抽象函数的解题策略探究

摘 要：攻克抽象函数问题的关键是深刻理解并熟练应用函数的概念、性质等，做好这点，有助于理解和抓住抽象函数问题的本质。所以，抽象函数类型的试题也是考查学生对函数基本概念与性质的了解情况，以及考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养。近几年来抽象函数类型的问题受到了命题者的广泛青睐，因此，文章根据近几年的高考题的特点和教学实践中的尝试与探索，确定相应的几种解题策略。

关键词：抽象;解题;策略

抽象函数指的是在已知条件中没有将函数的具体解析式或其图像明确给出，但是只将该函数所满足的条件或特征做了介绍。通常涉及抽象函数的数学问题一般都会与函数的性质有关，如函数的单调性、对称性、周期性以及函数的定义域与值遇等等。在高考命题中，抽象函数问题出现的次数越来越频繁，而且有关的问题难度系数也较高。而因为抽象函数在特点上具有隐蔽性，导致许多学生在解答问题的过程中常常感到十分茫然，无从下手。因此，下文将结合抽象函数的特性以及在高中数学中学习到的四种抽象函数基本模型，对抽象函数的解题策略及规律进行归纳与总结。

一、 数形结合使抽象函数具体（直观想象）

在求解抽象函数问题的时候，数形结合思想是学生们经常用到的方法之一。这是由于数形结合思想能够把抽象函数中所给的已知条件转化为数学图形。这是从抽象到直观的过程，可以提高学生们对问题的理解力，而且在进行数与形的转化后，原本复杂的问题也变得简单了许多，甚至还会帮助学生减少问题求解过程的计算量。

应用数形结合思想于抽象函数中的重要条件就是抽象函数在函数图像上所表现出来的性质有周期性、奇偶性以及对称性等，这些特征可以促进学生对问题的分析。学生们可以通过绘制抽象函数图像的示意图，借助示意图将抽象的函数关系式变形象化，这样做的好处是可以减少推理，同时有利于学生观察和对比。

【例1】 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）<0的x的取值范围是（  ）

A. （-∞，2）B. （2，-∞）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）D. （-2，2）

解析：画出满足题意的示意图，可得答案D。

利用题目中所给函数的性质画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

二、 利用单调性定义使问题具体（逻辑推理）

分析抽象函数问题可以从函数的符号f入手，“穿”上函数符号f与“脱”掉函数符号f可以有助于函数问题的分析，这主要是由于函数具备單调性，所以在“穿”与“脱”之间实现了函数的简化，促进问题的解决。

【例2】 （2019全国3理11）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则（  ）

A. f（log314）>f（2-32）>f（2-23）

B. f（log314）>f（2-23）>f（2-32）

C. f（2-32）>f（2-23）>f（log314）

D. f（2-23）>f（2-32）>f（log314）

解析：f（x）是定义域为R的偶函数，所以 f（log314）=f（log34），

因为log34>log33=1，0<2-32<2-23<20=1，所以0<2-32<2-23

又f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（2-32）>f（2-23）>f（log314）。故选C。

而函数具备的性质还有对称性和奇偶性，其中，对称性主要可以分成中心对称与轴对称两种。在这两种对称中，分别有一个特殊对称情况，即中心对称的原点对称与轴对称中的y轴对称。通常我们在遇到这两种对称的时候，都称其函数为奇函数或者是偶函数。对称性与奇偶性也是高考中常常出现的抽象函数问题，如果学生们在选择或填空问题中，遇到该类型题时，可以结合具体问题做分析，并依照函数定义将已知条件转化为函数单调性上，做解答。所以，在求解抽象函数问题的时候，学生们还可以利用这两种性质可以将自变量转化到求解函数的单调区间中，再通过分析函数的单调性对问题进行求解。另外，根据抽象函数的定义，函数的定义域以及值域也可以作为求解抽象函数问题的方法。而当学生使用定义域或值域进行求解问题的时候，一定要注意函数自变量的取值范围，特别是在求解有关函数定义域与值域的问题中。

三、 类比模型使解题思路具体（特殊与一般）

在解决抽象函数问题中，还可以使用类比模型。何为模型？在数学中，依照题目中已知的数量关系进行大胆的猜想从而形成了抽象函数的原始模型，并将此作为目标猜想。通过分析模型函数具备的性质对求解问题的方法进行探索。特别是在求解抽象函数类的选择或填空题时，就可以使用类比模型进行作答，这可以帮助学生在答题中启发思路，同时还能起到一定的验证作用。

【例3】 （2018全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（  ）

A. -50B. 0C. 2D. 50

解析：由题意可设f（x）=2sinπ2x，作出f（x）的部分图像如图所示。由图可知，f（x）的一个周期为4，所以，f（1）+f（2）+…+f（50）=12×0+f（1）+f（2）=2，故选C。

函数图像双对称问题通常可借助正弦函数和余弦函数的图像及性质为模型来解题，从而化抽象为具体。从特殊转化到一般的数学思想，以及使用联想类比思想都能够帮助学生解决抽象函数问题。能够应用类比思想的函数模型有f（x+y）=f（x）·f（y），由于该模型的结构特征满足于指数函数，所以，如果学生遇到像这种函数的模型时，就可以类比指数函数的函数性质进行求解。再如函数模型f（xy）=f（x）+f（y），该模型结构特征满足于对数函数，所以学生在解决该类函数模型的时候，可以类比对数函数的函数性质进行问题的求解。由此可见，应用类比思想解决抽象函数问题的前提，就是要了解各种函数的性质特征，只有这样才会在解题过程中，挖掘出问题中所隐藏的已知条件。

【例4】 某函数f（x）是定义域为R的函数，它于任意实数x与y都可有f（x+y）=f（x）·f（y），并且在x1≠x2的时候，f（x1）≠f（x2）。求解f（0）的值是多少？并对函數f（x）的奇偶性进行判断，同时说明理由。

解析：当实数x与实数y均为0的时候，有f（0）=[f（0）]2，

因此，f（0）的值为0或者为1。

当f（0）的值为0的时候，由于f（x+y）=f（x）·f（y），假设x为0，y为1。那么就有f（0）=0。

这并不满足于已知条件在x1≠x2的时候，f（x1）≠f（x2），

所以，f（0）≠0。由此可知，f（0）=1（此函数正好满足指数函数图像中过点（0，1）的特点）。

又因为f（0）≠0，而函数的定义域又为R，

因此，f（x）并非奇函数。

且在x≠0的时候，-x≠x，f（-x）≠f（x），

所以，f（x）并非偶函数。

由此可知，f（x）不具备奇偶性。（指数函数恰巧也不具备奇偶性）

通过该问题可知，当学生在求解抽象函数问题的时候，如果已知条件中存在f（x+y）=f（x）·f（y），且函数的定义域为R的时候，就要考虑该函数可能为指数函数，这时候依照所学的指数函数性质及其特点就可以很轻松的解答出问题答案。

四、 赋值策略使问题具体（代换思想）

通常在求解抽象函数问题的时候，学生可以首先使用赋值这一策略作为解决问题的切入口。赋值就是依照着已知题目中给出的函数，对该函数的性质进行判断，同时把其具备的性质转化成问题的已知条件。再根据已知条件等式中把变量或者是特殊值代入到函数中，从而使问题得到解决。利用赋值策略的前提条件是因为通常抽象函数的表现形式是函数方程，所以，在求解这类函数问题时，学生可以给予变量一些特殊值或者是特殊式，这样也会促使问题的有效解决，并有着一定的规律性。

【例5】 若函数f（x）对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，则下列结论正确的是    。

①f（x）是周期函数;②f（x）是奇函数;③f（x）关于点（1，0）对称;④f（x）关于直线x=1对称。

解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），∴f（x）为周期函数。故①正确;

f（2）=2f（1）=0，∴f（1）=0，∴f（1）=f（1+0）=f（1）+f（0），∴f（0）=0。

令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）为奇函数。故②正确;

∵f（1+x）+f（1-x）=f（2）=0，∴f（1+x）=-f（1-x），∴f（x）关于点1，0对称。故③正确;

若f（x）关于直线x=1对称，则f（1+x）=f（1-x），∴f（1）+f（x）=f（1）+f（-x），

∴f（-x）=f（x）这与f（x）是奇函数矛盾，故④错，故正确的是①②③。

根据题目中的已知信息判断抽象函数所具备的性质，再将已知条件与结论进行有机结合，同时对其做适当的变形。这样我们就能够发现一个满足题意的详细函数，或者将变形后的函数进行变量赋值，使抽象的数学函数问题转化成具体数学问题，最终使问题得到解决。

上面结合实例介绍了四种抽象函数的解题策略，在实际解题过程中相辅相成。高中数学教学中，抽象函数既是教学重点，也是学生的学习难点，同时抽象函数也是大学中高等数学学习的基础，它充分地体现了数学学科的抽象性，同时体现了新课程、新高考对核心素养的考查，凸显高考的命题导向由能力立意转变为素养导向。因此，我们在实际的解题过程中要不断优化学生的解题策略，快捷有效的解决抽象函数问题，进而提升学生的数学核心素养，为学生的发展奠定基础。

作者简介：

游含启，福建省龙岩市，福建省长汀县第一中学。