把握拓展技巧 促进思维发展——例谈小学数学拓展课的设计与实施

江苏无锡市塔影中心小学 周孝丽

数学拓展课是基于课程标准、教材和学情，引领学生在动手体验、实践操作、研究思考、深度理解的基础上，不断增强数学学习兴趣，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，提升学科核心素养的一种教学形式。它可以是对教材中某一概念进行追根溯源的探究；可以是对某一重点、难点知识的深入发掘与开发；可以是对某一数学思想与方法的渗透、提炼与创新应用；还可以是与其他学科领域的整合与拓展，等等。相对于数学基础课程，数学拓展课在内容选取上有更大的灵活性、开放性与挑战性，因此更有利于培养学生的数学能力，激发学生的数学思维。

数学拓展课不是面向部分优秀学生的“小灶”，而是面向全体学生的“大众餐”。因此，在拓展课的设计与实施过程中，教师应该充分研究学情，研究课标，研究教材，精心设计拓展内容，巧妙策划拓展方式，积极导引全体学生投入学习、探究与发现，让探究课发挥其应有价值。三年级在学生认识了正方形面积后，为了进一步培养学生的探究能力，训练高阶思维，增强学习兴趣，笔者设计了“正方形的秘密”拓展课，收效显著。

一、立足现实生活，让拓展内容有“根”

1.从生活中“挖数学”

根据小学生的认知特点，小学数学教学应将数学知识与学生的生活实际紧密结合，从生活问题入手，使学生学起来自然亲切、真实形象，进而激发浓厚的学习兴趣，培养能力、发展智力，促进其综合素质的提升。因此，作为教师要善于把课堂教学内容与生活中的数学现象结合起来，发掘数学知识与生活的紧密联系。

（1）从熟悉的情境引出新知

把生活中的实际活动融入教学，会让学生有一种亲近感，学生在这种熟悉的情境中去尝试解决问题，同时也能快速走近教学内容。

师：（播放视频）这是《最强大脑》中一次魔方比赛的规则。同学们都玩过魔方吗？我们学校每年的艺术节也都有魔方达人的比赛。

师：刚刚视频中两次说到“三阶复原”，你知道“三阶”是什么意思吗？

生：魔方每个面都有3×3个正方形。

师：板书图形。

师：如果是一个2阶魔方，那它每个面又是怎样的？（板书图形）

师：不管是2阶还是3阶魔方，它们每个面都是用这样的小正方形拼成的。（板书图形）

师：要知道这两张图中分别有几个小正方形，你可以怎样算。（板书：？×？）

从一段视频展开教学，学生的学习兴趣一下就被调动了起来，然后教师将教学焦点聚集在视频中出现的魔方上，又紧紧联系学生熟悉的比赛，引导学生观察魔方每个面上小正方形的排列规律，从而为后面出示的数列埋下伏笔。

（2）从生活中找到数学原型

数学新课标指出：数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。小学生的智力还处于发展阶段，思维方式比较单一，生动有趣的问题情境不仅能激发学生的学习兴趣，还有利于渗透数学思想，培养学生的思维能力。

师：这条弧线就是斐波那契螺旋线，这样的图案在我们身边随处可见，如生存亿万年的鹦鹉螺，盛开的向日葵，人的耳朵。

师：这条曲线还受到一些设计大师的青睐，如苹果公司的logo，设计师在每个正方形内添加圆，形成斐波那契直径圆，并以此创新设计出了这个logo。

师：这种曲线最大的特点就是它的完美，所有的比例都显得恰到好处，让人看了身心舒畅。

欣赏生活中随处都有的这一条曲线，学生恍然大悟，原来数学跟生活竟然有这么多的联系，激发了学生发现数学美的热情。

2.在生活中“用数学”

学以致用，充分体现了学与用之间的关系。教师不仅要让学生学数学，还要让学生学会用数学，这就要求教师要注重培养学生的应用意识与应用能力。在教学中，鼓励学生把所学的新知识运用到现实生活中去，可以培养学生解决实际问题的能力，增强学生对数学价值的认识，激发学生学习数学的热情。

师：五一假期，周老师的闺蜜送了我一块桌布，我打开一看傻眼了，你们猜猜看，这是为什么？

生1：大小不一样。

生2：形状不同。

师：同学们观察得真仔细，猜得真准，厉害！（电脑出示：餐桌形状和餐布形状）

师：闺蜜的心意不能辜负，在不浪费这块桌布的前提下，你们能帮老师解决这个问题吗？

学生小组合作，讨论解决方法（如图所示）：

师：同学们刚刚通过画图想到了不同的解决方法，不同的拼接还形成了不同的优美图案，真是棒极了！不管是哪一种拼接，其实你们都是巧妙地利用了正方形的对角线，在不改变面积的前提下，把长方形转化成了正方形。

巧妙利用正方形的对角线，不仅可以解决数学问题，还能解决一些生活问题。在学生将数学应用于实践的过程中，创新意识和创造能力得到了进一步培养，学生看到自己的想法和作品得到肯定，那是一种满足和荣耀。更为重要的是，在用数学的过程中，学生对数学的深刻理解与全面认识又上升到了一个新的层次。

二、关注儿童经验，让拓展内容有“魂”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“教师教学应该以学生的已有经验水平和已有的经验为基础。”教师要依据新课标深入地研究教材的知识结构，结合学生的认知规律和现有的知识水平活化教材，使学生的知识和能力得到提升。关注学生的经验，适时提供获取经验的机会，拓宽获取经验的渠道，更好地发挥已有经验在学习活动中的积极作用，并能利用经验促进思维，使学生获得更多的经验。在关注学生经验的基础上，精心设计拓展内容，使其在拓展活动中得到新的发展与超越。

1.方法多样化——激活经验

师：要求正方形的面积，需要知道什么条件？

生1：要知道正方形的边长。

生2：正方形的面积=边长×边长。

师：如果现在在正方形里面画一条对角线，猜猜看正方形的面积跟它会有关系吗？

生讨论交流，汇报展示。

生1：我用了画图的方法。

生2：通过画图我发现正方形的面积=对角线×对角线÷2。

为了引导学生运用已有的知识去探索新知，教师可以让学生明确新旧知识之间存在的联系，并鼓励学生用画图的方法把新旧联系建立起来，从而得出正方形面积的不同解法。

2.巧用画图——优化经验

师：求正方形个数，除了用乘法表示，还能不能给它们涂涂色找到不同的表示方法？同学们试着找一找。

展示学生的研究材料。

师：像这样进行涂色，同学们就能找到不同的方法。

对于求正方形个数的问题，不同的学生有不同的学习经验和方法，在教学中让学生充分交流，并将计算方法逐步进行优化，从而促进学生数学活动经验的有效积累。相同的图形通过不同的涂色，居然还有不同的意思，这些数学学习技能都是建立在学生已有经验基础之上的，教师在教学过程中适当点拨，使学生拓宽了思路，积累了经验。

三、渗透思想方法，让拓展过程传“神”

小学生的身心特点决定了他们的学习特点，数形的结合正是帮助学生顺利完成从形象思维向抽象思维过渡的最好媒介。借助形的表象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，通过形与形之间的联系深入研究其特征规律，这也正是数学学习的本质。因此，教师要有意识地让学生学会画图，这不但体现数形结合思想，而且通过让学生尝试画图的过程，还能让数学变得生动、活泼和丰满，训练学生的思维，收到意想不到的教学效果。

1.数形结合巧渗透

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题策略的目的。

出示一组数列：1、1、2、3、5、8、13……

师：同学们，这组数列有规律吗？

生：1+1=2，1+2=3，2+3=5……

师：那这一组数列会跟正方形有关吗？

学生感到疑惑。

师：大家想一想，出示1、1、2、3，你发现了什么？把你们的发现在方格纸上画出来。

师：谁来说说为什么这样画？

生：这一组数列中的每一个数都是所画正方形的边长。

师：这一组熟悉的数列竟然跟正方形的边长有关，小小正方形还真是了不起啊！

对于抽象的数学概念，教师可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，以便学生对其进行分析和理解，这样的教学手段可以称之为“以形助数”。在这里通过画图把数列和图形之间的关系一下建立了起来，学生茅塞顿开，让数学学习变得更简单，同时对正方形的认识更深入。

2.形形结合妙关联

在解决问题时，根据需要我们还可以引导学生从一个图形想到另一个图形，从一个图形创设出另一个图形。

师：在正方形里面画一条对角线，你觉得正方形的面积跟它有关系吗？你能用画图的方法来说明你的猜想吗？

生1：我以正方形里面的这条对角线为边长，继续构造出一个正方形（如下图）。

生2：从图中可以很清楚地看出，现在构造的大正方形的面积是小正方形面积的两倍。

生3：根据正方形的面积=边长×边长，可以求出大正方形的面积=对角线×对角线，所以小正方形的面积只要再除以2就可以求出。

数学思想方法只有在反复运用中才能体现它的价值。从已知图形特征出发，学生通过剪拼、平移、旋转等数学方法，重新构造新的图形解决了原本不能解决的问题，实现了知识与知识、图形与图形之间的转化，提升了分析问题、解决问题的能力，同时也培养了学生思维的辨析能力和迁移能力。

四、发掘数学文化，让拓展课堂入“心”

结合教学内容，巧妙渗透相关的数学文化，不仅能够彰显数学文化的价值，还能充分发挥数学的育人力量。在教学“正方形的秘密”这一课时，教师除了教授了相关的正方形知识，还引入了两种数学思维方法，让学生感受了数学知识之神奇，激发了他们参与学习的积极性，让拓展课堂真正入心、入脑，让学生真正感受到了数学文化的永恒魅力。

1.“兔子数列”——感受数列之美妙

1、1、2、3、5、8、13……这一组数列，是有名的斐波那契数列，它是意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入的，故又称为“兔子数列”。

2.“完美正方形”——感受图形分割之神奇

数学家们一直在思考，能不能把一个大正方形分割成若干个不同的小正方形。如果存在这样的大正方形，那么这个大正方形就叫作完美正方形。在很长一段时间里，人们一直没有找到。直到1978年，荷兰数学家杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出边长是112的一个21阶的完美正方形，同时还证明了这是一个阶数最低的完美正方形。

结合教学内容，教师有目的地发掘与教学内容相关联的拓展知识来丰富课堂教学，切实改善了学生的数学学习境遇，同时也有效提升了学生的数学核心素养，为学生创造了一次挑战智慧的机会，也让学生真实地体会到知识发展过程中充满的创新精神和理性光辉。