直线与平面平行的创新教学设计

◇ 山东 姜连娜

“直线与平面平行”是人教B版《必修2》1.2.2的内容.本节的重点内容是对直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究、归纳与理解,难点是如何由平行公理以及其他基本性质,推出空间线面平行的判定定理和性质定理,并掌握这些定理的应用.

本文对教材内容进行了重组,通过生活中的实例,得到了直线与平面的三种位置关系(通过房门的开关以及动手操作梯形卡片让学生自己构建得到结论).最后通过逻辑推理得到了直线与平面平行的判定定理,并让学生运用所得的结论解决问题,培养了学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象的能力.

1 课标要求

1)通过直观感知、操作确认,归纳出线面平行的定义及判定定理;

2)能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.

2 学习目标

1)通过对图片、实例的观察及实物操作,能正确阐述直线与平面的位置关系;

2)通过直观感知和实验演示,猜想、归纳出直线与平面平行的判定定理,并能正确辨析定理的条件和结论;

3)通过对例题及变式训练的学习与迁移应用,能正确运用判定定理和性质定理证明空间位置关系的简单命题,增强空间想象能力.

3 教学方法

本节课需遵循从具体到抽象的原则,教师应适当运用多媒体辅助教学,引导学生借助实物模型,通过直观感知、动手体验、操作确认等方式,归纳出线面平行的判定定理和性质定理.结合教材的特点,为了充分调动学生学习的积极性,在课堂教学中应采取“问题探究式”的教学方法.学生在问题的带动下,主动进行思考,经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程,体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想和方法在解决问题中的作用,发展学生的合情推理能力和空间想象能力.

4 教学过程设计

课前准备：教师准备硬纸板、毛笔、笔帘、答题卡、导学案,学生需要准备习题本、直尺.

4.1 直线与平面的位置关系

通过观看一段小魔术,提出问题：假定魔术棒代表直线a,它与手面、桌面、墙面分别是什么位置关系?引导学生从直线与平面交点的个数分析,从而得出直线与平面的三种位置关系及符号表示,再通过多媒体展示,使学生更直观地理解这三种关系.直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点,由于直线是无限延伸的,平面是无限延展的,要说明二者没有公共点不容易做到,从而引出新的问题,即如何证明直线与平面平行.

设计意图：魔术作为课堂的引入,能充分调动学生的兴趣和积极性,把数学融入生活,让学生寻找生活中的直线与平面平行的实例,并为后续讲解判定定理进行铺垫.

4.2 直线与平面平行的判定定理

通过我们熟悉的生活实例——关门开门,设计一系列的问题：“门的两边是什么位置关系? 当门转动时,门转动的一边a与门框所在的平面α是什么位置关系? 当门关上的时候,门转动的一边a与门框所在的平面α是什么关系”等,引导学生思考,得到直线与平面平行、直线在面内的相关结论,从而提出问题：“当直线满足什么条件时,直线与平面是平行的?”再通过动手实验,让学生自己动手操作来答疑解惑.例如,学生用答题卡自己动手制作一个直角梯形,小组合作,当梯形的一条底边在桌面上,转动梯形,则另一条底边所在的直线和桌面是什么关系? 当梯形的一条腰放在桌面上,转动梯形,则另一条腰所在的直线和桌面是什么关系? 学生小组合作,得到了不在平面内的直线和平面内的直线平行则直线和平面平行的结论.此结论是学生通过数学抽象得出的结论,而数学是严谨的,再引导学生思考如何证明这个结论.不在平面内的直线是指直线与平面要么平行要么相交,新大纲删除了反证法,因此可以采用问题探究的方式,若直线与平面相交推导出两条直线是相交的,与已知两条直线平行矛盾,降低了逻辑思维的难度,使学生可以逐步解决问题,从而得到直线与平面平行的判定定理.师生共同完成定理证明,指导学生正确使用符号语言,从而引出了定理的文字语言、图形语言、符号语言.在概念辨析中采用抢答的方式激发学生的学习热情,进一步加深学生对证明线面平行必须具备的三个条件的认识,避免了学生进行推理论证时不严谨的现象.

设计意图：通过多媒体展示直线无限延伸、平面无限延展的现象,学生更容易理解可以用定义判断线面关系,但不方便,由此引发探索判定定理的需要.(开门见山地引出课题,聚焦研究中心,提高课堂教学效率.)引导学生根据直观感知以及已有经验进行合情推理,获得判定定理.设置这样动手实践的情境,是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么,领悟空间图形的性质.

定理的发现采用“直观感知—操作确认—归纳提炼”的过程,让学生清楚地认识到线面平行的关键因素,让学生在自主探究和合作中,通过问题引导思维逐步深入、层层设问,降低了证明的难度,学生容易理解.

4.3 直线与平面平行的性质定理

学习了直线与平面平行的判定定理,利用逆向思维,若直线与平面平行会得到什么结论呢? 利用问题开门见山,指出了探究的方向.利用学生生活中的实例钢笔,把钢笔看成一条直线,平行移动钢笔保证钢笔所在的面是一个平面,当钢笔的一端与桌面重合时,平移钢笔,得到的直线与钢笔另一端得到的直线平行.还可以通过问题引导层层设问,引导学生思考,通过小组讨论最终得到定理的证明.(思考1：如果直线a与平面α平行,直线a与平面α有没有公共点?思考2：直线a与直线b有没有公共点? 思考3：直线a与直线b都在平面β内吗?)

图1

设计意图：要找到平面内的直线,必须先找到经过已知直线的平面,通过钢笔的平行移动,构成一个平面,学生容易理解实物演示在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.教师通过问题引入,引导学生选择适当的方法证明.学生小组讨论,教师巡查小组讨论情况,可以适当地指导,保证每一位学生都参与其中,最后由小组代表发言,师生共同探讨.

本节课的教学设计充分体现了《普通高中数学课程标准(2017年版)》的课程理念,通过创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.采取不同的教学方式,激发学习数学的兴趣,促进学生实践能力和创新意识的发展.在教学中笔者既关注学生学习的结果,又重视学生学习的过程,取得了良好的教学效果.