从一道网红题谈对资优生物理思维的培养

魏明逊

(昆明第三中学 云南 昆明 650500)

1 问题概述

在2019年1月13日，YouTube上的著名频道3Blue1Brown发布了一个非常有趣的视频(https://www.bilibili.com/video/av41712219/?spm_

图1 3Blue1Brown网站的Logo

这个问题的描述如下：如图2所示，在完全光滑的无限长平面上，有一个质量为M的滑块A以垂直于墙面的速度v0向墙运动，A和墙之间的连线上停着另一个质量为m的滑块B.假设系统所有碰撞均为完全弹性碰撞，且滑块可以看成质点.求解M和m的质量是什么样的关系才能使m碰撞的次数与π有一定的关系.

图2 碰撞模型

从离散的物理碰撞能够推导出一个无限不循环的数学常量，数学和物理有时会显现出令人惊讶的默契，这就是3Blue1Brown所说的Unexpected，冥冥之中蕴含着宇宙的某种设计.Gregory Galperin于1990年最早发现了这个结果，并于2003在论文Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)中公布这个问题，这是一个网红问题.但网上的各种解答数学味比较重，并且所有解答都是为了讨论与π的关系，对一般情景没有讨论，我们希望经过深入地分析让这道从物理中来的数学题重新回归物理的情景.

2 解决问题

设M以速度v0向右与m发生第一次碰撞后

(1)

MvM+mvm=P=Mv0

(2)

对式(1)(2)进行变形得

x2+y2=2E

(3)

(4)

分界线与x轴的夹角为θ，从初始点到点A1，对应的圆周角为θ，如图3所示可以看出相邻点之间的弧长相同，对应的圆周角为θ，圆心角是2θ，而全部圆心角加起来小于2π，因此碰撞次数N和θ的关系为

图3 碰撞点区域分析

N2θ≤2π

(5)

即N取整.

至此，N和π的关系就清晰了，最终提取的其实就是π10n的整数部分，这就是碰撞问题中隐藏的π与碰撞次数的关系.所有的网络解答都注重讨论M=100nm时呈现的关系，而对于高中物理我们需要引导学生研究M和m任意比值下碰撞后速度的变化及碰撞的次数，还需要讨论图3所呈现的物理含义，探寻规律引导资优生寻找物理的乐趣.

3 深入探讨

3.1 求解任意一次碰撞后M和m的速度大小

这个问题的实质就是求A1,A2,…的坐标(x1，y1),(x2,y2),…

首先求解A1的坐标，从x2+y2=2E入手，如图3所示.

得

vM1=v0cosα

(6)

得

(7)

根据

所以

以此类推A2点的角度为2α……所以n(n为M和m碰撞次数)次M和m碰撞后的速度为

(8)

(9)

验证：

假设M=2m，取M的初速度v0为正方向

从第一次M和m碰撞后

M的速度

m的速度为

第二次M和m碰撞后

M的速度为

m速度为

同理得到M和m第三次碰撞后，M速度为

m速度为

M,m都向右运动，并且vm3

3.2 由任意时刻M速度表达式得到碰撞次数N的其他表达式

作M的速度

图4 v-t图像

(10)

N取整.特别注意：如果N正好出来是整数，那么碰撞次数就是N-1.

从数学上很容易得到

(11)

真有点九九归一的感觉.从不同的表达式也可以看出其中的物理含义：匀速圆周运动和简谐运动本来就是图3和图4的两种不同呈现方式.式(11)实际上是把两种运动关联起来了.

3.3 最后的碰撞点落在x轴和分界线上的物理情景

前面的讨论最后的碰撞点落在图3的斜线区域，那么对于落在x轴和分界线上的碰撞点是否具有物理意义呢？我们分别从两个方面进行讨论.

(1)如图5所示，A4的对称点B4正好落在分界线上，也就是M和m最后一次碰撞完以后速度大小相等，方向相反，但m与墙碰撞以后，M和m以相同的速度远离墙.

图5 碰撞点在分界线

以上两个结论是不是很有意思啊！

4 启示

这道题本来只是一道数学的趣题，想反映出大自然中存在的神奇.如果仅仅根据机械能守恒和动量守恒只是揭示了碰撞和π之间隐藏的关系.但对于资优生而言消化网络上对网红题的解法仅仅是欣赏物理的开始，应该引导学生对圆进行讨论，特别是根据圆上的点可以引导学生求解任意时刻碰撞的速度，并通过速度的表达式，进一步发现M速度大小不光是M=m时可以回到原来的初速度大小，而且M和m只要比例适当就可以使M的速度变为v0或者M,m速度大小相同，这是大自然神奇的一面.进一步研究发现M的速度大小变化是一条余弦曲线，从而找到M和n碰撞的其他表达式，最后发现这两个表达式在数学上是等价的，最终完成匀速圆周运动和简谐运动的统一，物理真奇妙！

物理之所以能给优秀学生持续不断的动力，关键一点还是有趣，我们讨论一道题实际上不是题目本身，而是要告诉学生，外面的世界很精彩，如何欣赏物理，并从中得到快乐.这些优秀学生不一定将来都从事物理学研究，但他们能长期保持爱好，并在将来提出一些有意思的问题，推动社会的进步不就是我们教物理最大的快乐吗.