数学思想显神威

潘道生

数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙.在解某些与二元一次方程组相关的数学问题时，应用数学思想去思考不仅可以使问题化繁为简，化难为易，而且有时能使一些看似无从下手的问题迎刃而解.

一、整体思想

点评：本题可以通过解方程组求出a和b的值.但用整体思想来思考，视a+b为一个整体，将方程组中的两个方程直接相加，求出3a+3b的值，则可收到意想不到的效果，解题过程十分简捷.

二、模型思想

例2 （2019年仙桃）把一根9米长的钢管截成1米长和2米长两种规格均有的短钢管，且没有余料.设某种截法中1米长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）.

A.3个

B.4个

C.5个

D.9个

分析：题目要求1米长的钢管有多少根，似乎与二元一次方程无关.但如果注意到没有余料，我们可以设2米长的钢管有b根，这样就可以利用“两种钢管的长度之和为9米”，构造二元一次方程模型，利用其正整数解来解决这个问题.

解：设2米长的钢管有b根，根据题意得a+2b =9.因为a，b均为整数，所以a1=1，b1=4;a2=3，b2=3;a3=5，b3=2;a4=7，b4=1.故a的值可能有4个，选B.

点评：通过增设未知数，构造二元一次方程模型顺利地解决了问题.

三、消元思想

例3（2019年宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5枝玫瑰和3枝百合，则她所带的钱还剩下10元：若买3枝玫瑰和5枝百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8枝玫瑰，則她所带的钱还剩下（ ）.

A.31元

B.30元

C.25元

D.19元

分析：设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，小慧带了z元，根据“总价=单价×数量”结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y，z的两个三元一次方程.由于只买了8枝玫瑰，求她所带的钱还剩下多少，这与百合的价格无关，故消去y，求出8x的值（用含z的代数式表示），即可求出结论.

解：设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，小慧带了z元，根据题意得5x+3y=z-10，3x+5y=z +4，将两个方程联立，消去y，得16x=2z-62，即8x=z-31，所以z-8x=31，故小慧买8枝玫瑰后，还剩31元，故选A.

点评：本题中有三个未知数，只有两个方程，要求出x，y，z是不可能的，但注意到问题要求的答案与百合的价格无关，因此消去无关量y，找出8x与z的关系式，即可得到答案.

四、分类思想

例4 （2019年盐城）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1个A型球与1个B型球的质量共7千克.3个A型球与1个B型球的质量共13千克.

（1）每个A型球、B型球的质量分别是多少千克？

（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少个？

分析（1）直接利用“1个A型球与1个B型球的质量共7千克”“3个A型球与1个B型球的质量共13千克”这两个等量关系，列出二元一次方程组即可求出答案.（2）根据（1）中得到的每个A型球、B型球的质量，结合“A型球、B型球的质量共17千克”，利用分类讨论得出方程的整数解即可.

（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，因此A型球的个数不会超过5.下面根据A型球可能的个数，分类讨论求解：

①设A型球1个，B型球a个，则3+4a=17，解得a=7/2（不合题意，舍去）;

②设A型球2个，B型球b个，则6+4b=17，解得b=11/4（不合题意，舍去）;

③设A型球3个，B型球c个，则9+4c=17，解得c=2;

④设A型球4个，B型球d个，则12+4d=17，解得d=5/4（不合题意，舍去）;

⑤设A型球5个，B型球e个，则15+4e=17，解得e=1/2（不合题意，舍去）.

综上可知，A型球、B型球各有3个、2个.

点评：本题考查二元一次方程（组）的应用，正确寻找等量关系构造方程（组），合理分类讨论是解题关键.当然，本题（2）中的问题也可以通过求二元一次方程的正整数解来得到答案，