借图象之形,明物理之理

◇ 广东 吴正文

马克思说：“一种科学只有成功运用数学时,才算达到了真正完善的地步.”物理学毫无疑问是数学化程度最高的自然科学,对中学生的数理思维能力有着很高的要求.高中物理教学中,为了降低数理思维难度,教师广泛应用函数图象,使抽象的问题具体化,直观形象地揭示物理量间复杂变化的数量关系,体现物理情境的动态变化过程,提高课堂教学效果,激发学生学习物理的兴趣.

1 借一次函数图象学习新知识

高二学生理解爱因斯坦光电效应方程Ek＝hν－W0时,普遍觉得困难.为了突破这一难点,教师可以尝试借用一次函数图象,引导学生逐步作出函数图象,然后给出图1所示的板书.

图1

图象囊括了学生刚接触到的几个全新物理概念,用熟知的数学语言截距和斜率来关联晦涩难懂的概念,揭示了它们之间的数量关系和一般规律.这种图象、数量关系、物理意义三者融洽结合的呈现方式,拉近了学生与未知现象的距离,深入浅出地开展新知识的教学,符合认知规律,同时也使学生认识到深奥的量子现象居然可以用如此简单的数学形式来描述,学习兴趣倍增.高中物理中一次函数图象出现频率很高,例如胡克定律F-x图象,匀变速直线运动的v-t图象,理想气体的p-T、v-T图象等.

2 借二次函数图象把握临界

问题1A、B两质点同时朝同一方向做匀加速直线运动,B在A前,相距s0＝60m,两质点初速度vA0＝10m·s－1,vB0＝0;加速度aA＝1m·s－2,aB＝2m·s－2.问A能否追上B? 若不能,A、B间最小距离是多少?

分析借助数学方法,将物理问题翻译成数学问题.建立一维坐标,写出描述两质点位置的方程sA、sB,得出两质点间距离Δs＝sB－sA,若能追上,即两质点处于坐标轴上同一位置,则Δs＝0.以A初始位置为坐标原点,A的速度方向为正方向,有sA＝vAt＋vAt＋s0,整理得.

作出t＞0 的二次函数图象,分析得到Δs≥10m≠0,故追不上,且t＝10s时,A、B间距离最小,为10m.

在得到最后等式后

高中物理中二次函数也经常出现,用来描述匀变速曲线运动(平抛、类平抛、斜抛、类斜抛)的轨迹,也可以用来绘制匀变速直线运动的s-t图象.

图2

3 借复杂图象之“形”明确多过程

高一学生在学习机车启动问题时,普遍觉得有难度,特别是先以恒定加速度启动的情形.教师可结合牛顿第二定律和瞬时功率公式,引导学生绘制v-t图象,如图3所示.借助图象的形状变化,明确斜率的变化后,机车启动的三个过程清晰连贯起来,即机车先做匀加速运动,后做加速度减小的变加速运动,最后做匀速运动,其中“功率—速度—牵引力—合外力—加速度”多变量间相互关联制约的关系也逐渐清晰起来.

图3

4 借一次函数简化反比例函数

问题2一只兔子从洞口爬出后沿一直线运动,其速度大小与其离开洞口的距离成反比,当其到达距洞口为d1的A点时速度为v1,若B点离洞口的距离为d2(d2＞d1),求兔子由A运动到B所需的时间.

分析引导学生做如下思考：兔子运动的速度v与离洞口距离d成反比,故v2＝v1d1/d2,作出v-d图象如图4所示,此运动是非匀变速直线运动,有关匀变速直线运动的公式不适用.想到验证牛顿第二定律时也曾遇到相同情况,即m、a成反比,作出a-1/m图象,将反比例函数变成一次函数.

图4

图5

设1/k＝d1v1＝d2v2,k为常量,单位为s·m－2.则有1/v1＝kd1,1/v2＝kd2,作出1/v-d图象,为一次函数,k为斜率,如图5所示.

结合匀变速直线运动的速度图象和极限思想,图线、d1、d2以及横轴所夹梯形(如图5中阴影)面积的单位是的单位,即秒,此阴影面积的物理意义是兔子从d1运动到d2所用时间.

学生在学习运动学时,面对这道看似用已学知识无法计算的问题,需要攻克两道难关,一要想到绘制1/v-d图象,化曲为直;二要在变速问题中理解速度、时间、位移三者间的关系,在此基础上理解梯形面积的物理意义.借助一次函数之“形”巧妙地规避复杂计算,将不可算变为可以算,创造性地解决问题.

一次函数简单易算,用以简化反比例函数,更多地出现在实验数据处理中,比如探究质量与加速度关系实验,找寻理想气体的压强、体积的关系实验等.

综上,函数图象反映两变量相互影响的趋势;斜率的变化反映一个量随另一个量的变化是否均匀;交点、拐点、最高点、最低点对应物理情境中的特殊情况.在教学中教师应注意将“图象形状—数学关联—物理情境或过程—物理原理”四者融合在一起,引导学生多角度学习物理知识.