地方师范院校《拓扑学》课程教学内容优化探讨

覃城阜

摘 要 《点集拓扑》是数学专业的一门重要基礎课，其对培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用。本文在教学实践的基础上对《拓扑学》教学内容的优化进行了探讨。

关键词 点集拓扑 教学内容 优化

0引言

数学是自然科学的语言，随着互联网技术的发展，数学成为对于一个国家的发展至关重要因素。历史上在数学研究处于领先的国家，在国家综合实力上也往往处于领先地位。现如今，“发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求”。美国数学家 M·克莱因把数学对于现代社会的重要性描述为“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关”。数学对于国家实力的提高，对于国家在高科技领域处于领先地位，对于国民素质的提高都有着重要的作用。李克强总理曾指出 “数学特别是理论数学是我国科学研究的重要基础” ，“无论是人工智能还是量子通信等，都需要数学、物理等基础学科作有力支撑。我们之所以缺乏重大原创性科研成果，‘卡脖子就卡在基础学科上”。拓扑学作为数学学科的一门重要基础课，可以说是集数学抽象和逻辑推理之大成者，它从概念出发演绎出一套逻辑体系，是培养学生数学抽象能力和逻辑推理能力的一门重要课程。

正是基于数学对于当今社会发的重要性，教育部在《普通高中课程方案和语文等课程标准》提出全面培养学生的“核心素养”，指出“各个学科必须达成正确价值观念、必备品格和关键能力，要更多的关注学科思想、思维方式等”。另外，2018年教育部发布了《普通高等学校本科专业类国家教育质量标准》（以下简称标准），其中对数学与应用数学专业课标准给出了两套选择方案：一是把数学分析、高等代数、解析几何、概率论、数学建模（含实验）、常微分方程、实变函数、复变函数、抽象代数、偏微分方程、数理统计、计算方法、微分几何、泛函分析、拓扑学作为核心课程，一是将专业知识按照课程分为专业基础课、专业必修课和专业选修课，其中专业基础课程为：数学分析、高等代数、解析几何、概率统计、数学建模;专业必修课各校根据不同的培养方向，从下列三组课程的至少两组中选定至少六门课程作为本校数学与应用数学专业的主干课程：

A组：抽象代数，微分几何，拓扑学，初等数论;

B组：常微分方程，数学物理方程，复变函数，实变函数，泛函分析;

C组：数理统计，随机过程，离散数学，数值分析，运筹学，控制论基础。

我们注意到了这样一个细节，在数学与应用数学专业课程国家质量标准制定的过程中，专家就拓扑学课程的课时安排给出如下建议：综合性大学的拓扑学课程为64学时，而师范类专业是72学时。我们认为这样的考虑是不无道理的，也显示了拓扑学对师范专业学生的抽象能力和逻辑推理能力训练起着重要的作用。

在核心素养理念的指导下，近年来全国的高考数学题目也越来越多趋向于考察学生的能力素养。2018年北京市高考数学理科卷最后一道题， 就是给出一个定义，让学生从给定的定义出发去推导出相关的结论。

（2018年高考数学理科卷第20题）

设n为正整数，集合，，对于集合A中的任意元素和，记

（Ⅰ）当时，若，，求和的值;

（Ⅱ）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，，当、相同时，是奇数;当，不同时，是偶数。求集合B中元素个数的最大值;

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，，，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由。

这道题要求学生要有较高的数学素养，基本上没有直接用到高中数学所需的知识，而是要求学生能够根据定义出发进行推理求证。因此，作为培养中学教师主力军的地方高师院校数学与应用数学专业有必要开设拓扑学课程，充分的训练学生的逻辑推理能力和抽象能力，这样才能够满足基础教育对教师专业能力的需求。

1地方高师院校中《点集拓扑》课程的设置现状

就广西区内师范院校数学与应用数学专业而言，由于总学分的减少，加上作为师范类的学生需要开设一定量的教师教育类课程，近年来，百色学院、河池学院、广西民族师范学院、玉林师范学院、北部湾大学等地方高师院校数学与应用数学师范专业都不再开设拓扑学课程。南宁师范大学2016级之前的学生都是将拓扑学作为专业限选课开设;自2016级起，由于师范专业认证等工作的需要，从全局角度出发决定不再开设《拓扑学》课程。但是在实践过程中我们发现，这对培养学生的数学抽象能力是非常不利的，对于部分考研学生而言没有经过《拓扑学》课程的训练对于他们迅速的适应研究生阶段的学习也是不利的。因此，从2017 级又将拓扑学作为专业选修课程开设，只要选课学生人数达到30 人就开课。

对于拓扑学课程的教学安排，以使用熊金城主编的《点集拓扑讲义》作为参考，我们通过网络在线的方式对地方高师院校拓扑学课程相关资料进行收集。经过归纳整理，发现主要有如下三种教学方案。第一种方案中该课程占2学分，共36课时，主要讲授第一至第三章及第五章的内容。对于地方高师院校而言，在学分有限的情况下，这样的安排也是较为合理的。第二种方案中该课程占3个学分（按照规定，每个学分对于16-18学时），总计48-54学时，具体教学内容为第一章至第七章。第三种方案也是3个学分，但教学内容上有所不同，增加了“基本群及其应用”这一部分内容。采用第一、第三种方案的院校不多，大多数院校是采用第二种方案。

2点集拓扑课程具体教学建议

据我们对拓扑学课程的教学经验来看，若按3学分计，每学分16课时，则总计有48课时。按照我校一直以来的教学计划，授课内容为第一章至第七章。就学生的基础及接受能力而言，48课时讲完七章的内容非常紧张，而且教学效果不好，很多学生对教材的内容理解不到位，导致大部分学生对点集拓扑这门课程具有恐惧感，并把这种恐惧感传给下一个年级的学生，这样使得很多学生还没有开始接上课就主观排斥该课程。因此，我们认为目前地方高师院校开设这门课程，在学分无法增加的情况下，应适当减少教学内容，即将第六章部分内容和第七章全部内容舍弃，只讲第一章到第六章第二节。具体章节课时安排如下。

在上述教学安排中， 我们将三分之一以上的课时安排在了第二章，主要原因有两个：一是第二章本身的内容比较多;二是第二章是整个点集拓扑的基础，这里有大量的定义和定理需要学生去理解和把握。可以说，如果学生能够对第二章有比较好的把握则于后续章节的学习会相对容易很多。因此，我们对第二章的教学提出如下几点建议。

2.1充分利用学生已有的知识加强学生知识的迁移

在第二章的教学中，我们要充分的挖掘学生已有的知识贮备，帮助学生建立已有知识与新知识之间联系的桥梁，使得新知识通过学生已有知识顺利内化， 这样使得学生对抽象知识的理解和把握更加到位。

在熊金城编写的教材《点集拓扑讲义》中，拓扑空间与连续映射就是通过介绍度量空间中的具体情况来引入的。在后续的内容如邻域、聚点、序列收敛等定义及相关内容的介绍中都可以做這样的安排，提升学生学习的信心。如在讲授序列收敛的定义时，可以先回顾数学分析中数列收敛的定义：

定义1：设是数列，a为定数。若对任意的正数， 都存在正整数N，使得当时有：，则称数列收敛于a。

由于与是等价的;另外，由的任意性我们可以知道也是任意的。于是我们可以将上面的数列收敛的定义换一种方式来写，得到如下定义1。

定义1：设是数列，为定数。若对任意的邻域，都存在正整数N，使得当时有，则称数列收敛于。

此时，引导学生将定义的本质抽出来，就可以自然的引出一般拓扑空间中的序列收敛的定义。

定义2：设是拓扑空间中的序列，为中的元素。若对任意的邻域，都存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于。

这样的教学能够较为自然的引出定义定理，使得教学过程自然和谐。同时，通过对学生所熟悉的内容进行回顾铺垫之后，学生更容易去理解定义定理，也更容易将知识内化，教学效果自然不同。

另外，我们也要引导学习对已有知识进行类比，从而把握新的知识，这样更有助于帮助学生去理解和记忆新知识。如在讲解”拓扑基“的概念的时候，可以将《高等代数》中的”基“的概念拿来对比：线性空间V中的所有向量都可以由基表示出来，并且要验证某种保持线性关系的性质对于V中的所有向量成立，我们只需要验证对于基中的向量成立即可。有了这个作为铺垫，我们就可以讨论拓扑空间中的基的定义及其作用，学生也能够比较容易去理解和把握。

2.2通过具体的例子来加强学生的感性认识

实数空间中所具有的很多结论在一般拓扑空间中是不成立的，在授课过程中可以通过适当具体的例子来说明，让学生增加感性的认识，从而加深对一般拓扑空间的性质的认识。如在实数空间中收敛序列的极限一定是唯一的，而从一般拓扑空间序列收敛的定义可以看出序列收敛不一定是唯一，我们可以通过如下的例子来说明。

同时，通过这个例子，可以知道序列收敛与否是严格依赖于拓扑的定义，同样的序列在不同的拓扑空间中是否收敛、收敛值是什么都由拓扑来决定的。这就要求学生不能按照已有的知识推出结论，而是根据特定的拓扑，严格依据定义进行推导。这样对学生的推理能力的训练是非常有效的。

另外，第二章除了直接定义拓扑之外，还通过邻域系、闭包运算、“基”、“子基”等四个角度定义了拓扑。这些定义都比较抽象而且证明也比较复杂。在讲完相关证明之后，如果能够给出一个具体的例子让学生直接去验证，则会大大加强学生的感性认识，更有利于学生掌握其本质。如在闭包运中，我们可以给出如下的例子让学生去验证。

拓扑学是一门抽象程度较高的课程，对于训练学生的数学抽象和逻辑推理能力是十分有效的，在科学技术发展越来越依赖数学的今天，经济社会发展需要更多具有较高数学素养的人才。基础教育是培养人的数学素养的重要阶段，因此作为培养基础教育数学教师主力军的地方高师院校开设拓扑学课程是十分有必要的，同时，在教学过程中可以根据学生的数学基地等方面对教学内容进行适当优化。

参考文献

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