基于翻转课堂的大学与中学微积分的分化与整合

牛向阳，倪前月

（1.阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037；2.阜阳市第二中学，安徽 阜阳 236032）

随着时代的发展，数学教育体系在内容上有着多方面的改革，其中一个方面是高师数学分析的部分内容被纳入于中学微积分中[1]。这种改革顺应社会的发展，然而实效并不明显，部分中学生在学习微积分时处于被动、陷于茫然，部分高师院校的学生在学习数学分析时理论不清、不得甚解。翻转课堂作为一种基于网络信息技术的课堂教学模式，是当代教育的一种自适应性变革[2]。为了实施素质教育，更好地学习中学微积分，为了培养具有扎实高师数学分析功底的、能胜任中学数学教学的师范生，下面在分析中学微积分与高师数学分析课程教学中存在问题的基础上，研究微积分教学的翻转课堂模式，探讨如何对高师数学分析与中学微积分进行有效地分化与整合，如何对重叠内容进行有效地衔接。

1 问题分析

高师与中学微积分内容的分化与整合是个重要研究课题，基于不同的培养目标与教学模式，这两门课程改革多数研究是在各自的领域中进行[3-6]。一方面，在新课标体系下高师数学分析课程自身存在着课时压缩与内容深化间的重重矛盾，数学分析课程教学目标由传统转变为现代（使学生在获得数学分析基础知识和理论的同时，获得现代数学的思想和方法，能运用数学软件及多媒体技术实现各种技能)[7]。“现代教学目标”对教学及教材均提出了更高的要求，但通过比较可以发现，现有的数学分析与中学数学教材仍有许多重叠与遗漏的内容。部分学生由于学过了微积分，从而在学习数学分析相关重叠内容时，可能会因为新鲜感缺乏造成学习兴趣不高，学习不够深入，从而导致基本理论掌握不够，定义及定理理解不清，在实分析等后继课程的学习时存在困难。另一方面，中学数学新课程标准规定微积分内容纳入到高中数学课程中[8]，由于高师数学分析与中学微积分内容有部分的重叠与遗漏，在中学阶段，微积分讲授了什么，讲授到什么程度，如何做到与高师数学分析内容进行很好的衔接，是大学一线教师面临的问题。而部分中学一线教师对中学微积分的教学内容深浅程度把握不当，对高师数学分析的特点理解不深，使得中学微积分与高师数学分析间不能得到有机的接轨。目前，关于大中学数学教学改革的研究取得一定进展[9-12]，但结合多媒体技术与现代信息技术对高师数学分析与中学微积分进行分化与整合的成果不多，如何提升学生的数学核心素养，实施分层次差异性教学，仍有待研究。

2 翻转课堂的教学理念与模式分析

翻转课堂由Flipped Class Model或Inverted Classroom翻译而来，称为“反转课堂式教学模式”，简称“反（翻）转课堂”,它是依据多媒体技术，教师课前提供教学视频，学生观看视频，完成课前任务，教师课上让学生分组讨论，教师最后归纳反馈等教学活动的新型模式[13]。

翻转课堂以先驱组织者理论为基础，让学生进行提前学习；以建构主义理论为基础，让学生将外部信息内化，改变自己的认知结构；以掌握学习理论为基础，让学生有足够的时间掌握所学内容；以自主学习理论为基础，让学生进行个性化的自主探究，依据金字塔理论，翻转课堂实现了读、听、看、说、做的结合，是种高效的学习方式[14]。在翻转过程中，学生既可以观看视频进行独立学习，也可以通过课堂讨论进行合作探究，既有网络线上交流，也有课堂线下学习，满足不同学生的学习目标和习惯[15]。翻转课堂模式激发了学生的学习兴趣和主观能动性，教学变得灵活主动，具有时代性和实践性，有助于课前课堂上的反馈评价，有助于知识的拓展与延伸[16]。与传统的教学模式相比较，翻转课堂具有尊重个性、因材施教、问题导向、有效互动、扩大容量、超越时空等优势[17]。基于以上特点与优点，近年来翻转课堂模式研究增多，尝试于不同课程的教学中。

3 高师数学分析与中学微积分分化与整合

结合国内外的研究基础[18-20]，根据多年积累的教学实践经验，我们设计表1所示翻转课堂教学模式。

表1 翻转课堂教学模式

高师数学分析和中学微积分是个整体，二者应以学生的发展为本统一规划，进行有效整合，对于重叠部分进行分化，对于缺漏部分（如反三角函数、三角函数的和差化积、极坐标）进行填充。从学生的思维训练与能力提升的角度，二者均在不同程度上有所体现，但侧重点不同，中学微积分应注重学生逻辑思维的训练、运算技能的培养和人文情怀的熏陶，高师数学分析则应注重学生抽象思维的训练、教学实践的锻炼和创新能力的培养。下面根据上述翻转模式的三个阶段,探讨如何对高师数学分析与中学微积分进行分化与整合：在课前实施阶段，基于不同阶段学生的特点和培养目标，在视频制作和作业设计上，中学微积分以直观情景和数学文化入手，配上适当的例题，以便于精讲细练，注重于培养学生的直观想象的数学核心素养，高师数学分析以极限思想、科技前沿和教育实践入手，配上经典的定理，以便于进行理论分析，注重培养学生的数据分析的数学核心素养；在课中实施阶段，中学微积分以学生的动手操作和精准运算为主，注重微积分的发生过程与初步应用，注重培养学生的数学抽象与数学运算的数学核心素养，高师数学分析可利用众多的线上资源，以学生的理论学习、理论研究和技能锻炼为主，注重微积分的发展过程和理论实际应用，注重培养学生逻辑推理的数学核心素养。在成果展示的过程中，中学教师应注重学生不同求解方法的展示，高师数学分析应注重不同理论的探究和“三字一话”的锻炼；在课后实施阶段，学生数学建模的数学核心素养培养程度有所不同，中学微积分的知识延伸中应展示高师数学分析相关内容、阐明大学中学微积分漏缺知识，让学生进行简单直观的数学建模，理解数学建模的思想，促使其学习掌握CAI与CAD软件，高师数学分析的知识延伸中应展示中学微积分的相关内容、补充大学中学微积分漏缺知识，让学生进行相对复杂的数学建模，领会数学建模的理论，促使其学习掌握Matlab和Mathmatica软件[21]。以上三个阶段的实施，不仅将大学中学微积分的思想、理论、发展、应用、文化等信息融为一体，而且根据不同阶段学生素质教育环境下的学习需求和接受能力，从多个方面进行了有效分化。这样的分化与整合不仅让中学生在初学微积分时兴致高昂，从应用中体会它的魅力，而且让学生在高师阶段不会因为内容的重叠而感到乏味，反而会随着内容深度与广度的拓展而逐渐掌握微积分的真谛。

4 基于翻转课堂的导数定义教学实例

对于导数这部分知识，现有的教材有如下内容：高中数学选修2-2包含变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例等4块内容[22]，华东师范大学编写的数学分析上册包含导数的概念、求导法则、参变量函数的导数、高阶导数、微分、中值定理及其应用等6块内容。导数内容在定义、计算、应用等三个方面有所重叠，也存在遗漏（反三角函数及其导数）。我们对内容设计如下分化与整合：一是根据数学思想源于实际，中学内容应增添导数产生的背景及应用，大学内容应增添导数的发展历程及影响；二是根据学生不同阶段认知的特点，中学删去导数为差商的极限这种概念，补充导数的物理定义与几何定义，删去导数的近似计算，补充光滑曲线与不可导点概念，大学补充导数的近似计算，删除导数的物理与几何意义；三是根据应用的需要，由于高考内容涉及函数的单调性与最值等内容，而这部分内容常常根据二阶导数可以得到简便求解，因此中学应补充二阶导数的定义与应用，大学删去二阶导数及导数在单调性与最值中的实际应用，保留理论的分析。这样的分化与整合，不仅满足中学生的逻辑思维能力、基本运算能力的培养需要及大学生抽象思维能力、综合分析能力的培养需要，同时使得中学大学内容有效衔接，合二为一，方便教学，便于研究。目前关于导数概念的教学有许多研究成果，为确保学生在教与学中的主体地位，促进师生互动和学生间的沟通交流，提升学生的综合素质与实践能力，分化高师数学分析与中学微积分对导数教学与学习的不同目标，实现课程内容的有效衔接，根据概念教学的“4R规则”（图形、文字、数值、代数）与 APOS（activity,process,object,schema）理论，结合构建的模式，可进行表2和表3的翻转设计。

表2 高中导数概念的翻转课堂教学设计

表3 大学导数概念的翻转课堂教学设计

5 小结

我们在探讨数学核心素养的基础上，研究翻转课堂的教学理念及先驱组织者、掌握学习、建构主义等基础理论，构建基于翻转课堂的微积分教学模式，结合概念学习的“4R准则”及APOS理论，对导数概念进行翻转课堂设计。翻转课堂模式能够实现以生为本的教学理念，能够实现高师数学分析与中学微积分的有效对接，能够实现信息技术与数学教育的深度融合，对学生激发学习兴趣、提高探究能力、培养数学核心素养等方面有所裨益。这种生成性开放式课堂模式对于专任教师的专业文化素养和教学理念的转变是种挑战。这种模式的实施需要大学中学一线教师、实习见习教师的协同研究，需要课程教学实施者的艰辛付出，需要教育部门、教育研究者、网络建设者、学校师生和学生家长等方面的共同努力。