“圆”的课程教材设计与教学

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

人们常说，在平面几何图形中，三角形是最简单的，圆是最完美的．三角形是直线型图形的代表，圆是曲线型图形的代表．圆自古以来就是平面几何的主角．圆在现实中的应用非常普遍，例如圆形车轮的发明是人类交通工具发展史的里程碑．

因为前面已经有了非常丰富的几何图形研究经验，所以在圆的内容处理中，让我们有了更加广阔的自由空间，无论是圆本身还是圆与点、直线、三角形、四边形……的关系，以及研究的内容、结构、过程和方法等，都可以给学生更多的自主探索机会．

在初中平面几何的课程设置和教材编写中，如何充分利用圆这个载体，并通过内容的精心选择和妥善安排，促使学生在本单元的学习中，通过主动思考、积极提问、自主探索，在获得“四基”、提升“四能”的同时，在空间观念、几何直观、推理能力等方面能跃上一个新台阶，需要我们认真思考．

1 关于圆的课程与教材内容的选择

1.1 整体分析

对于圆的研究，有几个基本角度．首先是对图形本身的研究，即对圆的要素、相关要素及其基本关系的探索；第二是对图形之间关系的研究，即圆与点、直线、圆之间的关系，以及与三角形、四边形、多边形的关系，这个方面的可选择性很大；第三是从图形变换的角度考虑，圆的丰富对称性可以成为学生理解图形变化、利用轴对称和旋转等变换工具探索图形性质的优良载体；第四是从度量角度考虑，这是学生第一次接触曲线围成的图形度量问题，是从直线型的度量飞跃到曲线型度量的开端，这个规则曲线图形的度量问题可以为学生理解度量问题提供典范；第五是与圆周运动相关联，即三角函数的内容(正弦函数、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质(主要是对称性)的解析表达)；等．作为初中平面几何课程的一个单元，主要从前四个角度考虑．

作为义务教育阶段的必学内容，显然要从基础、有用、够用等角度思考内容的选择问题，但同时要注意到我国高中教育已经普及，在确定课程内容时要考虑为高中数学学习打好充分基础，另外还要为那些对数学有特别兴趣的学生提供拓展性学习的机会．所以，义务教育阶段的数学课程内容应秉持保底不封顶的理念．同时，让学生在如何确定一个几何图形的要素和相关要素、要素的关系指什么、如何发现这些关系等一般观念的引领下，为学生提供恰当的素材、构建自主学习的平台，促使学生通过独立思考、自主探究而发现和提出值得研究问题，这是培养学生的创新精神和实践能力的关键举措，是与内容选择相伴相随、需要着重考虑的关键问题．

下面我们从圆的定义出发进行具体分析．

1.2 圆的要素及其基本关系

圆的要素，即圆心、半径(直径)、圆上的点，它们之间的直接关系，是首先要研究的内容．当然，由圆的定义可以立即推出，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径；到定点的距离等于定值的点都在同一个圆上．这是很容易得到的结论，其意义在于让学生明白如何从定义出发，由“近”及“远”地对一个数学对象的性质展开研究．

如果局限在圆的要素的关系，可研究的问题很少．如何发现需要研究的其他问题呢？我们以系统论的观点进行分析，将圆看成一个系统，一是由圆心、半径和圆上的点所生成的问题，这就是将圆上的点、圆心联系起来，生成弦、弧、圆心角、圆周角等几何元素，这些几何元素是从圆这个图形的内部生成的，它们之间的关系就是要研究的内容；二是圆与系统外的几何元素的关系，即圆与不在圆上的点、圆与直线、圆与圆的关系，圆与三角形、四边形……的关系，这是要研究的第二类问题．

1.3 圆的相关要素及其基本关系

圆的相关要素，如弧、弦、圆心角、圆周角等，它们之间的相互关系是需要研究的基本问题．不过，这些相关要素不像三角形的高、中线、角平分线、四边形的对角线等那样容易发现，如何让学生感受到这些相关要素的重要性，使学生认识到它们之间的关系就是圆的性质，需要在教材编写中加以研究．

一般而言，我们可以这样考虑：以圆为“基准”，过圆上两点的连线中有两条是特殊的，一是弧，给定圆上两点，可得两条弧——优弧和劣弧；二是弦，其中直径是特殊的弦，它在研究相关问题时有重要作用．由此发现值得研究的内容：圆的弦与弦、弧与弧、弧与弦的关系；弧、弦、半径的关系；等等．根据几何学的定义，这里的“关系”是指大小关系、位置关系．在分析这些关系时，可以采用从特殊到一般、从一般到特殊的思路，将之放在一个连续的变化过程中，从而实现有序且有逻辑的探索．

下面以圆的两条弦之间的关系为例进行说明．

首先，对于两条弦的大小关系，凭直觉就可以判断：

(1)等弦的弦心距相等，反之也对；

(2)弦心距越小，弦越大；

(3)直径是最大的弦．

这些结论似乎很容易得出，但其中蕴含的思想是深刻的，需要提醒学生注意：在探索圆的性质时，要利用圆心这一圆的要素．一般地，探索一个数学对象的性质，我们总是从定义出发．“从定义出发”的涵义就是要利用确定这个数学对象的要素．

图1

要证明这几个结论，需要利用圆心与半径．例如，如图1，AB，CD是圆O的弦，要证明当AB=CD时，圆心O到AB，CD的距离相等，需要用到垂径定理．所以，安排教材内容时，垂径定理要在这些结论之前．

其次，看两条弦的位置关系．延续两条直线的位置关系，区分为相交与平行，重点看相交．如图2，可以分为公共点在圆内(特例是两条弦相互垂直)、在圆上和延长后相交等4类情况．

图2

图2(2)反映的性质就是垂径定理．这个性质实际上是圆的轴对称性的一个推论，它是推导圆的其他性质的基础之一，应该要求学生掌握．

分析图2(1)、(4)，连接AD，BC，可以发现，无论弦的交点在圆内还是在圆外(延长线的交点)，都需要以图2(3)作为桥梁，即要以圆周角的性质为基础，这说明“两条弦的一个端点重合”这个特例很重要．为了研究相交弦问题，需要先研究圆周角．

有了圆周角定理，相交弦的问题就转化为相似三角形问题．所以，可以把图2(1)、(4)等作为相似三角形的综合应用问题，也可以考虑将其组织为一个“数学探究活动”的素材．

1.4 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系

首先要明确，圆与点、圆与直线、圆与圆位置关系的研究，仍然是利用圆心、半径这两个圆的要素，即探究这些关系时，我们总是把它们与圆心、半径联系起来，考察有怎样的确定关系．或者说，这种“关系”要通过圆心、半径做出表达．

(1)圆与点的位置关系

我们可以顺着一个点、两个点、三个点、四个点……的路径展开研究．

一个点与圆的位置关系有点在圆内、点在圆上和点在圆外三种，可以探究的问题是：①三种关系的判定；②圆上的点与圆外的一个定点所连线段中，什么时候最长或最短．

图3

对于②，如图3，设P为圆外一个点，Q为圆上任意一点．连接PO并延长与圆交于点A，B，再连接OQ，有OA=OB=OQ．在△POQ中，PO+OQ>PQ，PQ>PO-OQ．由此即得证明．所以，这个内容只用到三角形的三边关系和同圆的半径相等，可以(作为例题)安排在圆的定义之后．

两个点与圆的关系，前面已经提到，主要是圆上两点确定的弧和弦，可以和圆心角联系起来，类比“全等”关系提出问题．在一个圆中，弧、弦、圆心角等这些相关要素的相等关系和不等关系是圆的基本性质，应该作为基本内容要求学生掌握．

三个点与圆的关系，有非常重要的定理：过三个不共线的点有且只有一个圆．这个定理的证明要利用垂径定理和平行公理，其要点是：如果设通过三点A，B，C的圆的圆心是O，那么点O既在弦AB的垂直平分线上，也在弦BC的垂直平分线上，即O是两条垂直平分线的交点．由此，需要证明不共线三点A，B，C所定的三条线段AB，BC，CA的垂直平分线交于一点．因为要用反证法，有一定的难度，可以考虑将它作为尺规作图题，并可以让有能力的学生进行证明．

四个点的问题，如四点共圆的条件，可以结合圆与四边形的关系．

(2)圆与直线的位置关系

这里可研究的内容非常丰富．

首先，类比两条直线最多只有一个交点，可以提出问题：圆与直线最多有几个交点？这是一个需要研究的问题，其结论是后续讨论直线与圆的关系的逻辑基础．采用反证法容易证明：

图4

如图4，如果直线l与半径为r的⊙O交于三点A，B，C，那么r=OA=OB=OC．由三角形外角大于不相邻内角，等腰三角形底角相等，可得∠ABO>∠C=∠A．于是，在△OAB中，有r=OA>OB=r，这与B在O为圆心、半径为r的圆上矛盾．当然，这个证明要用到 “大角对大边”和“外角大于不相邻内角”这两条三角形的性质．

其次，圆与直线有相交、相切和相离三种位置关系，其中相切是分界点，最重要．这里有两个基本问题，一是如何判断三种位置关系，二是对相切这一特殊的位置关系，根据已有经验，要研究判定和性质两个互逆的问题．

位置关系的判断，利用圆的要素，与圆心和半径联系起来，通过圆心到直线的距离与半径比大小而得出结论．

如何发现切线的判定与性质？仍然要与圆的要素联系起来．如果直线l与⊙O切于点A，那么OA是半径．OA与l的关系是以直线l与⊙O相切作为大前提的，这就是切线的性质，反过来就可以得到切线的判定，这里的逻辑基础是两条直线相互垂直的性质．

第三，圆与两条直线的关系．仍然沿用运动变化的观点，让两条直线从与圆相交到相切作有序运动，可以区分为两条直线都与圆相交、一条相交一条相切、两条都相切．

对于这几种位置关系，还是要在引导学生发现和提出值得研究的数学问题上下大力气，而其基本思想仍然是与圆的要素、相关要素联系起来(这是一个“一般观念”)．例如，如图5，PA，PC是圆的两条割线．连接AD，CB，利用圆周角定理，可以得到几对相似三角形，得出割线定理．

图5

图6

在图5的基础上，让PC运动到与圆相切的位置．这时，C，D将重合为一点，得到图6．由此，可得切割线定理．当然，这里要用到弦切角定理．

图7

接着再让PA运动到与圆相切的位置，如图7，由此可得切线长定理．这里，如果和圆的切线性质联系起来，还可以得出别的结论．

总之，圆与直线位置关系的研究内容非常丰富，可以作为培养学生发现和提出问题能力的优良载体，同时也是培养学生推理能力的好素材．这些内容，有的可以作为必学内容，有的可以作为探究性学习的素材．

我们认为，这些性质不难但内涵丰富，对提升学生的“四能”，发展学生的几何直观、逻辑思维和推理论证能力等都有很好的作用，只要将它们按一定的逻辑顺序妥加组织，以环环相扣的“性质链”为线索形成系列化数学活动，就不仅能使学生顺利获得相关结论，而且可以从中领悟研究一个数学对象性质的“味道”，还能激发学生的学习兴趣．这是高层次的解题，解决的是有数学含金量的真问题，是具有探索性、创造性的解题，其育人价值是教师在教学中让学生做的那些挖空心思搞出来的题目所无法比拟的．所以，课程、教材和教学应对这些内容的选取和编排做出通盘考虑，以引导广大师生把精力集中到这些有意义的内容和问题上来．

需要指出的是，平面几何课程内容经过几轮改革，已经把这些内容都精简掉了，不仅学生接触不到，而且许多老师也不知道平面几何还有如此精彩而引人入胜的内容．但内容的精简并没有把学习负担减下来，反而落入负担越来越重而数学理解水平越来越低的怪圈．究其原因，恐怕与这些好内容被过分精简有关系．因为内容过分削减后，教师觉得可教的东西太少了，于是在一个狭窄的范围里“深挖洞”，搞出一些繁琐乏味而没有多少数学内涵的题目，这种题目做得再多也不能使学生的数学水平得到提高．课改中，我们不能因为害怕教师在规定内容基础上进行大量拓展而因噎废食，总是想通过减少内容来达到减轻负担的目的，这种削足适履的做法其效果只能是适得其反．我们应该通过提升教师的数学认识水平，使教师知道哪些内容对发展学生的理性思维、数学能力是真正重要的，从而使他们把精力聚焦在核心概念、重要知识的教学上，这才是真正的治本之举．

(3)圆与圆的位置关系

和圆与直线的关系类似，首先需要证明，两圆相交时最多有两个交点．实际上，如果两个圆相交于三个点，因为这三个点不共线，所以由垂径定理可得这两个圆有公共的圆心，这是不可能的．

其次，圆与圆有相交、相切和相离三种位置关系，相切有内切或外切之分，相离时有外离或内含之别．其中，仍然以相切为分界点．要研究的基本问题，一是如何判断三种位置关系；二是对相切这一特殊位置关系的研究；三是两圆相交时，两交点的连线是两个圆的公共弦，有什么特性．

因为这里涉及两个圆，要利用两个圆的圆心和半径，可以把两个圆心连起来，让其中一个圆的圆心在连心线上运动，逐步出现各种位置关系：外离→外切→相交→内切→内含，如图8所示．

图8

设⊙O1，⊙O2的半径分别是R1和R2，且R1R1+R2时，两圆相离；当d=R1+R2时，两圆外切；当R2-R1

我们知道，圆与直线、圆与圆的位置关系问题，在解析几何中也是基础内容，作为让学生体会坐标法的真谛、理解坐标法与综合法之间关系的载体，而且可以逻辑清晰、简单便捷地加以解决；但平面几何中处理这些内容的方式与解析几何有很大的不同，让学生在平面几何中学习这些基本内容，可以有效提升他们的直观想象、逻辑推理素养，而且这样的处理方式与学生思维发展的年龄特征相吻合，可以有效地帮助学生从直观逻辑思维水平过渡到抽象逻辑思维水平，这也是平面几何在促进学生逻辑思维发展中的不可替代作用的体现．

1.5 圆与三角形、多边形的关系

圆与多边形的关系，主要是多边形的外接圆和内切圆，要探索圆与多边形具有这种位置关系时，多边形的要素或相关要素有怎样的特性．其中尤以圆与三角形、正多边形的关系最重要．

因为三角形的外接圆圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点(外心)，内切圆圆心就是三角形内角平分线的交点(内心)，前者与三个不共线的点确定一个圆等价，用垂径定理可证，后者用圆的切线定理可得，它们可以纳入到前面讨论过的内容中去，作为相关定理的应用；圆与四边形的关系，例如圆的内接四边形定理、逆定理及其推论，可以作为圆周角定理的应用；圆与正多边形的关系，将圆弧n等分就可以得到正n边形，可以作为弧、弦、圆心角、弦心距等关系的应用，并成为“割圆术”的基础，从而也是关于圆的度量问题的基础……

综上可见，在圆的课程、教材内容构建中，从圆的定义出发，将圆的要素(圆心、半径、圆上的点)、相关要素(弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角等)的关系作为奠基内容，把圆与点、圆与直线、圆与圆的关系作为基本而重要的内容，完整地让学生学习并要求掌握．在此基础上，与三角形、四边形、多边形等几何图形相结合，特别是与直角三角形、正多边形等重要几何图形相结合，让学生应用已学的基础知识探究出一些性质．另外，还可以安排一些有趣的定理(如希姆松定理及其逆定理、蝴蝶定理等)作为拓展性、探究性学习素材，形成平面几何中的综合实践活动内容．

2 关于圆的概念和性质的教学设计示例

下面我们给出本单元中几个关键内容的教学设计概要，希望对教材编写也有所启发．

2.1 圆的概念

圆的概念，包括圆的定义，以及弧、弦、圆心角、圆周角的定义，这与三角形的概念包括三角形的定义以及边、角、顶点等要素，高、中线、角平分线、外角等相关要素的定义是一样的．

在《几何原本》中，与点、线(直线)、面(平面)、角(平角、直角、钝角、锐角)、图形等最基本的几何概念一起，圆的定义被放在第Ⅰ卷的开篇定义中，是作为最基本的概念呈现的：圆是由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等．这个描述是比较复杂的．

从数学科学角度看，圆的定义是简单的，如果用集合语言则非常简洁．我们可以让初中学生自己尝试给出圆的定义，这给学生提供了用数学的眼光观察、用数学的语言表达的机会．可以发现，在学生自主定义的过程中，课堂生成是非常精彩的．

引入：同学们在小学已经学过圆了，你能说说学了哪些内容吗？

师生活动：先由学生回答，说出圆的面积公式、周长公式等，然后教师继续问．

问题：你知道什么叫圆吗？也就是说，圆的定义是什么？

设计意图：学生头脑中有圆的清晰形象，但用准确的数学语言表达出来是不容易的．在激发起学生的求知欲后，教师继续引导提问．

追问：定义一个数学对象，往往从归纳具体实例的共性开始．请你画一个圆，观察画的过程，你看到了什么？你能由此写出圆的定义吗？

师生活动：学生画图、写定义，教师巡视，发现学生给出的各种“定义”，并拍摄、投影，然后引导学生进行讨论．

在一次全国教学研讨会上，由一位教学经验丰富的特级教师按上述设计实施，有如下的课堂生成(1)郑瑄等． “圆”章起始课教学的思考与实践[J]． 中国数学教育·初中版，2019(11):49～53．：

生1：由距圆心距离相等的许多点构成的封闭曲线．

生2：一条线段一个端点不动另一个端点旋转180°，围起来．

生3：将一条线段首尾连接起来，线上的点到一个点的距离相等．

生4：在平面内，一条固定了一端的线段，围绕一周无数点组成的图形．

生5：形状类似字母O的物体．

生6：球体的平面．

生7：有无数条对称轴的图形．

生8：一条曲线构成封闭，从一点到曲线上任何一点的长度相同的图形．

生9：以固定一点，绕这一点，固定距离，做圆周运动．

生10：圆是以一点为中心，按照直径不断旋转外端闭合的图形．

……

教师以学生给出的“定义”为基础，引导学生从中发现与圆的定义相关的关键词：

(1)定点、定长、集合；(静)

(2)线段OA、点O、点A、旋转．(动)

在充分讨论的基础上，再给出用严谨语言表述的两种定义．然后教师再次引导学生进行辨析，明确如下要点：

(1)圆是一条封闭曲线，而并非圆面；

(2)圆是平面图形，如果不加“在一个平面内”的限制，那么“到定点的距离等于定值的点的集合”是球；

(3)确定圆的两个要素：圆心(位置)和半径(大小)；等等．

设计意图：从课堂生成看，学生的语言很生动，而且有的学生给出的定义与《几何原本》很接近，但从直观描述到严谨表达是一个艰难的过程．先让学生说出自己的定义，实际上就是让学生表达自己对圆这个几何对象本质特征的理解，然后引导学生讨论、反思，使学生明白自己的表述哪些地方不严谨，例如“有无数条对称轴的图形”确实是圆的本质特征，但直线也是有无数条对称轴的图形，所以这个本质特征不是圆所独有的，不足以把圆与其他图形区分开来，最后再给出严谨的定义，并对关键词的意义进行辨析．

数学对象抽象阶段的数学概念学习有两方面的任务，一是对象的本质特征的抽象概括，二是严谨的数学语言表达的学习．先让学生观察典型丰富的实例，并用自己的语言刻画本质特征，然后再分析、比较、归纳而抽象出严谨定义，这是把数学语言与日常语言联系起来的过程，由此可以使学生明确数学语言与日常语言的区别与联系，从而为学生构建起从直观描述到严谨表达的通道，这是理解抽象数学定义的必由之路．

2.2 发现和提出研究内容

引入：类比三角形、四边形的学习，得出圆的定义后，接下来你认为要研究圆的什么内容？

设计意图：让学生自主构建研究一个几何图形的整体架构．

在学生提出要研究圆的性质后，接着提问：

问题1：你认为研究圆的性质就是要研究什么？

学生可能回答不出这个问题，在学生思考后教师接着提问．

追问1：在三角形、平行四边形的学习中，我们得到了哪些性质？你觉得这些性质表明了图形的什么特征？

师生活动：由学生独立思考、交流后总结出：这些性质表明了图形的要素(边、角)、相关要素(三角形的高、内角平分线、中线、外角，四边形的对角线等等)的大小关系、位置关系，图形的对称性等等．

追问2：圆的要素有哪些？它们有怎样的关系？

师生活动：学生容易从圆的定义得出，圆的要素有圆心、半径和圆上的点，先让学生描述这三者的关系，然后给出严谨的表述．

追问3：圆的对称性很容易发现，但像三角形、平行四边形等那样，圆的“边”、“角”、“对角线”等等在哪里呢？

师生活动：先让学生独立思考、讨论，教师要加强引导．如教师可以问：将圆上的两点连接起来得到什么？将圆心和圆上两点连接起来得到什么？将圆上三点连接起来得到什么？……

通过上述讨论，可以获得研究内容：圆的弧、弦、圆心角、圆周角、圆的内接三角形、内接四边形……

教师可以提示：像相交线、平行线是研究两条直线间的位置关系，全等三角形是研究两个三角形的位置关系，这里还可以研究圆与点、圆与直线、圆与圆的关系．

设计意图：发现圆这个几何对象的研究内容非常关键．学生有之前研究三角形、平行四边形的丰富经验，但圆与之前的几何对象又有本质差异．让学生在“几何对象的要素、相关因素的关系就是性质”的指导下，借鉴已有经验，通过连线、组图等得出圆的要素、相关要素，明确它们之间的关系以及圆与点、直线等图形之间关系就是要研究的内容，这个过程可以有力地培养学生发现和提出问题的能力．

问题2：我们发现，关于圆的性质，可以研究的内容非常丰富．类比三角形和平行四边形的研究过程，你认为我们可以按怎样的路径展开研究？

师生活动：先由学生独立思考、讨论，教师再引导学生确定研究的顺序：弧、弦的关系→弧、弦、圆心角的关系→圆心角、圆周角的关系→圆与点、直线、圆的关系→圆与三角形、四边形、正多边形的关系；从定性关系到定量关系．

设计意图：研究路径的构建是发展理性思维的重要契机，可以使学生养成有逻辑地思考的习惯，是学生自主探究、发现和证明图形性质的前提．

2.3 圆周角定理的发现与证明(2)章建跃,鲍建生． 深化课程改革，提高数学教育教学质量[J].中国数学教育·上半月(初中版)，2020(4)：9.

在圆的性质中，垂径定理反映了圆的轴对称性，圆周角定理反映了圆的旋转对称性．圆周角定理的发现过程体现出数学在培养学生理性思维上的力量，值得我们重视．如何提高学生独立发现性质的可能性，需要我们在教学设计中认真思考．

图9

师生活动：由学生动手作图，容易发现，圆心角是唯一确定的，而圆周角有无数个．

师生活动：由学生独立思考、讨论、交流，如果学生提出“圆周角所对的弧是同一条，要研究同弧所对的圆周角有什么特殊关系”、“同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系”，就让学生接着自主探究，否则继续提问．

追问2：同弧所对的圆周角有无数个．因为所对的弧是同一条，所以它们一定存在特殊的关系．由此你能提出什么问题？(同弧所对的圆周角有怎样的关系？)

同样的，因为这些圆周角与圆心角∠BOC所对的弧是同一条，所以它们与∠BOC也一定存在特殊关系．由此你又能提出什么问题？(同弧所对的圆周角与圆心角有怎样的关系？)

设计意图：上述问题及追问抓住“同弧”这一共性，采取从宏观到微观的递进式提问，从而给学生的思维以适度的挑战性．其中，“因为所对的弧是同一条，所以它们一定存在特殊的关系”、“因为这些圆周角与圆心角∠BOC所对的弧是同一条，所以它们与∠BOC也一定存在特殊关系”是从“一般观念”上进行引导的，为学生自主探究与发现提供了适当的认知台阶．

在探索过程中，可以让学生利用信息技术，让圆周角的顶点在圆周上运动，并观察圆周角的大小变化情况而得出猜想．

问题2：通过直观操作我们得出了圆周角定理的猜想，你认为应如何证明？

师生活动：先让学生思考、回答，如果学生不能发现证明方法，教师再进行启发式追问．

图10

师生活动：在信息技术的帮助下，学生可以自主发现当AB或AC经过圆心O时是一个特殊位置(如图10所示)，并且容易得出这时命题成立．在此基础上，可以让学生独立完成证明．

设计意图：通过适当提示，让学生在从特殊到一般的策略指导下，通过分类、化归等，独立开展猜想的证明．

对于圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系，以及圆的切线性质、圆幂定理等的教学设计要点，前面在讨论课程内容的选择时已经基本阐述清楚，这里不再赘述．

3 小结

纵观百年课改历史，传统的内容以精简为主.上世纪五六十年代的“新数运动”喊出“欧几里得滚蛋”的口号，使平面几何课程遭受灭顶之灾．我国上一轮课改也对平面几何课程动了大手术，必学的内容越来越少，而且一些看上去稍有难度的内容，或者采取“直观感知，操作确认”的方式，看一看、画一画、量一量就认为正确，或者干脆删除.笔者认为，这样的处理是比较草率的做法．事实上，类似于三个不共线的点确定唯一一个圆、直线与圆的交点最多只有两个之类的证明，恰是培养理性思维、科学精神的优良载体，而圆幂定理的探究过程也是发展学生创新思维、提升学生发现和提出问题能力的好素材．这些内容不让学生学习，导致学生对圆的性质的认识支离破碎，教学中取而代之的是那些人为制造的题目，浪费了学生宝贵的学习时间，真是得不偿失．所以，课程内容选择、教材编写与课堂教学应通力协作，要让学生学习真正的“四基”内容、有利于提升“四能”的内容．