规律源自探索

蒋欣

【摘要】苏教版数学教材中的“探索规律”这一内容，是苏教版数学教材的亮点之一，主要分布于“数与代数”“图形与几何”等领域。教学实际中，有序组织学生开展“数学规律”的探索活动，不仅能有效激发学生学习数学的兴趣，还能帮助学生积累探索规律的基本经验，发展学生的数学思想方法;更有利于引领学生用数学的眼光去观察现实世界，用数学的思维去思考现实世界，用数学的语言去表达现实世界，用数学的方法去分析与解决现实生活中的实际问题。

【关键词】小学数学 探索规律 教学策略

在苏教版数学教材中，自三年级起每学期安排了一课时的“探索规律”，主要分布于“数与代数”“图形与几何”等领域。这样的“分散渗透”与“专题编排”正是苏教版数学教材的特色与亮点。这些内容既很好地反映了数学学科的特点，同时也符合学生的认知规律。

笔者以苏教版数学教材中的“探索规律”为例，结合目前在教学中存在的一些问题，试图从课堂实施的层面谈几点自己的思考及做法。

一、尚存问题

在实际教学中，不少教师在教学“探索实践”这一专题内容时，对教学目标的定位不够准确。主要表现在：组织教学活动时，过于注重帮助学生掌握、理解“规律”的内容，而忽视了引领学生发现“规律”的探索过程;或者过于注重组织学生进行规范地表达“规律”，而忽视了引领学生个性化感悟发现的“规律”;或者过于注重通过演绎推理运用“规律”进行问题解决，而忽视了引领学生在合情推理基础上对“规律”的大胆猜想。

二、原因浅析

有些教師将“探索规律”中的“规律”仅看作是一个知识点，而衡量学生对一个数学知识的掌握程度，显然要关注其对知识的理解与掌握程度;也可能是为了片面追求课堂教学的效率，故而缩减了学生的探究过程;还可能是多年来受应试教育的影响，于是将是否掌握规律并熟练运用规律解决问题作为一个重要的考量标准。

三、思考与做法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、猜测、实验、推理、验证、计算等活动过程。

因此，教师在教学实际中应该有计划地引导学生积极参与到探索活动之中，着重引领学生经历有序观察、大胆猜测、科学实验、合情推理、合理验证，以及准确计算等探索过程。至于“规律”的内容，重在引导学生去感悟，同时鼓励学生进行自主表达，在此基础上适当运用获得的“规律”解决相关的实际问题。

1.探索规律需要有序观察

“探索规律”的学习活动，首先要从学生学会有序观察开始。观察，是有目的、有计划的知觉活动，是以视觉为主，融其他感觉为一体的综合感知，而且观察包含着积极的思维活动，因此称之为知觉的高级形式。在“探索规律”等数学活动的观察中，还应做到归类、有序，才有利于发现规律。

例如，在教学六年级上册的“表面涂色的正方体”这一内容时，关键是要引导学生有序观察、合理分类、展开想象，教师在此基础上组织以下几个层次的探索活动：

第一层次，组织学生通过观察一个表面涂上红色的正方体积木（课件演示“每条棱都被平均分成2份”），引导学生思考：如果沿线切开，能得到多少个小正方体？这些小正方体分别有几个面被涂到红色？学生通过观察，容易想到：在“切成”的小正方体中，只有原来露在表面的那些面才会被涂到红色。

第二层次，通过组织学生观察“每条棱被平均分成3份、4份、5份……的正方体”，探索“表面涂色的正方体”的规律。这一层次的教学活动极为关键，因为第一层次探索活动中的正方体是个特例：棱长二等分后得到的8个小正方体都在原来的顶点处，均有3面被涂到红色。因此探索“每条棱被三等分的正方体”的情况将是关键，引导学生通过有序观察发现：若按规定切开，切成的小正方体中有3面涂色（在顶点处）、2面涂色（在棱中间）、1面涂色（在面中间），并且数量不同。在此基础上，再有序观察“每条棱被平均分成4份、5份……的正方体”，并通过观察、比较3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体的个数，逐步发现规律。

第三层次，尝试归纳总结规律，并用字母、符号进行适当的表达。

数学中的许多规律、公理都来源于观察。这一专题中的“规律”带有一定的隐蔽性，在探索活动中教师需要引导学生进行合理分类、有序观察。这里的“有序”主要体现在两个方面：其一，通过观察要将一个正方体中“切割”得到的小正方体按涂色的面数进行分类;其二，要有序地观察将正方体每条棱二等分、三等分、四等分、五等分的情况，并由此展开想象。因此，有序观察在探索数学规律的过程中具有普遍价值。

2. 探索规律需要大胆猜想

法国数学家庞加莱曾说：“逻辑用于论证，直觉可用于发明。”在我们数学“探索规律”的教学中，也需要我们的学生拥有这种直觉思维。因为直觉思维有着：直接性、经验性、迅速性、跳跃性、或然性等特征，而这些正是小学生思维的特点。

例如，教师在教学五年级下册“和与积的奇偶性”这一探索活动时，就要充分利用学生的已有经验，鼓励学生大胆猜想。

这一专题活动的探索，学生会有两次直觉猜想：第一次是关于“和的奇偶性”，从探究“两个数相加”开始并逐步拓展，学生凭直觉——几个偶数相加，和一定是偶数，因此“和的奇偶性”关键看加数中奇数的情况。第二次是关于“积的奇偶性”，学生凭经验——几个奇数相乘，积一定是奇数，因此“积的奇偶性”关键看乘数中的偶数的情况。学生仅凭直觉或数感得出这样的猜想，没有逻辑推理，但是这种猜想极其重要，因为针对这一规律的探索正是从这样的猜想开始的。学生有了这样的直觉猜想，接下来的举例验证才有方向与目标。

因此，教师在组织“探索规律”专题活动时，要充分利用学生的直觉思维，积极鼓励他们大胆地猜测与假设。在探索过程中允许学生“即兴回答”，允许学生根据线索片段做出直觉判断。教师在此基础上引导学生展开合理想象、动手操作，从而习得规律。

3. 探索规律需要合理验证

探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是引领学生经历从特殊到一般、从一般到特殊的探索规律和验证规律的过程，了解从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想方法。

例如，四年级下册“多边形的内角和”这一内容，在探索过程中教师就要引领学生经历从特殊到一般的验证过程。第一次验证，是关于四边形的内角和，学生容易想到两个特殊的四边形——长方形和正方形，它们的内角和是360°，因为它们每个内角都是90°。需要验证的是，是不是每一个四边形的内角和都是360°呢？从而，结合已有的经验——把四边形分成两个三角形，进行探索一般四边形的内角和。第二次需要验证的是：是不是任意多边形都能像四边形那样分成若干个三角形呢？通过操作与想象，答案显然是肯定的。第三次要验证的是：是不是分成的三角形的个数总比多边形的边数少2呢？通过对划分成三角形的多边形的分析发现：分成的所有三角形中，只有两个三角形中的两条边是多边形的边，其余三角形都只有一条边是多边形的边，所以三角形的个数总比多边形的边数少2。从而归纳出：多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°。

一个数学规律的发现，如果仅停留在猜想的阶段，那么它永远是一个猜想，而不会真正成为“规律”，要使其成为真正的数学规律，就得经历合理的验证。因此，合理验证是探索、发现数学规律过程中极为重要的环节。

4. 探索规律需要科学实验

探索规律的教学贵在探索，而探索有可能找不到规律，也有可能找不对规律，还可能找不全规律，这才是真实的探索过程。于是，探索规律需要不断地实验，只有科学地进行数学实验才能对发现的“规律”进行调整、纠偏。

例如，五年级上册“钉子板上的多边形”，乍一看“钉子板上的多边形”学生很难立即想到这些多边形与“钉子数”有关，甚至不会想到与多边形边上还是内部的钉子数量之间的关系。如果教师完全按照教材提供的问题线索组织学生进行探索研究，那么这样的“探索”只是按图索骥，并没有问题思路的整理和实验步骤的确定。因此，笔者觉得针对数学规律的探索活动有必要引领学生以科学的态度进行数学实验。在实际的教学中，教师可以组织学生进行以下几个层次的数学实验活动：

第一次实验：多边形的面积与钉子的数量有关。教学时，教师提供各种情况的多边形——多边形内部的钉子数不统一，同时学生在点子图上任意画几个多边形，此时学生只是“有所察觉”而不成“规律”，但能激发学生探究的兴趣。第二次实验：这次实验是基于第一次实验的困惑，学生有所发现，当多边形内部只有1枚钉子时，多边形的面积数正好是边上钉子数的一半。于是再次进行实验——在点子图上任意画“内部有1枚钉子的多边形”。学生通过这次实验，对“规律”已经有所发现，只是不够完整，但激发学生欲罢不能的探索欲望——是不是只有当“多边形内部只有1枚钉子”时才有这样的规律呢？第三次实验：多边形的面积数与其边上和内部的钉子数都有关系。引导学生组织画图实验——依次探索多边形内部有1枚、2枚、3枚……以及内部没有钉子的图形进行探索，从而获得完整的规律。

“数学实验，这种建立在对物质世界的直接经验基础上的真正的学习，使数学成为一门有趣的、受学生欢迎并使学生都能理解的学科。”因此，在“探索规律”的教学中，教师除了组织学生根据问题的引领去关注“探索什么”，更应该引导学生通过科学实验去经历“如何探索”的过程，这才是学生探索数学规律的真谛所在。

5. 探索规律需要合情推理

教师引领学生学习“探索规律”这一专题内容，实际上就是引领学生走进数学世界，进行合理地推理与有效地演绎。对于学生来说，合情推理具有可操作性，因为学生可以通过归纳与类比得到自己推理的结果。

例如，教师在组织教学六年级下册“面积的变化”这一专题活动时，就要充分利用学生已有的经验——图形的放大与缩小，引领学生通过联想、归纳与类比进行合情推理。具体的探索活动如下：

首先，组织学生测量一大一小两个长方形的长和宽，明确大长方形与小长方形对应边的比是3∶1，即大长方形是小长方形按3∶1的比放大的。在此基础上，学生发现这两个长方形面积的比是9∶1，并产生联想：这里的“9”会不会是“3×3”得到的呢？第二，引导学生自主探索。从简单、熟悉的图形开始，如大小两个正方形之间的面积关系，更容易发现：如果正方形按3∶1放大，面积是32∶1;如果正方形按2∶1放大，面积就是22∶1……再推广到三角形、圆等图形。第三，帮助学生从特殊走向一般，逐渐归纳出数学规律：一个平面图形如果按n∶1放大，那么放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。

归纳推理与类比推理是两种用途最广的合情推理，正如数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”当然，从严谨的逻辑判断来讲，合情推理得到的结果不一定全部准确，但学生的思维是在合情推理中得到锻炼的，推理能力也是在这样的合情推理中逐步形成的，同时也有利于增强学生的探究意识。

6. 探索规律需要准确计算

“探索规律”主要分布于“数与代数”和“图形与几何”等领域，不少规律的探索过程都是在准确计算的基础上进行的，而准确计算也为顺利进行探索活动提供了保障。

例如，在三年级下册“有趣的乘法计算”这一探索活动中，“准确计算”既是基础和前提，也是教学目标。首先，教师组织学生计算一组“两位数与11相乘”的计算题，在此基础上引导学生观察乘积与这个两位数之间的关系。第二，学生各自举例再次计算进行验证，并通过观察竖式中的计算过程以理解这一计算规律的算理，有利于促进学生真正掌握“两位数与11相乘”的计算规律。否则学生掌握的可能只是关于乘积表象的一句口诀：“两端一拉，中间相加，满十进一。”至于探索“十位相同且个位上的数相加等于10的两个数相乘”和“形如（n-1）×（n+1）乘法”的计算规律，同样是在学生准确计算的基础上通过观察发现。

再如，四年级上册“简单的周期”这一探索活动，也需要学生进行准确计算，当然更重要的是对“余数”的理解。

学生通过准确计算探索发现这些运算规律之后，反过来又再次促进了运算能力。这样的探索过程使学生既明确算理，又掌握计算技巧，对发展学生的运算能力这一数学核心素养非常有益。

另外，获得相应的数学规律之后，我们就需要对规律进行概括与表达，这也是规律的精华所在。笔者认为，对于学生而言，对有些规律的表达可以个性化呈现，例如关于“间隔排列”的规律，它属于简单情境下的变化规律，又比较贴近生活实际，在表达时允许学生运用文字、符号或字母，只要能感悟其本质就行。当然，对有些规律的表达则需要“公式化”，例如“多边形的内角和”属于数学本身的规律，它具有一定的隐蔽性，用公式表达更能体现数学的简约性和符号化，也有利于帮助学生建模。

关于应用规律解决实际问题，是规律的价值所在，也是“探索规律”的教学目标之一。但在小学阶段，教师不宜将“探索规律”的教学重点落在解决问题上，学生能体会规律的应用价值就行，更不应该将应用规律解决实际问题的水平作为评价的主要标准。

基于以上思考，笔者认为关于小学数学中“探索规律”的教学，教师应该跳出传统教学中“应试”的思维去思考与实践。在教学中我们除了关注这些“规律”的内容或承载的知识之外，更应该重视学生探索数学规律的方法，感悟相应的数学思想，积累数学活动的基本经验，并培养数学实验的科学態度。

“探索规律”的教学，主要目的是让学生学会研究数学的方法，使学生的数学思维更加开放、多元，促进思维能力的发展。苏教版数学教材中8个“探索规律”的专题活动，尽管以独立的课时截取了数学中某一片段的内容予以呈现，但与很多内容有着直接的、紧密的联系;它们就像一颗颗“种子”植入学生的大脑，这些“种子”蕴含着数学文化、数学思维品质和数学关键能力。因此，需要教师积极探索，在组织教学时为学生提供充分的自主学习空间，并引领学生用数学的眼光去观察现实世界，用数学的思维去思考现实世界，用数学的语言去表达现实世界，用数学的方法去分析和解决现实生活中的问题。

【参考文献】

刘晓萍，曹志国.对“探索规律”教学的叩问——以“钉子板上的多边形”教学为例[J].小学数学教育，2018（8）.