交流异步电动机矢量控制系统数学建模分析

林海翔

（江苏联合职业技术学院扬州分院，江苏 扬州 225000）

交流电动机的型号较多，在暂态分析中，需要在一定的坐标系下构建交流电机数学模型。所选择的坐标系越合适，所建立的系统模型越精简，对控制系统进行模型分析时也更精准，尤其是对系统动静态特效分析时更为明显。研究分析所用到的交流电动机理论已经十分成熟。福提斯库提出了对称分量法、勃朗台尔提出了双反应理论、顾毓绣、派克的复数分量变换和旋转变换理论等。由于坐标变化和线性变化不会改变系统的物理特性，因此可以通过实时监控系统大简化三相电机的数学分析和控制。

1 交流异步电动机的数学建模分析

1.1 三相电机的模型分析

三相异步电动机的数学模型呈现出多变量、强耦合、参数不确定等特性。为简化交流电动机基本方程，通常会做如下假设：假设在空间上三相交流电机的定子及定子绕组呈120°分布。对转子部分，因同步电机和异步电机结构不同而分别阐述。为简化分析，先不考虑鼠笼结构或绕线结构，统一将异步电机的转子等效为绕线式转子后再全部折算到定子侧。折算后电机转子每相匝数相等。

由于同步电机直轴上存在励磁绕组，交轴上无励磁绕组，且交轴和直轴的磁路也不相同，如何将同步电机的转子进行模型简化比较困难。为了便于建模我们采用替代法，用交轴阻尼绕组和直轴阻尼绕组这两相不对称的绕组来代替进行分析。建立数学模型时考虑到三相交流电动机系统的非线性、高阶、强耦合等特性，通常先要作以下假设：

①三相绕组呈对称分布。

②各绕组的互感及自感都呈线性关系。

③不考虑电源频率、环境温度等因素影响。

④异步电机的结构为绕线式。

基于以上假设建立电机定子和转子的电压方程以及磁链方程。其中，转子及定子的六个绕组之间的互感分为两类：第一类由于定子绕组和转子绕组间的位置固定，三相间的互感是定值；第二类由于转子和定子的相对位置不断变化，任意一相的互感随角位移变化。

结合上述方程，再经微分方程分解可求得交流电机转矩方程与运动方程的数学模型：

1.2 坐标变换

交流电机是非线性强耦合系统，其数学模型具有时变性，通过微分方程进行求解非常困难。为简化系统并建立数学模型，可以选择合适的坐标系通过坐标变换来实现。

直流电机中励磁绕组通电时会产生主磁通，其磁通量取决于励磁电流的大小，当励磁电流一定时主磁通也保持恒定。此外，补偿绕组的磁感应电势可以消除电枢绕组产生的磁感应电势。由此可见，直流电动机的转矩大小由各个独立电枢绕组中的励磁电流及主磁通大小决定，所以直流电动机的转矩控制实现起来比较容易，也可以实现较好的调速性能。

在交流电机三相定子绕组中通上三相正弦交流电，其内部会形成一个旋转变化的磁势，沿气隙圆周360°范围内呈正弦分布。而除了三相交流电，在其他对称励磁绕组如二相、四相绕组中通入多相平衡对称电流，也会产生相应的旋转磁势。用二相来分析，以两相静止、空间相差90°的两相绕组来等效三相绕组。

在电机的分析中，针对x，y轴的定义方法不同并结合不同的应用场景，通常对x，y轴采用以下三种定义方法：静止α-β坐标系；同步d-q坐标系；随转子速度的“固定在转子上的d-q坐标系”。

在一套两相绕组中通入直流电产生等效的有大小、方向的磁链，将交流电机的数学模型等效为直流电机模型。通过对三种不同坐标系分析后发现，采用同步d-q坐标系对交流电机的数学模型进行描述时，可以把时变的交流电机微分方程等效成具有恒定系数时不变的方程，将所研究的问题大大简化。

为进一步简化交流电机数学模型，对三相交流电机在三种不同的坐标系上的数学模型进行研究。首先对交流电机进行分解，将定子和转子的转矩、电流、电压及磁链分别变换到三种不同的两相坐标系上，再用下标1代表定子各量，用下标2代表转子各量。

1.2.1 两相(α-β)静止坐标系下交流电机在的数学模型

在坐标系下的磁链方程为：

该坐标系下的交流电机数学模型主要适用于对电机在不对称运行状态下的研究，例如在系统采用电流型逆变器供电情况下对异步电机运行特性进行分析。

1.2.2 两相（d-q）旋转坐标系下交流电机的数学模型

分别对交流电机定子和转子电压、电流及磁链进行坐标变换，得到在d-q两相旋转坐标系下的电压方程为：

式中，ω1为定子旋转磁场的角速度，即同步角速度；ω1为转子旋转角速度；ω2为转子转差角速度，这种变换称为同步d-q变换。

1.2.3 两相（M-T）坐标系下交流电机在的数学模型

为了解决三相电系统中的强耦合问题，对d轴与旋转磁场的相对位置进行限定，可以得到M轴上iM1恒定不变时的输出转矩为：

其中：M轴上iM1是产生有效磁势的励磁电流分量，T轴上iT1是产生有效电磁转矩的电流分量，电机输出转矩直接受到这两个互不影响、各自独立的变量影响。将这两种分量看作直流电机的励磁电流和电枢电流，仿照直流机的控制方式实现对异步电机磁通及转矩进行有效控制。

2 三相异步电机矢量控制系统的建模

2.1 基本思想

矢量控制也称为磁场定向控制，是利用旋转磁场不变原则对定子绕组进行3/2坐标转换，依照直流电机的控制模型建立交流电机的控制模型。通过数学建模得到异步电机矢量控制基本方程：

从方程中可以看出，在矢量控制中电机定子电流被分解为两个互相垂直的分量iM1和iT1，其中励磁电流iM用于调节转子磁链，为磁链分量，电枢电流iT1用于控制电机转矩，为转矩分量。因此可得，矢量控制可以对原定子绕组电流进行分解，将对电磁转矩和转子磁链的控制独立进行，成功实现了解耦控制。

建立矢量控制的关键在于实现转子磁链平衡，矢量控制可以分为两类：直接磁场定向控制和间接磁场定向控制。直接磁场定向控制也称直接矢量控制，其模型中利用磁敏感元件对转子磁链进行定向；间接磁场定向控制又称为间接矢量控制，其模型中没有磁链调节器，而是依靠矢量控制方程进行转子磁链的定向。

2.2 间接磁场定向矢量控制系统

间接磁场定向矢量控制的基本方程式为：

该系统属于转差型控制系统，在变频器是V/F标量控制基础上改进得来，转差频率控制系统从稳态特性出发得出转矩Te。由推导得知转矩与转差频率ωs成正比，由I1=f（ωs）函数式得到磁通恒定，进而导出矢量控制器的数学模型，构成转差型矢量控制系统。该系统解决了V/F标量控制中的不足，较好地提升了系统的动态响应特性。

2.3 转子磁链观测模型

直接测量转子磁链难度很大，需要在系统中建立磁链调节器来实现磁通反馈形成闭环控制系统。同时要实现高性能的矢量控制，如何利用实际测量的物理量建立高精度的转子磁通观测模型是关键。查阅文献后发现实现的方法各有特色，这里举两个较为典型的例子来分析。

2.3.1 在α-β坐标系下的转子磁链观测模型

首先利用3／2变换将实际测出的三相定子电流等效变换到两相静止坐标系下，易得电流iα1和iβ1，再由矩阵方程得到转子磁链观测模型。这种模型构造简单，考虑到数字控制时各参数间存在交叉耦合，在模拟控制场合中应用较多。

2.3.2 在d-q坐标系下的转子磁链观测模型

利用3／2变换对实际测出的三相定子电流进行分解，再通过旋转变换得到M-T（两相旋转坐标系）下的电流iT1，iM1，最后代入矢量控制方程得出转子磁链的幅值ψ2及相位ρ。跟前一种相比，这种观测模型更适合于数字控制。

上述两种模型都依赖于T2和Lm，考虑到这两个电机参数是变量，所以这两种模型的控制精度也会受到影响，这也成为间接磁链观测法的主要不足。

2.4 直接磁场定向的矢量控制系统

为了进一步优化矢量控制系统，提高其动态性能，通过在系统中建立磁链调节器实现闭环控制来保持磁链的恒定。由于受影响的参数多，磁链观测器的精确度也会受到影响，存在反馈失真，所以磁链闭环控制系统也很难长期稳定在高精度状态。

为分析直接磁场定向的变频调速系统，现将转速控制和磁链控制都采用带反馈的闭环控制方式，该系统由磁链调节器、转速调节器、转矩调节器和转速传感器构成，称为直接磁场定向控制变频调速系统。系统采用了较先进的电流滞环型变频器，采用PWM脉宽调制方式控制，将电流调节器改用转矩调节器代替，可以获得较好的电流输出波形，其调速性能明显加强。

综上可见，矢量控制系统成功实现了在动态过程中对电机转矩的高精度控制，有效提升了系统的调速性能。与间接矢量控制系统相比，直接矢量控制系统中有了转子磁链调节器，可以更好地适应电机本身参数变化的影响，所以其控制精度和系统动态控制性能

都具有一定的优势。然而在解耦过程中系统模型对参数的变化较为敏感。考虑到异步电机是一个时变的对象，因此，在对异步电机控制系统研究中，怎样降低控制系统参数敏感性，如何提高控制系统的鲁棒性等问题还值得进一步深入探究。