对于“利用基本不等式求最值”，学生究竟困惑在哪儿

伏道银

【摘 要】 在高中，利用基本不等式求最值是重点内容，也是高考重点考查的内容。在讲授苏教版高二必修五第三章“不等式”中的“基本不等式”时，学生普遍感觉接受难度比较大，在独立解题时利用它求解更是困难重重。在听了公开课“基本不等式2”，主要探究利用基本不等式求最值后，笔者再次认真思索学生的困惑和学生探究积极性不高的原因。现针对这些疑虑，结合自己的教学体会和学生在处理问题时遇到的困惑，谈谈对“利用基本不等式求最值”的认识和体会。

【关键词】 基本不等式;最值

公开课“基本不等式2”的内容简述为：让学生回顾基本不等式的内容，完成例题，归纳出利用基本不等式求最值的原则为“一正”“二定”“三相等”，然后完成变式训练，归纳本节课收获。

整节课下来，知识探究过程显得生硬，好的学生勉强接受，还有部分学生默然，眼神空洞。在这部分知识的学习过程中，我们也经常出现这些方面的困惑——过渡生硬，学生学习的知识没有连贯性。

学生可能困惑一：为什么不用高一的函数知识求最值，而用基本不等式求最值呢？

解决策略一：根据学生可能的困惑设置如下例题，回到基本不等式本身，促进对变量个数认知上的突破，再回到基本不等式本身的呈现形式，研究的是两个变量的不等关系，先避开都是一个变量的问题，突出本节课重点内容。

例1：（1）已知正实数a，b，满足ab=4，求a+b的最小值。

（2）已知正实数a，b，满足a+b=1，求ab的最大值。

设计意图：通过这个问题的设置，让学生自己体会基本不等式的作用，使学生对用基本不等式求最值变得自然，不僵化，也能使学生更加容易接受，从而得到一般性结论，让学生感知数学问题常用研究轨迹：特殊到一般再到特殊，即进一步的应用。

变式训练的设计意图：三道题分别针对不相等、不正、不定，展开探究，对于（1），如果取不到等号怎么办？在此基础上和学生一起归纳基本不等式与特殊函数y=x+（a>0）单调性之间的具体联系。让学生明白当等号成立时，有函数单调性，同样可以得到相同的结论，当等号不能成立时，我们应该退而后思，考虑到用单调性来解决问题，找到二者之间的紧密联系。感受“退后一步，海阔天空”。通过这个问题可以树立学生解决问题的大局观，体会知识点并不是孤立存在的，只有掌握了它们之间的联系，才能更好地学会数学。对于（2），让学生明白，当条件不为正时，不是不能用基本不等式求解，而是如何创造条件。对于（3），向学生介绍当没有定值时简单构造定值的方法。

教師：他的推导过程成立吗？

学生：成立，但此题解决的是求最大值，基本不等式两边必须有一边为定值才有最值。

教师应当做个有心人，从小处入手，紧抓教学细节，帮助学生辨识学习内容，及时正确对待学生出现的错误，有助于学生突破教学困惑，最终真正掌握基本不等式的精髓。

【参考文献】

[1]谢欣宇.高中基本不等式教与学的问题与对策[D].哈尔滨师范大学，2019.

[2]段明康.高中数学不等式解题技巧总结[J].亚太教育，2016（33）：71.