让直线和平面动起来

刘桂饶

【摘 要】 证明立体几何中的平行关系时，为了让学生迅速找到目标线和面，通过直尺平移直线实现突破，从而让后续的推理论证变得直观。

【关键词】 直观感知;位置关系;操作确认;线线平行;线面平行;平移

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的素养，是高中数学课程的六大核心素养之一。在立体几何的教学中，我们应该运用直观感知、操作确认、推理论证等方法认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（以下简称线面平行的判定）。用符号表示为：若aα，bα，a ∥b，则a∥α。利用线面平行的判定定理判定线面平行时，在面α内寻找与a平行的直线b是难点。

由两个平面平行定义得：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线平行于另一个平面（以下简称面面平行的性质）。用符号表示为：若α∥β，aα，则a∥β。利用面面平行的性质判定线面平行时，找过直线a且与平面β平行的平面是难点。

如何突破这些难点，迅速解决相关问题？请看下列几个案例：

【案例1】如图1，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD。（江苏出版社《普通高中课程标准实验教科书》必修2，第38页）

分析方法1：

（1）利用线面平行的判定定理证明MN∥平面PAD，就是在平面PAD内找到一条直线a与MN平行。

（2）猜想直线PA、PD、AD与MN平行？但它们与MN都异面。

（3）平面PAD内哪条直线与MN平行？

（4）如图2，尝试用三角尺平移MN到面PAD内：点M到点A;点N到PD上，设为E（直观感知E为线段PD的中点）。

（5）由此本题可以取PD的中点E，通过证明AE ∥MN，从而证明MN∥平面PAD（证明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性质证明MN∥平面PAD，就是要找到过直线MN且与平面PAD平行的平面。

（2）过直线MN且与平面PAD平行的平面是哪个平面？

（3）尝试平移平面PAD到过直线MN。我们可以通过平移直线来实现。

（4）如图3，平移直线AD到过点M，交CD于F（直观感知F即为线段PD的中点）。相交直线MN、MF所确定的平面NMF即为所找平面。

（5）由此本题可以取CD的中点F，通过证明平面NMF∥平面PAD，從而证明MN∥平面PAD（证明略）。

【案例2】如图4，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）求证：D1C⊥AC1;

（2）试在棱DC上确定一点E，使D1E∥平面A1BD，并说明理由。（2008年江苏省高考考试说明，典型题示例第51页）

分析：

（1）利用线面平行的判定定理解本题时，发现无法平移D1E到平面A1BD内，因为D1E不确定，点E未知。如何解决？

（2）逆向思维，平面A1BD内哪条直线与D1E平行？A1D？A1B？BD？分别平移A1D，A1B，BD到过点D1（D1E虽不确定，但其中点D1是已知的）。

（3）如图5，平移A1D到过点D1时，与DC不相交;如图6，平移BD到过点D1时，与DC也不相交;如图7，平移A1B到过点D1时，与DC相交，其交点设为E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD与平面A1D1EB的交线BE，从而四边形ABED为平行四边形，所以E为棱DC中点，所以当点E为棱DC中点时，D1E∥平面A1BD。

（5）由此本题可以取棱DC的中点E，通过证明D1E∥A1B，从而证明MN∥平面PAD（证明略）。

【案例3】如图8，已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的动点，当满足什么条件时，PQ∥平面CBE？（江苏出版社《普通高中课程标准实验教科书》必修2，第38页）

分析方法1：

（1）利用线面平行的判定定理来确定P，Q两点。

（2）显然，EB、BC与PQ不平行，CE呢？（EB、BC均与PQ异面，三条直线中只可能是CE）

（3）如图9，沿线段EA平移CE（AE与CE有交点），与EA、BD分别相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共点，所以A，Q，C三点共线。Q为AC，BD的交点，为BD的中点，此时P是AE的中点。所以当P、Q分别是AE，BD的中点时，PQ∥平面CBE。（证明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性质来确定P，Q两点：平移平面CBE。

（2）如图10，在平面ABEF内平移BE交AE于P，交AB于N;在平面ABCD内平移BC，过N交BD于Q。

（3）由作法知：平面ABEF内，有=;平面ABCD内，=。又EA=BD，所以P，Q满足EP=BQ时，PQ∥平面CBE。（证明略）

回顾与反思：

方法1和方法2中结论不同，方法1的结论仅是方法2中的一种特殊情况。那么方法1是不是只找到了一种特殊情况而漏掉了一般情况？让我们回到方法1中接着分析：

（5）CE是面CBE内很特殊的与PQ平行的直线，面CBE内会不会还有其余直线与PQ平行呢？是怎样的直线？

（6）让我们平移PQ到平面CBE内看看：点P到点E;点Q到直线BC上（不一定是点C）。

（7）如图11，取线段BC除端点外任意一点M，连接EM。沿线段AE平移EM（AE与EM有交点），分别与AE、BD相交于点P、Q。

（8）由作法知：A，Q，M是平面EAM和平面ABCD的公共点，所以A，Q，M三点共线。平面EAM内，=，平面ABCD内，=，所以=，即EP=BQ。此时PQ∥平面CBE（证明略）。

（9）如图12，M为线段BC延长线上任意一点，连接EM。沿线段AE平移EM，分别与AE、BD相交于点P、Q。同样，当点P、Q满足EP=BQ时，PQ∥平面CBE。

（10）如图13，当M为线段BC反向延长线上任意一点时，连接EM，沿线段AE平移EM，发现EM与BD不相交（此时线段EA、线段EM，均在线段BD同侧，沿线段AE平移线段EM时，是远离线段BD而去，故与线段BD不相交）。

综合以上分析，方法1可以得到与方法2同样的结论：当P，Q满足EP=BQ时，PQ∥平面CBE。（证明略）

在进行复杂逻辑推理或者数学运算时，我们可以运用直观想象来探寻逻辑推理或者数学运算的方向，把复杂问题简单化。这样的课堂能充分发挥学生的主观能动性，让学生积极参与其中，动手操作，从实践中猜想数学规律，进而检验猜想的真假，既活跃了数学课堂的气氛，激发学生学习数学的兴趣，又让学生体验到了数学发现和创造的历程，发展了他们的创新意识，形成了数学直观。