泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨

刘艳

[摘 要]泰勒（Taylor）公式可以用来计算比较复杂的函数极限，通过典型例题对利用Taylor公式求极限的方法进行探讨，总结出技巧性更强、解题效率更高的求解函数极限的方法。

[关键词]泰勒公式;函数极限;方法

[作者简介]刘 艳（1991—），女，江苏淮安人，理学硕士，南京工业大学浦江学院基础部讲师，主要从事非线性分析研究。

[中图分类号] O13[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）28-0328-02[收稿日期] 2020-02-10

一、引言

极限是高等数学课程中一个重要的知识点，极限的引入也为高等数学中许多重要的概念奠定了基础。因此，在理解极限概念的基础上，能够熟练地掌握其计算方法显得至关重要。

極限的计算贯穿整个高等数学课程，常见的方法有：①利用极限的定义及其四则运算法则法;②约去非零因子法;③夹逼准则求极限法;④利用单调有界准则求极限法;⑤利用等价无穷小性质和等价替换法求极限;⑥利用两个重要极限求极限法;⑦洛比达法则求极限法;⑧利用Taylor公式求极限法等[1]。虽然以上方法均可以用来对函数的极限进行求解，但有针对性地选择计算方法可以提高做题效率，因此方法的选择显得极其重要。对于满足一定条件的未定式，比如：型、型、型、型、型、型和型等，洛比达法则是比较常用且通用的方法。但是，对于一些比较复杂的函数极限，若使用洛必达法则对分子分母同时求导，反而使式子更加复杂[2]。针对这一类极限，Taylor公式则表现出一定的优越性，下面将对利用Taylor公式计算型和型极限的方法进行探讨。

二、带皮亚诺余项的n阶泰勒公式

定理[3]（P82-86）设f（x）在含有x0的开区间（a，b）内具有直到n阶的连续导数，则当时，有

由1、2和3可知，若将Taylor展开到x的4阶以下，无法求出正确的极限;若将Taylor展开到x的4阶以上，虽然可以正确地求出极限，但x4后面的更高阶的因式与x4作商均为0，无计算的必要，所以将展开到x4这一项最合适。由例1可以得到以下结论。

结论1 利用Taylor公式对形如

的型未定式求极限，遵循“上下同阶原则”，即将f（x）展开到与分母同次幂的项xk即可。

（二）利用Taylor公式求解形如的型极限

分析式（10）和（11）可知，在sin x和1n（1+x）的展开式中，第一项x前面的系数相同，从第二项即x2开始，前面的系数不同。当二者作差时，只需将sin x和1n（1+x）展开到系数不相等的x2即可;若继续展开，虽能够求出函数极限，但后面的项与x2作商，极限均为0，浪费了大量的精力。因此，由例2可以得出以下结论。

结论2 对形如的未定型求极限，需遵循“幂次最低原则”，即经过通分，将分母上的f（x）和g（x）展开到它们系数不相等的x的最低次幂即可。

四、小结

本文通过例题探讨了利用Taylor公式求解型和型两类未定式函数极限的方法，对将函数进行Taylor展开时如何展开和具体展开到第几项进行了分析，并给出了结论。对形如的型未定式求极限，需遵循“上下同阶原则”;对形如的未定型求极限，需遵循“幂次最低原则”，总结出技巧性更强、解题效率更高的利用Taylor公式求极限的方法，以达到快速求解复杂函数极限的目的。其他形式的未定式，经过转化若符合条件仍可使用本文得出的结论进行求解。

参考文献

[1]杨雄.极限计算方法的探讨[J].萍乡学院学报，2018，35（6）：8-12.

[2]袁利军，曾静.泰勒公式在极限计算上的应用[J].课程教育研究，2017（21）：246-247.

[3]颜超，单娟.高等数学（上）[M].北京：人民邮电出版社，2017： 82-86.

Discussion on the Method of Taylor's Formula in the Calculation of Function Limit

LIU Yan

（Pujiang Institute， Nanjing Tech University， Nanjing， Jiangsu 211100， China）

Abstract： The Taylor formula can be used to calculate the more complex function limit. With typical examples， the method of using the formula to find the limit is discussed， and the method of solving the function limit with more skill and higher problem solving efficiency is summarized.

Key words： Taylor formula; function limit; method