渗透整体思想，巧解数学难题

马俊

整体思想是最重要的数学思想之一，也是优化数学解题的重要途径.在实际教学中，很多问题，如果从局部出发是很难解决的，而应用整体思想来解则会省去很多中间步骤，达到简化计算的目的.通过日常的研究以及实际教学经验，我对整体思想的应用方法进行以下总结，希望能为广大教师的教学工作提供借鉴.

一、整体代换，简化过程

审题时，我们首先关注的是已知条件以及求解内容.通过观察和对比，我们就可能找出已知条件和结论之间的对应关系，从而整体代换，达到简化计算的目的.

例已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值.

根据已知条件，可知有a、b、c、d四个未知数，也有四个式子，由此完全可以进行对a、b、c、d四个未知数进行求解.但很显然，这种方法的计算量是非常大的.求解时，由于已知条件给出的前3个式子中都有d2，那么a、b、c两两之间的差值就很容易求出来了.然后对结论进行变形：abc+bca+cab-1a-1b-1c=a2+b2+c2abc-bc+ac+ababc=12abc（2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab）=12abc[（a2-2bc+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]=12abc[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2].至此，结论已经转变成了可以根据已知条件简单转化的整体形式.由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，那么原式=12×24×（1+1+4）=18.

整体代换的适用范围非常广，大家一定要学会合理变形，实现条件和结论的双向转化.

二、整体变形，呈现规律

对于一些数值很大的计算来说，通过整体变形处理同样可以达到简化计算的目的.但变形也要通过观察和思考，按照正确的方法和方向进行，这样才能使整个式子呈现一定的结构和规律，否则就会适得其反.

如对于计算题99…9（2008个9）×99…9（2008个9）+199…99（2008个9），普通的计算方法是肯定不行的.通过观察，我们首先可以考虑将含“9”的式子加1，从而便于计算.

原式=99…9（2008个9）×[99…9（2008个9）+1]-99…9（2008个9）+199…99（2008个9）=99…9（2008个9）×102008+102008=[99…9（2008个9）+1]×102008=102008×102008=104016.

对于这个计算题，第一眼看起来是非常难的.但我们通过观察可以发现题中只用了0、1和9这3个数字.在我们日常做题和通常认知中，对于“999+1=1000”的用法是很熟练的，因此可通过这种整体变形呈现出整个式子的规律，最后再应用乘法分配律以及幂的计算进行求解.

三、整体配凑，特殊结构

对于有些特殊结构的题型来说，根据已知条件求解是无法实现的.但通过平方公式，我们能够将其进行整体配凑.这就要求学生不仅要背会平方公式，还要有进行“正应用”和“逆应用”的能力.

例已知a+2b+3c=12及a2+b2+c2=ab+bc+ca，求a+b2+c2.

在这道题目中，已知条件中有3个未知数，但只有2个式子，按照常规方法来说，显然无法分别求得a、b和c的值.继续观察.已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca可配凑为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0.由非負整式之和为0可知几个整式的值均为0，那么a-b=b-c=a-c=0，即a=b=c.这时候结合a+2b+3c=12可得出a=b=c=2.最终可求得a+b2+c2=10.

解这类题型时一定要注意3点：①按照常规方法，所知关系式个数小于未知数个数是无法求解的，但通过非负整式之和的配凑可得出三个未知数之间的关系.这对求解有很大帮助.②熟记平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2及（a-b）2=a2-2ab+b2，遇到这几种形式时一定要想办法对这种特殊结构进行配凑.③熟练应用“若几个非负整式的和为0，那么这几个整式均为0”的原理.当然，除平方外，根据题中的其他已知条件也可进行适当配凑.教师应当向学生渗透正确的思考方式，而不是仅仅进行知识的灌输.

整体思想的应用范围很广，是初中生必须要掌握的内容.通过总结，学生在面对问题时可以很明确地分辨解决方式和途径，不会再是无头绪的状态.最后，希望大家可以多花时间进行研究、探讨和理解，将整体思想真正变成自己解题的“法宝”.