浅析分析与代数中一些解题技巧的交叉应用

王昕阳

重庆师范大学数学科学学院

每一门数学学科都有其特有的数学思想，针对数学特性进行研究，可以真正掌握数学精神实质，只有充分掌握数学思想方法，才能使计算发生作用。初入大学的数学专业本科生会认为不同学科对应着不同的思维方式与解题方法，大多数学生只会将学科与其对应的解题方法进行联系。在数学分析和高等代数的学习中，将两者联系起来，才能真正解决数学分析疑难点，提高数学分析教学质量和教学效率，完成数学课堂教学目标，充分展现数学教学的重要意义。为了帮助数学专业本科生理解一些数学方法的相互关联使用，用本文将以具体实例来阐述一些技巧的交叉与应用。

一、利用数学分析技巧解决高等代数问题

易知每个非负实数都有唯一的平方根，我们将对于一般的半正定矩阵考虑其平方根的存在性以及唯一性。

例题2.1：假设A为n阶非负定矩阵，则存在唯一的n阶非负定矩阵B使得A=B2。

证明：首先证明存在性。先给出正定的定义，实二次型f（x1，x2，…，xn）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，cn都有f（c1，c2，…，cn）>0。因A为n阶非负定矩阵，根据[1]可得存在正交矩阵T以及对角上全为非负数d1，d2，…，dn的对角矩阵D使得

令F为对角矩阵D的主对角元素d1，d2，…，dn的根号值矩阵，

有B2=BB=T'FTT'FT=T'DT，即得B2=A。则存在性得证。

下面证明这个平方根的唯一性。假设存在另一个非负定矩阵C使得A=C2，然后证明两个非负定矩阵B、C为同一矩阵即可。以下我们从高等代数和数学分析的两种角度分别考虑。

根据T，S均为正交矩阵，通过观察A的特征值我们不妨假设di=li2，i=1，2，…，n。

高等代数方法：将A，B，C看做是n维欧式空间上的线性变换。设λ0为A的特征值，Vλ0为所对应的特征子空间，因此注意到AB=BA，AC=CA，可得Vλ0为B，C的不变子空间。记则易得B1，C1依然正定，并且，其中E为对应Vλ0上的单位矩阵，所以得到B1=C1。而A可以对角化，其所有特征子空间的基可组成整个线性空间的一组基，从而存在一组基使得B，C在其上作用相同，因此B=C。

数学分析方法：Stone-Weierstrass定理定义为闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近和闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

所以根据Stone-Weierstrass定理，存在一列实系数多项式

根据（1），（2）可得

进而对任意实系数多项式f（x）我们有

在上式中分别用fk替换f，并令k→+∞，我们可得B=C。证毕。

然而取一组多项式进行逼近是数学分析里的常规思路，事实上在代数的思想中，处理有限个数，通过范德蒙行列式表明，是存在一个具体的多项式G，使得i=1，2，…，n。因此，除了数学分析中的逼近思想以外，代数中取具体的多项式也可以得到一样的结果。

对于代数中常用的克拉默法则，如果线性方程组

的系数矩阵A的行列式，即系数行列式d=|A|≠0，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为，其中dj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b1，b2，…，bn所成的矩阵的行列式。在[1]中有习题，设a1，a2，a3，…，an是数域P中互不相同的数，b1，b2，b3，…，bn是数域P中任一组给定的数，那么用克拉默法则可以证明，存在唯一的数域P上的多项式f（x）=c0x（n-1）+c1x（n-2）+c2x（n-3）+…+cn-1，使f（ai）=bi，i=1，2，…，n。

以下我们再给出一个利用数学分析技巧快速解题的例子。

例题2.2：假设A是n阶<实对称矩阵。如果存在两个n维实向量X1，X2使得X1tAX1<0，X2tAX2>0，则存在非零的n维实向量X0使得X0tAX0=0 。

该例子为[2]中一个习题，在代数方法中我们一般会通过分别说明A的正惯性指数与负惯性指数都为正数，继而构造相应的X0，我们以下提供一个数学分析中应用介值定理的简易证明。

首先易见X1，X2线性无关，我们构造函数

f(t）=((1-t）X1+tX2)′A((1-t）X1+tX2)，t∈ [0,1]。

根据已知f(0)<0，f(1)>0且f(t）在[0,1]上连续，根据介值定理，存在t0∈(0,1)使得f(t0）=0。取X0=(1-t0)X1+t0X2，根据X1，X2线性无关，可得X0为非零的n维实向量且满足题目要求。证毕。

我们继续通过一个例子来说明代数与分析对于对象的结构刻画的不同。

例题2.3：假设A是n阶实对称矩阵，则存在c>0使得A+cE为正定矩阵。

证明：由于A是n阶实对称矩阵，所以显然对任意c>0，A+cE仍然为实对称矩阵。我们从特征值和所对应二次型的正定型两个角度来进行刻画。

高等代数方法：因为A是n阶实对称矩阵，所以它最多具有n个特征值均为实数，故存在c>0，使得对任意A的特征值λ，有λ+c>0。注意到λ为A的特征值当且仅当λ+c为A+cE的特征值。故A+cE的特征值全为正数，因此A+cE为正定矩阵。证毕。

数学分析方法：对任意n维实列向量x=(x1,x2,…,xn)t∈Rn，定义其长度为。易见映射x→xtAx为Rn→R的连续映射，则该映射在有界闭集上有界。记。故对任意非零n维实列向量。因此A+cE为正定矩阵。证毕。

二、结语

高等代数与数学分析虽为数学专业的两门基础课，但是这两门课却贯穿整个大学期间的数学学习，所以不仅仅要学好这两门课，更重要的是理解两者的区别与联系，对待不同的题目灵活使用最恰当的方法。对于两者的区别，前者研究出发点是基、变换与空间构造等；而后者研究的出发点是连续、极限、可导可积，以及各种数学变换等等。所以高等代数从整个空间着手；而数学分析更多研究的是空间内部元素的数理关系，元素是连续还是离散的，其变化率是否有某种规律，是否可求面积体积等。当然万变不离其宗，我们不要将两门课割裂了再学习，它们只是从不同的角度来看待数学的世界。高等代数关于空间的深刻研究，通过基和运算法则构造空间，同时可通过基的变换从不同的角度来描述空间，这正好对应了数学分析中各种的变换技巧。数学分析中所谓的技巧在高等代数的角度看来本质都是基的变换，只有对应不同的问题情境下采取最合适的一种技巧。

在解题过程中可以发现，利用分析的技巧可以解决代数的问题，而代数的方法比较能呈现出直观的代数结构，虽然分析方法在一些时候比较难以刻画问题的结构，但是通过局部的刻画，有时也能给出一些较为令人意外的结果。所以数学专业的学生无论面对哪门学科的题目，都应该学会从不同的角度看待问题，而不是拘泥于某一学科的固定的思路和方法。