环形路上相遇问题的反思

周军高

环形路上的相遇问题，是二元一次方程组在实际应用中的经典问题之一.由于其规律的隐蔽性特征，使得部分初学者在分析理解上无所适从，下面，我们从教科书上一道习题入手，通过深入思考，希望帮同学们寻找环形路上相遇问题隐含的规律，以便迅速准确解决相关问题.

例 （人教版数学教科书七年级下册第111页第6题）甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2分钟相遇一次;如果同向而行，每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙两人每分钟各跑多少圈？

【反思1】上述方程组的建立，源于环形路上相遇问题所隐含的两个规律性特征：两人在环形路上同时同地出发，都以不变的速度跑步，如果相向而行，首次相遇时，他们所跑的路程和等于环行路一圈的长;如果同向而行，首次追上时，他们所跑的路程差等于环行路一圈的长，有了以上认识，我们很容易得到另外两种解法.

【反思2】把上述结论作为条件，探索下面的问题，

甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，甲每分钟跑÷圈，乙每分钟跑1/6圈.（1）若甲、乙两人从点A同时出发相向而行，经过几分钟首次相遇？（2）若甲、乙两人从点A同时出发同向而行，经过几分钟两人首次相遇？

【反思4】甲、乙两人从点A同时出发同向而行，经过6分钟两人首次相遇，此时，甲、乙两人所跑的路程分别为2圈、1圈，显然都回到了点A.于是我们得到了一个结论：甲、乙两人从点A同时出发同向而行，每次相遇（追上）都在出发点A.此时有一个疑问：若条件发生变化，此结论还成立吗？

我们先看一道题：

甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，他们从点A同时出发同向而行，甲每分钟跑1/5圈，乙每分钟跑1/8圈，甲第1次追上乙时是否在出發点A？若是，请求出他们所经历的时间;若不是，请求出这两人最少用多少分钟在点A相遇.

【反思5】注意，这个问题还有另外一种简单解法：设两人经过x分钟在点A相遇，则甲、乙两人所跑的路程分别为1/5x圈、1/8x圈.若在点A相遇，则甲、乙两人所跑的路程都是整数圈，所以x必须是5和8的公倍数，而x的最小值为5和8的最小公倍数，所以这两人最少用40分钟在点A相遇，

受此启发，可以将上述研究拓广得到下面的结论.

甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，甲跑完1圈需要m分钟，乙跑完1圈需要n分钟（m