量，三者分别为a，b，c，且三者之间的夹角均为60°，并且正四面体的棱长是4，那么可知AE=CF=1，且AB与AC、AD以及AD和AC之间的夹角均为60°。结合余弦定理可知：BF=DE=。×=（a-c）（b+c-a）=-4。接着可以指导高中生继续结合异面直线成角的基本定义，快速判断直线DE和BF夹角的余弦值为。

在上述这一立体几何问题求解过程中，灵活地运用建模方法，借助基底坐标法可以对相应立体几何问题中涉及的空间问题进行有效解决，尤其是有利于消除其中涉及的垂直关系，最终可以将这一空间几何问题转化成以向量知识为主的代数问题求解，只需要调用向量坐标即可求解问题。

总之，立体几何问题的求解思路和方法众多，本文结合例题，对构造方法（构造辅助线、构造未知关系等）和建模方法的具体应用情况进行了重点探讨，明确了求解方法应用的重点与注意事项。帮助高中生掌握这些解题方法，可以有效提升他们求解立体几何问题的能力。