“极化恒等式”在向量数量积中的巧用

方爱珍

【摘 要】 随着时代的发展，数学教学不能再停留在老师教、学生被动接受的状态。培養学生的数学学科核心素养成为当前高中迫切需要贯彻到平时的教学当中、渗透到生活中的核心任务。数学最核心的素养是逻辑推理能力，面对任何问题，学生都需要从问题中寻找可利用的资源来解决问题。

【关键词】 极化恒等式;逻辑推理

向量在浙江高考试题中经常以压轴题或次压轴题的形式出现，在高三复习中，教师应该及时地总结出一些方法小专题，以一题多解或多题一解的方式引导学生跳出题海，站在高点看问题。本文在向量单元复习结束后，以向量的数量积为例，在本校开设公开课，阐述求解多动点数量积的解题策略。

一、引例

（2012年高考浙江卷理科第15题）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_。

（设计意图：考查求向量的数量积方法。常用坐标法和基底法）

学生的抽象思维能力有限，一般教师都会引导：“能建系一定要建系，不能建系也可以强制建系，只不过运算比较复杂。”引入斜三角形，从学生的角度排除建系的可能，转向基底表示。学生容易得到：=，由AM=3，BC=10，想到两式平方相减，得到=-16。

二、恒等式的发现

从引例中联想到学生很容易在平行四边形中找到：·=。由此得到极化恒等式的平行四边形模式： （从引例中，容易发现极化恒等式的三角形模式）。

三、小试牛刀，让学生体验成功的快乐

例1：〔2014年高考全国新课标II卷文（理）科第4（3）题〕设向量，满足，，则等于（ ）。

A. 1          B. 2           C. 3           D. 5

例2：如右图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则=_。

（设计意图：收获一个新知，需要通过练习来确认方法的有效性。这两个小题入口浅，学生根据图形特点结合极化恒等式快速作答，能够获得成功的体验，也为下一步挑战更高难度的习题奠定了基础）

例3：（2016年高考江苏卷第13题）如下图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD的两个三等分点，=4，=-1，则=_。

解析：在练习了2个较简单的小题之后，教师及时点拨学生：“什么条件下容易想到使用极化恒等式？”让学生收获：向量共起点，中线对边有定长。让学生探讨：看似不具备已知边长的条件，怎样从=4，=-1中获得？引导学生观察所给已知条件不共起点，化成共起点：=4，=-1，又=4，解得=，=，==。

四、求单动点问题的数量积最值

例4：（2017年高考全国II卷理科第12题）如下图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则的最小值是（ ）。

A. -2         B.        C.         D. -1

解析：由等边三角形，学生很容易想到坐标法，那尝试用新知识能否解决问题？稍作思考，学生就会想到主动寻找BC中点D，问题转化为求的最值，再使用极化恒等式轻松获解。

变式1：如右图，已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是_。

变式2：已知A、B在椭圆+=1上，且线段AB经过原点，点M为直线3x-4y-15=0上的动点，的最小值为_。

五、求多动点的数量积最值

例5：如右图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴（含原点）滑动，则的最大值为_。

（设计意图：学生对恒等式从了解到熟悉，掌握了求定值和最值的基本思路后，继续挑战两个动点问题。当学生思维陷入坐标法中无法自拔时，教师引导学生经历观察、比较、分析、推理的过程，明确本题中是否具有极化恒等式的条件，培养学生的逻辑思维能力，让学生经历“数学化”“再创造”的活动过程，利用极化恒等式把多动点问题转化为单动点问题，渗透了数学的化归与转化思想，提升了学生的数学思维能力）

变式3：如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC，AC上的动点，且EF=1，则的最小值为_。

（设计意图：将例3得到的成功解题经验继续迁移到两个动点不在同一直线上，难度上升一小步，思维跳跃一大步。此时，教师应留出足够时间让学生思考，让学生经历一场头脑风暴，真正理解极化恒等式的使用特点，体会到极化恒等式的巧妙之处，更快捷地解决问题）

《普通高中数学课程标准（2017版）》指出：通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境之中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神。本文以高三一轮复习课的课案形式，从学生的“最近发展区”获取新知识，由浅入深，层层深入，让学生体验到成功的快乐，增强学生数学学习的自信心，培养了学生的逻辑思维能力。