高中数学排列组合解题技巧探析

2020-08-14甘肃省临夏回族自治州永靖县永靖中学

亚太教育 2020年12期

甘肃省临夏回族自治州永靖县永靖中学王龙

排列组合不仅是一种题目类型，同时也是重要的解题工具，学习排列组合首先要具备严谨的逻辑思维能力。但因为高中阶段学生的知识体系不够健全，考虑问题缺乏严谨性，因此在对排列组合问题进行解答的过程中很容易出现各种各样的问题，影响数学成绩。在数学试卷中，排列组合问题占据着极大的比重，因此要想提高数学整体成绩，必须将基础打好，牢牢掌握排列组合问题的解题技巧，灵活运用所学知识。

一、巧用插空法

插空法主要是对固定为主不相邻的排列组合问题进行解答，其使用条件限制不多，但在解题的过程中要注意先排列好特殊位置，之后在限制元素之间的两端或空位插入自由元素，以使某些元素不相邻的条件得到满足。例如这样一道例题：将3 位学生插入相邻而站的八位学生之间，要求每2个学生之间只可以插进1 个新同学，不能将之前8 位学生的排列顺序改变，请问有多少种排列方式？第一，先对固定元素进行考虑，不能改变原来8 位学生的顺序和位置，只需要对其他3 位学生的插空位置和顺序的排列组合方式进行考虑，注意不要将8 位学生两端的位置遗漏，如此便有9 个位置可以插孔。先用公式将从9 个孔位中选出3 个孔位的组合方式有几种计算出来，再把3 位新同学一共有几种排列方式算出，最后将两个结果相乘便将最终答案得出。这是一个十分具有代表性的插孔问题，只要学生掌握解题技巧，只需三个步骤便能准确计算出答案。

二、相邻捆绑

排列组合中有这样一类十分常见的问题：两个数字、两个人等必须紧挨在一起，或一个问题中借助分析发现大条件中必须有两种物品要相邻的问题。在对此类问题解答的过程中，若是把全部元素均看成独立的个体，之后再对相邻问题进行考虑，如此也可以得出结果，但效率不高，准确率也不是百分之百。运用相邻捆绑就很容易解决了，即把两个相邻元素看作一个整体后再重新排列，如此可以将很多步骤省掉，同时更有秩序性。例如：年终大会开始了，要将10 把椅子排成一排，经理和副经理要坐在一起，其他可以任意摆放，请问一共有多少种摆法？这是极具代表性的相邻问题，在解答的过程中借助大条件，我们可以发现最关键的一点是经理和副经理要坐在一起。在解答问题的过程中，可以把他们两个看作一把椅子，也就是排列组合九把椅子，如此不仅不会在解答的过程中每次都要对坐在一起的问题进行考虑，同时还能迅速把解答方向找到，借助简单的公式更迅速地得到答案。例如：7 个人站成一排，并且A 与B 之间需要相邻，C 与D 同样如此，那么总共包含多少种状况？这属于较为普通的捆绑类题目，采取捆绑法，学生能够将A 与B、C 与D 作为整体，进而简化成5 人排数问题，通过排列公式A55 能够计算出约有120 种状况。同时，捆绑元素能够实现自由排列，A 与B 排列存在着两种状况，即A22 种状况，C 与D 也是如此。如此一来便能够得到最终答案，即120×2×2=480（种）。对于上述题目，需要重视对捆绑元素予以正确的排序。同时可以运用“插空法”予以解答，对不相邻的元素实施插空处理。需要注意的是，在对捆绑法和插空法予以运用的过程中，应结合题目特点和运用难度，本题所运用的捆绑法属于简单类型。

三、优先处理特殊位置上的元素

数学问题中元素所在位置可能具有限制条件，在对排列组合问题进行解答的过程中，要先将特殊位置的元素找出来，列出它们的限制条件优先计算，防止因为计算顺序不正确或条件遗漏造成结果不正确。如这一类常见的排列组合问题：一个电话号码的最后三位模糊不清，已知它们是1、4、5、7、9 五个数中的三个不同数字，同时可以确定其中一个数字为9，请问，共有多少种排列组合方式？在这个题目中，9 为特殊元素，排列组合是要在不同的位置上放上9，基于此展开解答，不仅能节省答题时间，同时还可以防止遗漏计算结果。

四、运用排除法

排除法是最有效、最显著且使用频率最高的一种方法。一些问题从正面进行考虑，通常较为复杂，难以找到切入点，若是立足于另一个角度进行考虑，就会发现其实难度并不大，看到它的反面，之后再从整个问题中进行排除，就能轻松解决各个难点。例如这样一道问题：有20 个编号从1—20的球，其颜色和大小均相同，从中摸4 个球，但要求至少有一个球是1—4 号，请问一共有多少种抽法？若是正面考虑这道题，可能会受到一定的误导，我们会把问题分成几种情况，但立足于另一个角度看，所有问题就会变得非常简单，如此既能降低理解难度，同时还能节省时间。

五、打包寄送法

打包寄送法是对元素不同分组问题予以解决的主要方式，具体应用时涉及打包与寄送两个方面。对不同元素进行分组的过程中，需要通过正整数的方式对元素个数予以分析，并通过排列组合对全部的分组状况进行计算，并对其予以汇总相加，此种分组方式就是打包法，就打包法之中的各个组别而言，均需要分到最少一个元素。寄送法则指的是把不同元素分到不同位置，确保每个位置均有一个元素。打包和寄送结合在一起就形成了打包寄送法，其特点在于分发元素并不同质，需要通过以下两个步骤进行计算：其一，打包，把N 个不同元素划分成n 组，秉承“打包计数先分解，对照分解写组合，组合相乘做分子，同数全排做分母”的原则；其二，寄送，将N 个不同元素寄送到N 个不相同的部分，确保每个部分均有一个，原则为“寄送问题想简单，进行全排就可以”。比如，把6 位同学送到3 个地方，每个地方最少去一名同学，那么总共有多少种安排方式？在解答的过程中，打包分组总共有90 种方式，寄送则有6 种方式，结合分步原理能够得出，安排方式总共有90×6=540 种。

六、画图法

部分排列组合问题存在着诸多的细节，学生对这些细节进行处理的过程中，极易忽略题目中存在的相关条件，进而出现做题错误的情况。画图法是一种解决问题的良好方式，其能够对题目中存在的细节进行有效的还原。例如，35 个人围成一圈，那么总共有多少种方式？部分学生面对此问题时，会认为其属于例题2 的简化，但运用图画（如下图），就会发现并非如此。

将围成一个圈的状况画成排列为一条的状况，可发现此题目不存在首位分别。所以，答案不是A55，而是A44，即总共有24 种状况。

七、挡板法

就挡板法而言，其主要是用来解决同质元素分组问题。对相同元素进行分组的过程中，需要把元素依次摊开，并在空隔中将需要的个数选出来，插入挡板，进而把元素分成若干个部分，挡板法获取到的每个组最少存在一个元素。对挡板法予以灵活运用，可以对部分较为复杂的排列组合问题进行处理。在具体运用的过程中，需重视分组元素的一致性，每组均“非空”，因此每组之中最少要存在一个元素，避免出现剩余元素。例如，把10 张电影票分给3 个人，每人最少需要得到1 张，总共存在多少种方式？把10 张电影票摊开，形成9 个空隙，需要分成3 段，并在9 个空隙中插入两个挡板，那么不同的方式有C29=36 种。