齿面摩擦对齿轮系统动态特性的影响分析

林梅彬，林梅辉

齿面摩擦对齿轮系统动态特性的影响分析

林梅彬1，林梅辉2

（1.福州职业技术学院 交通工程学院，福建 福州 350108；2.福州大学 物理与信息技术学院，福建 福州 350108）

为了研究齿面摩擦对齿轮系统动态特性的影响，采用集中质量法建立了齿轮系统非线性动力学分析模型并同时考虑齿侧间隙、时变啮合刚度和齿面摩擦等非线性因素。采用Runge-Kutta数值积分法求解系统的动力学模型，得到系统响应的分岔特性与参数平面的动态特性。结果表明，齿面摩擦在在一定情况下可以加剧系统能量耗散，使系统趋向于稳定的运动状态；在小阻尼的范围内，齿面摩擦加剧了齿背碰撞，导致系统的运动状态更复杂；阻尼和摩擦的耦合效应强于刚度和摩擦的耦合效应。

齿面摩擦；动态特性；分岔；混沌

齿轮传动系统中的非线性因素不仅影响齿轮系统的传动特性，同时也是产生噪音的主因之一[1]。在这些非线性因素中，越来越多的学者研究齿面摩擦对齿轮系统传动特性的影响[2]。

近年来，Kahraman等[3]建立的单自由度齿轮系统模型被广泛学者用于齿轮系统的研究。为更深层次的研究齿轮系统，更多的学者在此模型的基础上提出改进的分析模型[4-5]。王三民等[6]建立了包含齿面摩擦等多种因素的齿轮系统动力学模型，研究分析了齿轮系统混沌状态受摩擦因素的影响程度。唐进元等[7]用能量法和谐波平衡法求解并对比了包含齿面摩擦的非线性系统。张靖等[8]研究分析了粗糙度对六自由度非线性系统特性的影响。王一等[9]建立了12自由度斜齿轮系统动力学模型，研究分析了系统在有摩擦和无摩擦的状态下系统动力学响应的变化。李晓贞等[10]分析了齿面摩擦系数对面齿轮传动系统振动特性的影响。康博强等[11]建立了考虑时变摩擦的5自由度弯-扭-轴耦合传动系统动力学模型，研究了系统随激励变化的动力学特性。王燕等[12]建立了考虑齿面摩擦时机车齿轮传动系统的动力学模型，研究了摩擦因素对系统参数振动稳定的影响。张至宇[13]建立了包含摩擦的双圆弧齿轮啮合系统模型，研究分析了摩擦对该系统动态特性的影响。现有文献中虽然都建立了考虑齿面摩擦的齿轮系统模型，但针对齿面摩擦对齿轮分岔特性和参数平面内的动态特性的影响研究相对较少。本文以单自由度圆柱齿轮系统为研究对象，同时考虑齿面摩擦、时变啮合刚度和齿侧间隙等因素，运用Runge-Kutta积分法求解动力学模型，研究分析了齿面摩擦对直齿轮系统的扭转振动动力学特性及分岔特性，为直齿轮的设计分析提供了参考。

1 齿轮副动力学模型

本文采用集中质量法，仅考虑齿轮的扭转振动，忽略传动轴的横向振动和轴向的弹性变形以及支撑刚度等因素，建立了考虑齿面摩擦的单自由度齿轮系统模型[12]，如图1所示。

图1 单自由度齿轮系统模型

图中T（1, 2）分别为作用在主、被动齿轮轮齿上的扭矩；θ（1, 2）分别为主、被动齿轮的扭转振动位移；R（1, 2）分别为主、被动齿轮的基圆半径；I（1, 2）分别为主、被动齿轮的转动惯量；()为综合传递误差；k()为齿轮副的啮合刚度；c为齿轮副的啮合阻尼；F为齿轮副的啮合摩擦力。系统的扭振运动微分方程如下：

式中：T（=1, 2）分别为作用在主、被动齿轮的摩擦啮合力矩。

用表示齿面摩擦系数则轮齿间的啮合摩擦力的表达式为：

用啮合线上的相对位移作为广义坐标则位移可以用下式表示：

整理式（1）~（5）可得：

对式（6）处理后得到：

式中：为无量纲阻尼，为刚度波动系数，F为误差系数，F为无量纲扭矩，()为间隙非线性函数，其表达式为：

2 非线性动力学分岔特性分析

2.1 系统随量纲—刚度波动系数ε变化的分岔特性

图2分析结果以[0.361 0.508 0.725 0.786]分别表示系统周期一、二变化临界值，叉式分岔值，系统周期二、四变化临界值，系统周期四、八变化临界值。对比文献[14]的结果，即在没有考虑齿面摩擦的状态下，通过对比得到，在考虑齿面摩擦的齿轮系统相比没有考虑齿面摩擦的齿轮系统，其周期变化点、分岔点的值都更大；速度随刚度波动系数变化的分岔图没有出现阶跃现象。计算结果表明，齿面摩擦一定程度上抑制了齿轮系统的运动状态趋势。齿面摩擦使系统趋于稳定，这也刚好验证了文献[15]的一个结论。

2.2 系统随量纲—阻尼ζ变化的分岔特性

选取无量纲化的参数值=0.2，0.3，ω=1.5，F=0.1，F=0.05，取初始条件=[0，0]。通过改变阻尼，取=0、0.2时，系统在侧隙=1.0时，系统无量纲位移随阻尼变化的分岔图如图3所示。

图3(b)分析结果以[0.1831 0.1535 0.1135 0.098]分别表示系统周期一、二变化临界值，叉式分岔值，周期二、四变化临界值和周期四、八变化临界值。同样的，用[0.1671 0.1415 0.1065 0.0852]表示图3(a)的结果。通过对比可在考虑齿面摩擦的齿轮系统相比没有考虑齿面摩擦的齿轮系统，其周期变化点、分岔点的值都更大；系统的摩擦力导致系统混沌运动状态所对应的阻尼范围更广，在小阻尼的范围内，齿面摩擦加剧了齿背碰撞，导致系统的运动状态更加复杂。

图3 系统位移随量纲—阻尼ζ变化的分岔图

2.3 系统随量纲—摩擦系数u变化的分岔特性

2.3.1 系统量纲—摩擦系数在不同刚度波动系数下的分岔特性

选取无量纲化的参数值ω=1.5,F=0.1,F=0.05,=0.2, 取初始条件=[0，0]。通过改变摩擦系数，分别取0.1、0.45、0.75、0.95时，分析系统在侧隙=1.0时，系统无量纲位移随摩擦系数变化的分岔图如图4所示。

由图1可得在选取的参数条件下，当0.1、0.45、0.75、0.95时，齿轮系统分别处于稳定的周期一、周期二、周期四和混沌运动状态。图4（a、b）分岔特性相似，齿轮系统运动状态随的增加经历了从混沌→周期八→周期四→周期二→周期一。在刚度波动系数很大的情况下，随着摩擦系数增加，齿面摩擦加速了系统能量的耗散，抑制了由于刚度波动情况导致的系统的不稳定运动状态，直接导致系统进入稳态。图4（c~d）表明齿轮系统的最终运动状态示稳定的周期一的运动状态。

2.3.2 系统量纲—摩擦系数在不同阻尼下的分岔特性

选取无量纲化的参数值ω=1.5,F=0.1,F=0.05,=0.3, 取初始条件=[0，0]。通过改变摩擦系数，分别取=0.05、0.125、0.225时，分析系统在侧隙=1.0时，系统无量纲位移随摩擦系数变化的分岔图如图5所示。

由图2可得在选取的参数条件下，当=0.05、0.125、0.225，齿轮系统分别处于不稳定的混沌、稳定的周期二以及稳定的周期一的运动状态。图5(a)可得，随着摩擦系数的增加，齿轮系统运动状态由混沌退化为周期七、最终从周期七经鞍结分岔又回到混沌的运动状态。在小阻尼的情况下，随着摩擦系数的增加，系统动态特性更加复杂。图5（b~c）表明，随着摩擦系数的增加，系统趋于稳定周期一的运动状态，在大阻尼的状态下，摩擦系数不改变系统的运动状态。

3 参数平面内的系统动态分析

3.1 参数平面（频率-刚度）动态特性

为了研究时变啮合刚度和摩擦系数的耦合效应对系统振动幅频特性的影响，选择不同的摩擦系数来计算系统参数平面（频率-刚度）的最大振幅响应。选取无量纲化的参数值=0.2,=1.0,F=0.1,F=0.05。图6（a~d）表示在摩擦系数=0、0.2、0.5和0.8时，系统在参数平面的扭转振动最大幅值图。由图可得，在摩擦系数=0时，系统的扭转振动幅值最大，若存在齿面摩擦，可增加能量的耗散，使系统趋于稳态。比较图6（c~d）得到摩擦系数与刚度波动系数之间的耦合效应较弱。

图6 参数平面（频率-刚度）上系统最大振幅波动图

图7显示了系统位移随频率变化的位移—时间图（=0.2，=0.2）。从中可得系统不存在齿背碰撞现象，但是在低频范围内，系统存在脱啮现象。在低频范围内，系统扭转振动剧烈，容易造成失稳现象[16]。

图7 系统位移随频率增加的时间图

3.2 参数平面（频率-阻尼）动态特性

为了研究阻尼和摩擦系数的耦合效应对系统振动幅频特性的影响，选择不同的摩擦系数来计算系统参数平面（频率-阻尼）的最大振幅响应。选取无量纲化的参数值=0.2,=1.0,F=0.1,F=0.05。在摩擦系数=0、0.2、0.5和0.8时，对应的系统在参数平面的扭转振动最大幅值图，图8所示。

图8 参数平面（频率-阻尼）上系统最大振幅波动图

从图中可得，在摩擦系数=0时，系统的扭转振幅最大，若存在齿面摩擦，可增加能量的耗散。系统的动态特性随阻尼的增大趋向稳态，增大阻尼抑制振幅效果明显。随着摩擦系数的增加，系统出现的扭振幅值减小，摩擦系数与阻尼参数的耦合作用较强，实际状况下，需要避开摩擦系数和阻尼参数的耦合作用区，即润滑要充分（0.15）。

图9 系统位移随频率增加的时间图

图9表示系统位移随频率改变的位移—时间图（=0.2，=0.005）。在极小阻尼的情况下，系统运动极不稳定。在低频时，齿轮系统发生齿背碰撞，扭转振动剧烈。随着频率的增加，系统存在脱啮现象，运行状况极不稳定，应避免润滑不充分的情况。

4 结论

（1）本文通过求解考虑齿面摩擦的单自由度齿轮系统，得到系统响应的分岔特性和参数平面内动态特性，为齿轮系统的参数选择提供理论基础。

（2）理论分析表明，齿面摩擦一定程度上能够加剧能量耗散。阻尼和摩擦的耦合效应强于刚度和摩擦的耦合效应。在小阻尼范围内，齿面摩擦让系统运动更复杂，会造成大范围失稳现象。

（3）在齿轮设计阶段，通过改变系统的摩擦系数，从而改变啮合过程中的摩擦力，有助于提高系统的稳定性，降低噪声并提高齿轮寿命。

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Analysis of Gear System Dynamic Characteristics with Tooth Surface Friction

LIN Mei-bin1, LIN Mei-hui2

（1.Transportation Engineering Department, Fuzhou Polytechnic Institute of Technology, Fuzhou 350108, China; 2.School of Physics and Information Technology, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China）

In order to study the dynamic characteristics with tooth surface friction, a nonlinear dynamic characteristics of gear system was established by the method of lumped mass, in which time-varying meshing stiffness, the backlashtooth, surface friction factor and other nonlinear factors were considered. The Differential equations of the dynamic system solved by Runge-Kutta integration method with the bifurcation diagram of system response and the dynamic characteristics in plane can be attached. The results show that tooth surface friction is applied to accelerating the system energy dissipation under certain circumstance to make the system stable state. In the case of small damping, the tooth surface friction aggravates the collision of the back of the tooth, which leads to the more complex state of the system, the coupling effect of damping and friction is stronger than the coupling effect of stiffness and friction.

tooth surface friction; dynamic characteristics; bifurcation; chaos

TH113

A

1674-3261(2020)04-0225-05

10.15916/j.issn1674-3261.2020.04.004

2019-09-15

福建省中青年教师教育科研项目（JAT171066）

林梅彬(1989-)，男，福建泉州人，讲师，硕士。

责任编校：刘亚兵