二维质保政策下产品索赔差异调查决策

吴玉洁，刘子先，董方岐

(天津大学 管理与经济学部，天津 300072)

0 引言

在日益激烈的市场竞争环境下，受成本和时间等资源的限制，制造商无法进行完备的产品可靠性测试，部分产品可靠性问题会在消费者使用过程中逐渐暴露。在质保政策下，上述问题表现为一定时期内实际产生的质保索赔数量超过设定可靠性标准下的期望索赔数量，即出现产品索赔差异。因此,可通过对产品索赔数量差异的调查分析，判断产品的可靠性状态[1-2]。在实际中，由于产品索赔受多种因素影响，有些差异是由随机的、非可控因素导致的，如季节因素等[3]，这时采取调查行动会产生虚发报警[4-5]，产生不必要的调查费用；同时,由于产品索赔差异程度不同，对较小程度的索赔差异进行调查，产生的调查效果小于制造商花费的费用，得不偿失。因此，如何对产品索赔差异制定有效的调查决策成为制造商面临的重要问题。产品索赔差异调查决策是指以产品可靠性为基础，使用统计方法、决策分析等工具，对质保索赔数据产生的差异进行分析，制定是否对产品进行调查的决策。设计合理的产品索赔差异调查决策规则，对制造商降低成本、提高信誉、改进产品可靠性具有重要意义[4]。

1 文献综述

目前，已有学者以产品失效率函数为基础，通过构建监控产品索赔数量的控制图，实现对产品索赔数量差异的分析，从而解决产品销售早期阶段对产品受控失控状态识别的问题[4-7]。其中：Wu等[4]假设不同生产批次产品失效率相同，并通过相同批次产品的销售情况分配各调查阶段的误报警率，构建了多阶段控制图对产品索赔数量差异进行分析；Zhou等[5-6]考虑到各生产批次具有不同的失效概率，利用之前批次产品信息和上游供应链信息建立了含协变量的失效率模型，通过结合不同批次、产品不同使用月份的动态误报警率，构建了针对不同批次不同调查阶段的产品索赔数量控制图。在以上理论基础上，Dong等[7]在二维质保政策下，考虑消费者使用率的影响，对不同批次产品在各调查阶段上的索赔数量进行整体建模，建立了多阶段风险调整控制图，实现了对产品索赔数量差异的监测。

以上研究中，关于产品索赔差异的分析建立在例外原则基础上，对实际索赔数量与期望索赔数量的重要差异进行设定，进而依据产品的受控失控状态采取调查控制措施。其局限性在于仅考察了产品的失效信息，没有考虑调查产生的收益是否可以补偿调查耗费的成本。在开展产品索赔差异调查过程中，需要花费大量的人力、物力等资源，对于重视成本管理的制造商来说，调查成本不容忽视[8]，同时虚发报警造成的损失及对产品进行改进时产生的修正成本亦不能忽视[9]。对质保产品索赔差异调查决策的分析，还鲜有学者进行研究。其中二维质保产品索赔差异调查相较于一维质保产品难度更大，主要表现在以下方面：①二维质保产品的失效受使用时间和使用量两方面的影响，使得产品失效率函数、质保索赔数量的建模方法更加复杂[9-12]；②消费者使用习惯的差异使产品具有不同程度的索赔差异波动[13]；③前述因素使得调查成本、虚发报警损失及修正成本的计算变得更加复杂。随着市场竞争的加剧及消费者对质保范围的关注，越来越多的制造商为消费者提供二维质保政策，作为质保管理的重要环节，二维质保产品索赔差异调查的相关研究刻不容缓。因此，本文在以上背景下，以成本最优化为原则，对二维质保产品索赔差异调查决策问题进行研究。

目前，考虑调查成本、虚发报警成本、修正成本的差异调查决策研究为二维质保产品索赔差异调查开拓了新思路，在会计学、统计学、经济学等领域，已得到学者广泛关注。该类差异分析模型的基本原理是通过最小化期望总成本对调查行为做出最优决策，首先利用贝叶斯理论对状态概率进行修正，然后利用动态规划、马尔科夫等方法进行动态决策。Arrow等[14]通过获得的成本信息对系统状态的先验概率进行修正，通过建立考虑第一类错误和第二类错误的损失成本及调查成本，得到最优调查决策规则;Dyckman[15]在各报告阶段考虑了系统状态之间的马尔科夫转移，根据观察到的成本信息对系统状态进行贝叶斯修正，并通过权衡进行调查的成本和不进行调查造成的损失，得到决策规则;Kaplan[16]以长期运行成本最小化为目标，运用动态规划方法考察多阶段的成本差异调查问题，得到成本差异调查的临界状态概率;Dittman等[17]考虑两类错误及状态转移矩阵，得到系统状态的稳态概率，在此基础上对平均长期运行成本进行讨论，得出成本差异调查的临界成本阈值;文献[18-19]考虑到失控状态下期望成本的不确定性，采用马尔科夫方法和极大极小值方法对成本差异调查建立决策规则;Herath等[20]将成本差异调查模型应用于IT安全绩效评估决策模型的开发中，用以制定IT安全审计调查决策。

上述差异调查决策方法已应用到产品生产系统状态的研究中。在产品的生产阶段，可根据产品的质量变异情况考察生产系统的受控状态，建立调查决策规则决定是否对生产系统进行调查修正，进而保证产品的质量。薛丽[21]针对生产过程状态的变异情况，建立了考虑受控阶段的质量费用、失控阶段的质量费用、误报警造成的损失、修正成本的加权移动平均控制图经济模型;Nenes[22]针对存在两种质量变异模式的生产系统，通过贝叶斯理论对生产系统状态进行修正，并通过考察抽样成本、失控阶段的运行成本、误报警造成的损失和修正成本建立了多阶段经济模型，从而达到对生产系统的优化控制;Naderkhani等[23]将调查流程考虑为序贯决策问题，在不同时期设定不同的抽样间隔和抽样数量，进而建立失控状态阈值的调查决策规则;Wang等[24]设定调查周期期长，通过最小化周期运作成本、修复成本、调查成本，从而设定调查决策规则。

通过对上述文献的分析和总结，可以发现目前对产品索赔差异分析的研究主要基于产品失效信息，缺乏对调查成本、虚发报警成本、修正成本、质保成本的考虑。然而，对于同时重视质量管理和成本管理的制造商来说，上述因素缺一不可。关于考虑成本因素的差异调查决策已有大量研究，但在二维质保政策下，需考虑的成本因素构成与上述研究存在较大差异，同时质保管理阶段是消费者真正使用产品的阶段，能够产生更多实际的产品可靠性信息，因此有必要对质保管理阶段的质保索赔差异进行有效识别和调查。

针对目前文献对产品索赔差异分析研究的不足，本文提出一种新的产品索赔差异调查决策分析方法。在基于贝叶斯理论对产品失效率函数修正基础上，建立考虑调查成本、虚发报警成本、修正成本、质保成本的产品索赔差异调查决策模型。通过制定的调查规则能够从决策优化的角度实现对产品质保索赔差异的有效识别。

2 模型构建

2.1 质保数据来源

在制造业领域，产品质保数据提供了产品质量和产品可靠性相关的重要信息[9]。通过分析和挖掘质保数据，制造商可识别出由于设计、生产、零部件等因素造成的早期失效；也可以此作为预测未来索赔数量和索赔成本的基础，从而做出是否召回、停止生产的决策；还可以与竞争产品及不同生产流程的产品进行比较，评估产品的可靠性情况，从而制定合适的质保政策和维修策略[25-26]。本文旨在通过产品质保索赔数据差异分析，实现对产品可靠性问题的识别和改进。

质保数据由索赔数据和补充数据组成。索赔数据是指在质保索赔服务过程中收集的数据，包括质保期内产品失效情况数据、消费者使用情况数据、维修处理相关数据以及质保服务费用相关数据。只基于质保索赔数据不足以准确估计产品的使用可靠性，因此需要结合补充数据对质保数据进行完善。补充数据包括整个产品寿命周期的相关数据，根据产品寿命周期阶段，补充数据可分为产品设计研发阶段数据、生产阶段数据、市场营销阶段数据、批发商零售商数据等[6,27]。随着质保管理体系的完善以及信息系统的发展，将上述各类数据进行整合成为可能(如图1)，从而能够使管理者从系统的角度做出优化决策。

对于质保数据，可根据日历时间和使用时间来计量。采用日历时间时，产品是以实际的销售日期、故障日期建立数据结构；采用使用时间时，则以销售时点或是生产时点为起点建立数据结构[27]。本文以具有二维质保政策(W,U)的某批次产品为研究对象，以其第一次销售时点为起点，并以月为时间间隔，建立产品索赔数量的数据结构，如表1所示。

表1 产品索赔数据结构

2.2 二维质保索赔数据建模

产品失效建模是索赔差异分析的基础，对于二维质保政策来说，产品失效建模需要同时考虑使用时间和使用量两个维度。常用的二维失效率建模方法有双变量法、复合尺度法、使用率法3种，已有学者对这3种方法进行了详细的介绍[9,27]。使用率法是假设给定消费者的使用时间和使用量为线性关系，从而将二维问题转换为一维问题，其中多项式法和加速失效时间方法是常用的两种方法[28]。考虑到本文研究问题的复杂性及使用率法的广泛应用性，将对产品的失效过程采用加速失效时间(Accelerated Failure Time, AFT)进行建模。

使用率法假设给定消费者的使用率为常数，但是不同消费者之间的使用率不同，且服从概率密度函数g(r)。对于标准使用率为r0的消费者来说，其产品首次失效的累计概率密度函数为F(t:λ,β)，其中λ,β为标准使用率下的尺度参数和形状参数，则产品的失效率函数为

(1)

(2)

产品在第j使用月内的失效率为前j使用月内的失效率hj减去前j-1使用月内的失效率hj-1，

pj=hj-hj-1。

(3)

在二维质保政策下，在第j使用月(第Tj=j/12使用年)内，当消费者使用率r

hr(t)dtdr。

(4)

(5)

即

(6)

则第j调查月份内产品索赔数量为n时的概率为

(7)

2.3 基于贝叶斯理论对产品失效率函数进行修正

由于生产条件、不同批次所需原材料、机器设备、操作人员的不同，使得产品或部件的平均寿命不同[31-32]，即不同批次产品失效率函数不同。同时，由于新生产批次产品在销售初期获得的质保数据较少，因此只通过已有质保数据很难获得实际的产品失效率，可借助贝叶斯方法，结合之前批次产品的相关质保数据，对当前批次产品的失效率函数进行修正。

2.3.1 先验概率的确定

由于各月份下的产品索赔数量服从泊松分布，且泊松分布的共轭先验为伽马分布，同时不同批次产品失效率函数中的尺度参数是随应力变化的，形状参数是固定不变的[33-34]，因此本文将失效率分布中的λ作为随机变量，反映需研究批次产品的可靠性水平。将共轭先验伽马分布作为λ的先验概率，进行贝叶斯概率修正，使得后验概率也为伽马分布，从而能够简化对后验概率的求解[35]。当对某一批次产品在第一个调查月份进行分析时，含超参数k,θ的λ的先验概率分布为：

(8)

2.3.2 后验概率的确定

当观察到批次产品在第一个销售月份的销量N1及其在第一个销售月份的失效个数r1时，利用贝叶斯理论对λ的后验概率进行修正。首先建立极大似然函数：

(9)

基于极大似然函数对后验概率进行修正，可得后验概率为

(10)

(11)

在获得极大似然函数基础上，后验概率分布为

(12)

2.4 索赔差异调查决策模型

2.4.1 产品受控状态

在第j调查月份获得参数λ的后验概率分布Λj之后，可以得到调查批次产品的受控、失控状态。假设产品的受控概率为Sj(H0)、失控状态概率为Sj(H1)。根据文献[31,34,36]可得调查批次产品的状态概率为：

(13)

(14)

其中λ0满足产品的可靠性要求[33]：对于单个产品，其在质保期内的索赔数量rW≤N0的概率不应小于α，即

P{rW≤N0}≥α。

(15)

由于索赔数量服从泊松分布，则

(16)

满足上式最大的λ即为λ0，N0,α是制造商在产品设计之初设定的。设T=W/12，则质保期内产品的期望索赔数量

hr(t)dtdr。

(17)

2.4.2 相关成本建模

(1)调查成本建模

(18)

在考虑λ的后验分布时，进行调查的概率

(19)

设检查成本为cV，则总的调查成本

(20)

(2)虚发报警成本建模

(21)

设虚发报警成本为cF，则虚发报警的期望成本

(22)

(3)修正成本建模

(23)

设修正成本为cC，则发生的期望修正成本

(24)

(4)质保成本建模

(25)

(26)

其中a为调查决策，a=0表示第j阶段不进行调查，a=1时表示第j阶段进行调查。则该批次在售产品在j阶段之后剩余质保期内发生的期望质保成本

(27)

(5)总成本建模

产品的可靠性随时间发生动态变化，因此需要对产品可靠性进行长期监控和调查，并通过优化各个调查阶段的决策达到降低总期望成本的目的。当调查批次产品全部销售，且都出质保期时才停止对产品的调查。

(28)

(29)

2.5 最优调查决策规则的确定

3 产品索赔差异调查决策框架

通过上述步骤，本文提出产品索赔差异调查决策框架，如图2所示。在图2中，该框架能够实现对某一批次产品在其质保期内各个调查阶段的索赔差异识别调查，并对出现的差异采取修正措施，该框架具体步骤如下：

步骤5循环步骤3和步骤4，在第j+1阶段制定调查决策规则，并根据获得的产品索赔信息做出调查决策，直至需调查批次产品都达到质保期限。

4 算例分析

为更好地描述二维质保政策下产品索赔差异调查决策模型，本文采用汽车质保中的相关数据对模型进行展示，并考虑不同参数情境下调查决策规则的变化情况。

4.1 参数估计

本文以汽车某部件为例，该部件采取的质保政策为2年4万公里，当该部件在质保期内失效时，采取最小性维修策略。根据之前批次该部件的消费者使用时间及使用里程数据，对消费者使用率进行拟合，其概率密度函数满足形状参数为2，尺度参数为0.28的威布尔分布g(r)=0.16re-0.08r2。根据之前批次该部件的失效率信息和部件设计生产信息，获得λ的先验概率分布为Λ(λ,5,100)。加速因子γ=2，名义使用率r0=2。该产品设定的可靠性要求为：在2年质保期内，10件产品的期望索赔数量至多发生3次的概率应不小于0.9，即λ满足P{N≤3}≥0.9时，λ0=0.5。假设所要研究批次产品的总销量N=24000，调查批次产品在6个月完成销售。根据相关调查规则发现索赔数量出现差异时，对产品进行调查，调查成本为CV=2.4，可能产生的虚发报警成本CF=2。当通过调查发现产品确实存在可靠性问题，对调查批次产品进行修正的成本CC=10，若不进行调查，产品失效时发生的单个产品的维修成本C0=0.1,成本以万元为单位。

4.2 敏感性分析

威布尔分布中的形状参数决定了产品失效率函数的形状，当β=1时，产品失效率为常数；当β>1时，失效率函数为增函数；当0<β<1时，失效率函数为减函数。本文考虑3种不同的产品销售量情况。情境1：各月销量相同，即N1=4 000,N2=4 000,N3=4 000,N4=4 000,N5=4 000,N6=4 000；情境2：销量递增，即N1=3 000,N2=3 400,N3=3 800,N4=4 200,N5=4 600,N6=5 000；情境3：销量递减，即N1=5 000,N2=4 600,N3=4 200,N4=3 800,N5=3 400,N6=3 000。根据2.5节相关结论，利用MATLAB软件，建立最小产品索赔数量临界值，来分析各参数对调查决策规则的影响。

4.2.1β和成本因素对调查决策规则的影响

考虑具有不同失效率函数的产品在销量均匀分布情境下，不改变其他参数，分析各成本因素CV,CF,CC,C0对调查决策规则的影响。为直观观察各成本改变情况下调查决策规则的变化情况，本文以原有调查规则下产品索赔数量临界值为基准，获得各因素变化下的相对产品索赔数量，各调查月份内的相对索赔数量变化情况如图3～图6所示。从图中可以看出，与原有调查决策规则相比，存在两点不同：①产品索赔数量临界值不同(相对索赔数量不全为零)；②结束调查的时间点不同(图中实点之后的虚线表示成本改变情境下在该月份内不采取调查策略，※之后的虚线表示原情境下在该月份内不采取调查策略)。随着CV,CF,CC的增大，产品索赔数量临界值增大，且总调查月份变短；随着C0的增大，产品索赔数量临界值减少且总调查月份变长。这是因为,随着CV,CF,CC的增大，采取调查付出的成本变大，制造商更倾向于对失效产品采取维修策略；随着C0的增大，制造商对批次产品失效时的维修成本更加敏感，采取调查产生的成本相对减小，制造商更倾向于对该批次产品采取调查策略。同时还可以发现，对具有递减失效率函数的产品来说，其对调查成本和虚发报警成本的变化更加敏感。

4.2.2β和销量变化对调查决策规则的影响

保持其他参数不变，考虑具有递减失效率函数的产品，取β=0.5，分析3种销量分布情境下的产品索赔差异调查规则。图7所示为3种情境下产品索赔数量临界值的变化情况，图8所示为以情境1为基准，获得的产品索赔数量临界值的相对变化情况。由图7和图8可以发现：

(1)3种销量情境下，产品索赔数量临界值随时间的变化趋势相同，在前6个月，产品索赔数量临界值随着时间的变化而提高，在第6个月之后，产品索赔数量临界值随着时间的变化而降低。这是因为，在前6个月该批次产品都有销售，从而使得产品失效个数增加；在之后月份下，由于产品失效率有下降趋势，使得总体的产品索赔数量也具有下降趋势。

(2)在前4个月，情境3下的产品索赔数量临界值最高；第4个月之后，情境2下的产品索赔数量临界值最高。这是因为情境3下，前期的销量较多，且产品初期失效率高，使得情境3下的产品失效个数增加速度最快，则需要建立的产品索赔数量临界值越大；在第4个月之后，情境2下的期望产品索赔数量是3种情境下最多的，因此建立的产品索赔数量临界值也较大。

保持其他参数不变，考虑具有递增失效率函数的产品，取β=2，分析3种销量分布情境下的产品索赔差异调查规则。图9所示为3种情境下产品索赔数量临界值的变化情况，图10所示为以情境1为基准，获得的产品索赔数量临界值的相对变化情况。通过图9和图10可以发现：

(1)3种销量情境下，产品索赔数量临界值随时间的变化趋势相同，在前24个月，产品索赔数量临界值随着时间的变化而提高，在第24个月之后，产品索赔数量临界值随着时间的变化而降低。这是因为，在前24个月调查批次产品的失效率有上升趋势，使得总体的产品索赔数量也有上升趋势；在第24个月之后，最初销售的产品因达到质保期，使得产品索赔数量逐渐下降。

(2)在产品索赔数量临界值具有上升趋势时，情境3下的产品索赔数量临界值最高；在产品索赔数量临界值具有下降趋势时，情境2下的产品索赔数量临界值最高。这是因为，前期情境3下的销量最多，且当该批次产品全部销售后，情境3对应的产品失效个数最多，则需建立的产品索赔数量临界值越大；在第24个月之后，情境2下超出质保期的产品数量最少，则对应的期望产品失效个数是3种情境下最多的，因此建立的产品索赔数量临界值也较大。通过与具有递减失效率函数的产品相比，可以发现对具有递增失效率函数的产品，总调查月份更长。

保持其他参数不变，考虑具有常数失效率函数的产品，取β=1，分析3种销量分布情境下的产品索赔差异调查规则。图11所示为3种情境下产品索赔数量临界值的变化情况，图12所示为以情境1为基准，获得的产品索赔数量临界值的相对变化情况。通过图11～图12可以发现：

(1)在3种销量情境下，产品索赔数量临界值随时间的变化趋势相同，在前6个月，产品索赔数量临界值随着时间的变化而提高，在第7个月和第24个月之间，产品索赔数量临界值随着时间的变化波动较小，几乎保持不变，在第24个月之后，产品索赔数量临界值随着时间的变化而降低。由于失效率函数为常数，总期望索赔数量的变化只与调查批次产品的销售情况有关，在前6个月各情境下的销量均有增加，从而使得产品失效个数增加；在第7～第24月份之间，该批次产品全部销售且销售总量保持不变；在第24个月之后，部分产品到达质保期限，则随时间的变化在质保期内的产品总销量下降。

(2)在前6个月，情境3下的产品索赔数量临界值最高，在第24个月之后，情境2下的产品索赔数量临界值最高。这是因为，前期情境3下的销量较多使得产品失效个数增加速度最快；在第24个月之后，情境2下的期望产品失效个数是3种情境下最多的，因此建立的产品索赔数量临界值也较大。

4.3 案例研究

本文以某汽车制造企业某品牌汽车20××年××月的生产数据为基础，在该年度内采取的质保政策为2年6万公里，现针对某种失效模式，对其索赔差异建立考虑成本因素与不考虑成本因素的两种调查规则。其中，调查批次产品的失效率服从威布尔分布。产品的销量情况为：N1=4 622,N2=7 112,N3=3 867,N4=662,N5=183,N6=91，N7=35,N8=11,N9=6,N10=11,N11=3,N12=91。其他相关参数同4.2节。在此基础上建立考虑成本因素的产品索赔差异调查规则和不考虑成本因素下的总误报警率为0.1%的调查规则(如图13)，其中各调查月份下的误报警率分配方法参考文献[6]。从图13中可以看出，制造商根据调查决策规则作出对产品可靠性改进的措施，随着修正成本的增加执行修正改进策略的概率越小。当修正成本较大时，到达第7个月之后，制造商采取不对产品可靠性进行改进的措施；当维修成本降低时，到达第24个月之后，制造商采取不进行调查修正的策略。不考虑成本因素的调查决策规则与修正成本较小时的调查决策规则相比，其各调查月份内设定的产品索赔数量临界值较大，但此时如果采取调查措施，对制造商来说产生的损失可能更少。不考虑成本因素的调查决策规则与修正成本较大时的调查决策规则相比，其各调查月份内设定的产品索赔数量临界值较小，这种情况下，虽然产品出现索赔差异，但是此时造成的期望损失远小于采取调查修正措施所付出的成本，此时不宜采取调查措施，这样制造商产生的损失较少。

5 结束语

对产品索赔差异进行调查能够帮助制造商降低质保成本，提高消费者满意度。目前的产品索赔差异调查方法并未考虑调查成本、虚发报警成本、修正成本、质保成本对调查决策的影响。针对上述问题，本文在二维质保政策下，扩展了产品索赔差异调查的方法，通过以制造商总期望成本最低为目标，建立了产品索赔差异调查决策模型，确定了各阶段的产品索赔数量临界值。案例结果表明，与不考虑成本因素相比，考虑成本因素的产品索赔差异调查方法既能够保障对产品可靠性问题的识别，又能够降低制造商的成本。同时本文讨论了成本因素、产品失效率函数和销量分布对产品调查决策规则的影响，研究发现：

(1)随着调查成本、虚发报警成本、修正成本升高，各调查阶段产品索赔数量临界值增大，同时到后期阶段制造商倾向于不进行调查；随着维修成本的增大，各调查阶段产品索赔数量临界值减少，同时总调查阶段变长。

(2)具有递减失效率函数的产品，其调查决策规则的制定对调查成本和虚发报警成本的变化更加敏感。

(3)在批次产品总量一定的情况下，不同的销量分布对各阶段的调查规则影响也是不同的。以销量均匀分布为基准，销量递增分布情境下，相对产品索赔数量临界值由负变为正；销量递减分布情境下，相对产品索赔数量临界值由正变为负，转变发生阶段由产品的失效率函数决定。

(4)不同失效率函数的产品，最大产品索赔数量临界值产生的阶段不同。具有递减失效率函数的产品，最大产品索赔数量临界值产生在销售结束时的调查阶段；具有递增失效率函数的产品，最大产品索赔数量临界值产生在第W调查阶段；具有失效率不变的产品，在销售结束月份和第W调查阶段之间的索赔数量临界值最大且保持不变。上述研究为合理的制定产品索赔差异调查决策提供了有效的方法指导和理论支撑。

随着市场竞争的加剧，制造商将提供更具竞争力的二维质保政策，即质保政策不仅包括对质保时间和质保里程的设定，也包括不同的维修策略如预防性维修、修正性维修，以及不同的维修程度如最小性维修、非完美维修、完美维修。质保政策涉及内容的增多使得对产品索赔差异的调查也越来越复杂，在现有研究基础上实现对内涵更复杂的产品索赔差异调查决策进行研究是下一步的研究重点。