深入理解平面三个公理做好平面基本性质的教学①

李海东 张 伟

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.[1]在定性研究这些关系时，通常将复杂图形向简单图形、立体图形向平面图形转化，在这个过程中，关注所要研究图形的组成要素和特殊的位置关系则是考虑问题的出发点.“平面”作为组成立体图形的基本要素，是立体几何中的一个基本概念，它的本质特征是通过平面的三个公理进行刻画的.平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，贯穿于立体几何的始终，是研究空间图形、空间图形位置关系及进行逻辑推理的基础，对于培养学生抽象概括、空间想象和推理论证等能力，提升数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养具有不可替代的作用.

将“平面”作为立体几何中一个只描述而不定义的基本概念，是数学家长期尝试如何更本质地描述和理解这个概念的结果，是数学高度抽象的产物之一，这种处理教师和学生并不容易理解.在教学中，教师通常认为这部分内容比较基础，一般采用“观察生活实例——给出平面的概念——给出平面的表示法——讲授平面的三个公理”的过程进行教学.其中对平面三个公理进行教学时，大多教师也往往是直接告诉学生这三个公理，把更多的精力放在其三个推论(一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线确定一个平面)上，更多地强调它们在解题中的作用.这种处理，对平面三个公理在刻画平面本质特征中的作用理解和重视不够，致使学生对平面的认识仍停留在用“黑板面”“课桌面”“平静的水面”等具体生活中的实例进行描述上，无法用数学的语言刻画平面的“平”和“无限延展”的基本特征，甚至在学完立体几何内容后，学生都很难说清楚平面三个公理的作用.这极大削弱了平面三个公理的育人价值，也不利于学生能力的提升和核心素养的培养.

1 平面概念发展的历史

若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状.[2]了解平面概念及其三个公理的发展历史，能够帮助我们深刻认识和理解平面的特征和性质.历史上，对如何定义平面，大致经历了如下三个阶段.

1.1 以欧几里得为代表的古代数学家对平面的定义

古代数学家是从描述平面的特征的角度给平面下定义的，很多数学家对此都进行了思考和尝试.公元前5世纪，根据普罗克拉斯(Proclus)的记载[3]，巴门尼德(Parmenides)将几何对象分为三类——直的(即平的)、圆形的(即弯曲的)和两者混合的，这种分类同时涉及到一维对象(线)、二维对象(面)和三维对象(体).如果想要得到一个直的表面，那就考虑平面，在平面上直线可以以任意方式与之相合.可以看出，巴门尼德试图借助直线来定义平面，他将“直”作为平面最重要的特征之一.

公元前3世纪，欧几里得(Euclid)在《几何原本》中对点、线、面给出了描述性定义.对于平面，欧几里得给出了如下定义和命题[4]：

定义1.1： 点是没有部分的.

定义1.4： 直线是它上面的点一样地平放着的线.

定义1.7： 平面是它上面的线一样地平放着的面.

命题11.1： 一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外.

命题11.2： 如果两条直线彼此相交，则它们在同在一个平面内并且每个三角形也各在一个平面内(这里的直线指的是线段).

命题11.3：如果两个平面相交，则它们的共同交迹是一条直线.

在欧几里得看来，平面上所有直线的位置相同，直线上所有点的位置相同，但这种描述并不好理解.在欧几里得的定义中，又出现了新的问题.首先，像“一样”“平放”等词在前面并未给出确切定义；其次，这种描述无法保证平面的存在性.但这并不影响欧几里得的贡献，他的《几何原本》对后世产生了深远的影响，奠定了几何公理体系的基础.

1.2 对欧几里得描述性定义的发展

欧几里得之后，很多数学家都一直试图给平面下一个确切的定义，其中以下几位数学家的贡献是非常值得一提的.

公元前1世纪，海伦(Heron)再次指出平面的特征是“直的”，并给平面重新下了一个定义[3]：平面是直线可以与之完全相合的表面，它向四周笔直地无限延展，并且当一条直线上的两点在一个平面内，则整条直线在任意位置以任意方式与之相合.

17世纪，莱布尼茨(Leibniz)认为海伦的定义并不简洁，他利用曲率更为直观地说明了平面“直”的属性——平面的曲率为零，而其他凸面、凹面的曲率则不为零.他给出了一个非常简洁的定义[3]：平面定义为到两定点距离相等的点的集合.

莱布尼茨的定义给出了平面的一种构造性画法，追寻着他的脚步，高斯(C.F.Gauss)和W·波尔约(W.Bolyai)分别给出了他们对平面的构造性定义.高斯将平面定义为“过一定点，垂直于一条直线的所有直线都在一个表面上，那么这个表面就是平面.”[3]W·波约尔将平面定义为“一条直线绕着另一条与之垂直的直线旋转而成的面.”[5]

这一阶段，还有很多数学家根据自己的理解给出了平面的定义，例如英国数学家辛松(R.Simson)给出了与海伦等价的平面定义，法国数学家傅里叶(B.J.Fourier)则利用“垂直”这一概念定义平面，等等.总之，这一阶段的数学家在给平面下一个清晰的定义和平面的画法方面都做出了巨大努力.

1.3 希尔伯特把平面作为基本概念，建立了公理化几何体系.

19世纪末，希尔伯特(D.Hilbert)受皮亚诺(G.Peano)数学学派对算术和几何的公理化的影响，建立了完全公理化的欧氏几何.与其他数学家不同的是，希尔伯特并没有给平面下定义，而是将点、直线、平面都作为基本概念，用关联、介于、合同建立点、直线和平面的关系，概念的意义借助公理的形式予以体现.在希尔伯特的《几何基础》一书中，与平面有关的关联公理[6]如下：

公理I4：对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，恒有一平面α，它同A，B和C这三点的每一点相关联.对于任一平面，恒有一点同这平面相关联.

公理I5：对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，至多有一平面，它同A，B和C这三点的每一点相关联.

公理I6：若一直线a的两点A和B在一平面α上，则a的每一点都在平面α上.

公理I7：若两平面α和β有一公共点A，则它们至少还有一公共点B.

纵观平面概念发展的历史的三个主要阶段，可以发现，第一阶段的巴门尼德和欧几里得是基于对平面的直观感知，通过描述平面的特征来定义平面，但他们的定义中包含了一些不确切的词语，因此并未完全描述出平面的本质特征.第二阶段的海伦、辛松和莱布尼茨等一大批数学家试图给平面下一个确切的定义，试图利用一些基本概念来揭示平面的本质特征；同时，这一阶段的高斯和W·波尔约等数学家还力图通过给出平面的构造性画法的方式给出平面的定义.第三阶段的主要工作集大成于希尔伯特，他将平面作为不加定义的基本概念，用公理建立基本概念之间的联系来描述平面的本质特征，进而建立了完整的几何公理化体系.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中，给出了关于平面的三个基本事实(也即公理)[1]：

基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面；

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

在上述希尔伯特的有关平面的关联公理中，由公理I4、公理I5可推出基本事实1；其公理I6就是基本事实2；由公理I7及其公理Ⅰ1(对于任意两个不同的点A和B，至少有一直线a与A和B关联)、公理Ⅰ2(对于任意两个不同的点A和B，至多有一直线a与A和B关联)可推出基本事实3.由此可见，课程标准采用的立体几何公理体系就是希尔伯特的公理体系.

2 百年中学数学教科书中平面三个公理的呈现

纵观百年以来的我国中学数学教科书，立体几何都是其中的重要内容，其中对于平面概念、公理、定理、推论等内容本身及其呈现顺序，各版教材不尽相同.下面选取有代表性的几套教科书列举如下.

2.1 汉译温德华士几何学(1915年版)[7]

定义：平面者，联其面内任两点之直线，全在此面内者也.

推论2：一直线及线外一点，可定一平面.

推论3：不在一直线内之三点，可定一平面.

推论4：两条相交线可以确定一平面.

推论5：两条平行线可以确定一平面.

定理：两平面彼此相交，其交线为一直线.

2.2 新中学教科书高级几何学全一册(1925年版)[8]

定义：平面者，过其中任意二点之直线全在面中之表面也.故一直线上二点在一平面中，则其直线全在此平面中.

定理一：过一直线及此外一点之平面有一无二.

系一：不在一直线中之三点决定平面.

系二：相交二直线决定平面.

系三：平行二直线决定平面.

定理二：二平面共有一点，则此二平面共有过此点之一直线而此外无公共点.

2.3 复兴高级中学教科书几何学(1934年版)[9]

定义：在一面上任取两点，如联这二点所成直线，完全在这面上，则称这面为平面，否则叫曲面.

平面公理：不在同一直线的三点，可决定一平面.

平面定理一：一直线和线外一点，决定一平面.

平面定理二：两相交直线，决定一平面.

平面定理三：两平行直线，决定一平面.

交面公理：二平面如交于一点，则必有第二交点.

交面定理：二平面如相交，则交于一直线.

2.4 中等学校用三S立体几何学全一册(1935年版)[10]

定义：过面内任意两点的直线全在面内，则这个面叫平面.

几何公理A：过不在一直线上的三点只能有一平面.

几何公理B：若二平面有一点共有，则必有第二点共有.

定理：可以决定一平面的：

(1)一直线及线外一点.

(2)二相交直线.

(3)二平行直线.

系：二平面的相交处为直线.

2.5 高级中学立体几何课本全一册(1951年版)[11]

平面：在一个面上任意取两个点，经过这两个点引一条直线，若这条直线上的任何一点都在这个面上，这样的面就叫做平面.

我们由生活当中可以体认出下面的几条公理：

(a)空间所有的点不能全在一个平面内.

(b)两个平面若有一个公共点，则必定还有别的公共点.

(c)过不在一直线上的三点，必可作一个平面，也只可以作一个平面.

定理:经过相交的两条直线可作一个平面，也只可以作一个平面.

系1：一条直线和它的外面的一点决定一个平面.

系2：互相平行的两条直线决定一个平面.

定理：两个平面的交线是一条直线.

2.6 高级中学课本立体几何(暂用本)(1963年版) [12]

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这点的一条直线.

公理3：不在一条直线上的三点确定一个平面(就是说，经过不在一条直线上的任意三点可以作一个平面，并且只可以作一个平面).

推论1：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面.

推论2：两条相交直线确定一个平面.

推论3：两条平行直线确定一个平面.

2.7 全日制十年制学校高中课本数学2(1979年版)[13]

与2.6相同.

2.8 高级中学课本立体几何全一册(必修)(1991年版)[14]

与2.6相同.

2.9 全日制普通高级中学教科书(实验本)数学第二册(下A)(必修)(1998年版)[15]

与2.6相同.

2.10 普通高中课程标准实验教科书数学必修2(2004年版)[16]

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

三条推论同2.6，在习题中给出.

2.11 普通高中教科书数学必修第二册(2019年版)[17]

基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面；

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

三条推论同2.6，在基本事实后给出.

分析上述11套教科书可以发现，对于平面的概念、刻画平面的公理、定理、推论等，民国时期的教科书和新中国成立初期的教科书基本是以公理2作为平面的定义，然后以公理、定理或推论的形式给出公理1和公理3，并进一步给出三个推论.

1963年到1998年版的教科书则采用了希尔伯特的公理体系，以类似于“课桌面、黑板面、平静的水面等给我们以平面的形象”的方式给出平面的概念，然后以公理2、公理3和公理1的顺序呈现平面的三个公理，并进一步给出其三个推论，公理的顺序与希尔伯特的顺序不同.2004年版的教科书基本沿用了前述教材的做法，只是以公理2，公理1和公理3的顺序呈现平面的三个公理.

2019年版的教科书沿用了前面几版教科书对于平面概念的处理方式，并按照公理1、公理2、公理3的顺序呈现平面的三个公理，并进一步给出三个确定平面的推论.其处理方式以及公理的顺序与希尔伯特是基本一致的.

3 平面三个公理在刻画平面本质特征中的作用

在希尔伯特的公理体系中，讨论问题的出发点是“点”“直线”“平面”这三种对象以及“关联”“介于”“合同”这三种关系，它们都是不加定义的基本概念，其余概念可以在这六个基本概念的基础上给出直接的定义.在几何的公理体系下，不论我们如何来理解“点”“直线”“平面”“点属于平面”等，只要我们在作证明时所运用的公理是正确的，则严密逻辑地证明的定理也是正确的.特别地，可以不必与通常直觉观念下的点、直线、平面等发生任何关系.[6]

将点、直线、平面等不加定义的基本概念作为教学起点是不容易的，尤其是对于基础教育的高中学生，他们学习立体几何时必然要和人们生活的现实的三维空间建立联系.而在现实生活中，平面可以和“课桌面”“黑板面”“平静的水面”等生活中的现实建立联系，学生也可以对于平面的“平”“无限延展”的基本特征有直观感觉，他们还是希望像以往学习的数学概念那样，给平面下一个定义.但如果这样就又回到了探究平面定义的起点.将点、直线、平面等作为不加定义的基本概念，是数学家们长期地尝试更本质地描述和理解这些概念的结果，这也体现了公理化思想的精髓.事实上，在几何公理体系中，尽管点、直线、平面等概念不加定义，但后续的各组公理建立了这些基本概念之间的联系，也刻画了这些概念的本质特征.例如，公理1—公理3实际上刻画了平面的“平”“无限延展”的本质特征.

首先，“公理1 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”提供了确定一个平面的方法，这里的确定是确定平面在空间中所处的“位置”，而不是确定平面的“大小”.接下来，“公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”提供了判定一条直线是否在一个平面内的依据，实际上是用直线对平面进行刻画，用直线的“直”说明了平面的“平”，用直线的“无限延伸”说明了平面的“无限延展”.最后，“公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是通过两个平面相交成直线的关系，进一步利用直线的“直”和“无限延伸”对平面的“平”和“无限伸展”进行刻画.

结合公理1和公理2，可以这样来理解海伦对平面的定义“平面是直线与之完全相合的表面”.如图所示，由公理1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA，由公理2，直线AB，BC，CA都在平面ABC内，进而这三条直线上的任意一点也在平面ABC内，连接这些点所得的直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.由组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，就说明了平面的“平”和“无限延展”.

另外，从前文对百年教科书的梳理可以发现，不同的教科书对三个公理呈现的顺序并不相同.分析三个公理可以发现，公理1建立了点和平面的联系，说明了平面的存在性；公理2建立了直线和平面之间的联系，用直线的特征说明了平面的特征；公理3则阐释了平面与平面的关系，用两个平面相交成“直线”来进一步刻画平面.因此，“公理1→公理2→公理3”的呈现顺序是按照“点与平面”“直线和平面”“平面和平面””的顺序来认识平面的，是按照由简单到复杂的顺序步步深入地刻画平面的，这样的顺序符合学生认识新事物的特点，符合学生的认知心理，也符合数学的逻辑，这个顺序也与希尔伯特的公理体系的顺序是一致的.

在解决立体几何问题时，空间图形问题常需要转化成平面图形问题，而转化成平面问题就需要有确定的平面，平面三个公理的推论则在公理1的基础上进一步给出了确定一个平面的方法.尽管3个推论与公理1一样，都是确定一个平面的问题，但由于3个推论的证明要用到公理2，再考虑到3个公理是对平面基本特征刻画的逻辑连贯性，因此适宜在三个公理集中介绍后，再集中介绍3个推论，这样效果会更好.

4 对平面概念及平面三个公理教学的建议

在初中，学生对点、直线已经有过研究.对于平面概念的教学，可以类比点、直线的概念的教学展开.教师可以首先向学生呈现“课桌面”“黑板面”“平静的水面”等生活中的具有平面的直观感觉的物体，给出平面的概念.进而引导学生类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，想象平面的“平”和向各个方向“无限延展”，直观感受平面的基本特征.在此基础上，向学生指出“接下来要研究平面的基本性质”的先行组织者，以提出结合平面三个公理进一步刻画平面的本质特征的问题.

4.1 公理1的教学

公理1是“确定”平面的条件，应使学生理解其中“有且只有一个”的含义.这里“有”说明图形存在；“只有一个”是说图形唯一，它强调了存在性和唯一性两个方面，因此“有且仅有一个”必须完整使用.不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表述存在性，也不能用“有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表述唯一性.

公理1的教学，应该与确定直线的公理“两点确定一条直线”类比，引导学生结合实例发现几个点确定一个平面的问题.同时应突出“过不在一条直线”和“三个点”几个字.可引导学生认识经过一个点、两个点或同一直线上的三个点可以有无数个平面，任给不在同一直线上的四个点，不一定有一个平面同时经过这四个点.这样可以使学生体会“过不在一条直线上的三个点”这一条件的重要性.

4.2 公理2的教学

公理2反映了直线和平面的关系.从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集.这个结论阐述了两层意思：一是整条直线在平面内，二是直线上所有点在平面内.利用公理2，可以判定直线是否在平面内.

公理2实际上利用直线的“直”和“无限延伸”的特征刻画了平面的“平”和“无限延展”的特征.如前所述，利用公理1和公理2，就可以得到用直线“密铺”整个平面的过程.教学可以利用信息技术工具，向学生展示这个过程，以加深学生对于平面基本特征的理解，更好地认识直线的基本特征与平面的基本特征之间的联系.

4.3 公理3的教学

公理3指出了两个平面的相交关系，其作用有两个：一是作为判定两个平面相交的依据，只要两个平面有公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；二是可以判定点在直线上：点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上.

为了使学生更好地理解这个公理，可以给出“将三角尺的一个角立在课桌面上，想象三角尺所在平面与课桌面所在平面的相交情况”的例子，引导学生思维：尽管三角尺与桌面只有一个交点，但由于平面的无限延展性，三角尺所在平面与课桌面所在平面却不止一个交点，进一步地想象它们相交成一条直线.因此，对于两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们的位置关系就是相交，交集是一条直线.

教学中，应借助公理3让学生进一步理解平面的“平”和“无限延展”的特征：首先，由于平面是“平的”，因而它们才可能交于一条直线，否则交线就不是“直”的，而是“曲”的了.对此教学时还可以举出一些反例，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线.另外，两个平面相交于一条直线，直线是“无限延伸”的，也说明平面的交点有无数个，平面是“无限延展”的.

为了加深学生对这种利用原始概念之间的关系刻画概念特征的方法的理解，在三个公理教学之后，还可以让学生在课堂小结或课后进一步思考这样的问题：回顾本节课的学习，平面有什么基本特征？我们是怎样刻画平面的基本特征的？类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？让学生进一步思考初中学习的关于直线的公理，以及如何利用这些公理刻画直线的基本特征的方法，进一步体会利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素之间的关系刻画它们特征的方法.

结束语

几何之务，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.[18]平面的三个公理是系统地定性研究立体几何的出发点，除了其在刻画平面本质特征中的作用外，其教学对于学生数学语言的学习与转化，逻辑推理能力的提升都有着重要的作用.在教学中，教师要舍得在平面三个公理这种基础性的内容上花时间、下功夫，深刻挖掘平面三个公理的数学本质，做好平面基本性质的教学，让学生真正理解平面三个公理的作用和价值，这也是培养学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界和用数学的语言表达世界的必由之路.